當(dāng)埃菲爾在1889年建造著名的誒菲爾鐵塔時，他挑選了72位19 世紀(jì)著名的法國科學(xué)家,，將他們的名字刻在了鐵塔上,，以示崇敬。最引人注目的有拉格朗日,、拉普拉斯與勒讓德,。你還會發(fā)現(xiàn)納維的名字，納維是當(dāng)時著名的工程師,，曾跟著偉大的數(shù)學(xué)家傅里葉學(xué)習(xí)過一段時間,。1820年前后，納維開始思考與流體有關(guān)的數(shù)學(xué),。在1821年到1822年間他發(fā)現(xiàn)了著名的納維-斯托克斯方程組,。

18世紀(jì)上半葉，瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利用微積分描述了流體在受到多個力作用下的運動方程,。在伯努利的基礎(chǔ)上,，歐拉構(gòu)建了一組方程，可以精確地描繪無黏性流體的運動,。

1822年,，納維改進了歐拉的方程，使之能適用于有一定程度黏的流體,。納維的數(shù)學(xué)推導(dǎo)是有缺陷的,。但他最后得出的方程是正確的。幾年之后，愛爾蘭數(shù)學(xué)家斯托克斯作出了正確的推導(dǎo),。一開始,，斯托克斯就專注于采用微積分方法來解釋流體的運動。他發(fā)現(xiàn)了20年前納維推出的公式（但他的推導(dǎo)過程是正確的）,。

在納維和斯托克斯的工作的基礎(chǔ)上,，到19世紀(jì)末，數(shù)學(xué)家差一步就要發(fā)展出一種關(guān)于流體運動的完整理論了,。只有一個問題尚待解決,。沒有人能夠證明納維-斯托克斯方程組是否有解。關(guān)于流體運動的數(shù)學(xué)看來極其困難,。

從離散到連續(xù)

當(dāng)16世紀(jì)和17世紀(jì)初的數(shù)學(xué)家試圖寫出描述行星運動的公式時,，他們遇到了一個基本的問題。數(shù)學(xué)的工具本質(zhì)上是靜態(tài)的,。數(shù),、點、線等等,，對于計算和測量是精良的，但是僅靠它們是不能描述運動的,。為了研究連續(xù)運動的物體,，數(shù)學(xué)家必須找到一種方式，把這些靜態(tài)的工具應(yīng)用于動態(tài)的運動,。17世紀(jì)中葉,，牛頓和德國的萊布尼茨各自獨自“發(fā)明”了微積分，讓數(shù)學(xué)前進了一大步,。

牛頓和萊布尼茨的想法是將連續(xù)運動視作是由一系列靜止形態(tài)組成的,。每一個靜止形態(tài)可以用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)技巧來分析，困難在于如何將所有的靜止形態(tài)組合起來,。要在數(shù)學(xué)上形成連續(xù)運動,，牛頓和萊布尼茨必須以無窮大的速度“放映”這些靜止的形態(tài)，而每一形態(tài)只能持續(xù)無窮短的時間,。微積分就是由牛頓和萊布尼茨為執(zhí)行這個把無窮個形態(tài)按順序排好的工作而研究出來的一套技巧,。

微分學(xué)的基本運算是稱為微分的過程。微分的目的是得出某些變化量的變化率,。為了做到這一點,，變化量的值、位置或路徑必須由一個適當(dāng)?shù)氖阶咏o出,。然后對這個式子進行微分,，產(chǎn)生另一個能給出變化率的式子。因此,，微分是把一個式子轉(zhuǎn)換成另一個式子的過程,。

十八世紀(jì),，微積分被用于研究像行星那樣的固體對象的連續(xù)運動，或連續(xù)幾何圖形的連續(xù)變化著的斜率,。伯努利試圖將這種方法應(yīng)用于流體的連續(xù)運動（液體或氣體）,。

對于牛頓和萊布尼茨來說，所分析的連續(xù)運動是孤立的,、離散的物體（行星或粒子,，或是一個圖形或一個曲面的點）的連續(xù)運動。然而,，在流體的情況下,，不僅運動，而且物質(zhì)本身也是連續(xù)的,。

伯努利把連續(xù)的流體看作由無限緊靠在一起的無窮小離散區(qū)域（或“液滴”）所組成的,，其中每一個區(qū)域可以用牛頓和萊布尼茨的方法處理。另一種方式是,，以位于流體中任一特定點為對象（一個無窮小點）,，寫出描述其路徑的方程。這就需要把握兩類無窮小,。

1. 把每一個無窮小顆粒的運動看作是一系列"定格",，這就是研究單個對象的連續(xù)運動時所用的標(biāo)準(zhǔn)微積分方法。運動被看作將一系列靜止?fàn)顟B(tài)按時間排列而形成的序列,。

2. 在一個“點”所取的路徑與另一個與之無限靠近的“點”所循的路徑之間,，存在著無窮小的幾何變化。

棘手的問題是要同時把握這兩類無窮小——時間無窮小和幾何無窮小,。這耗去了伯努利成年時代的大部分時光,。1738年，在他的《流體動力學(xué)》（Hydrodynamics）一書中,，他公布了自己的結(jié)果,。其中關(guān)鍵的思想是把解取為所謂的向量場。簡單說,，向量場是一個含有三個自變量x,、y、z的函數(shù),，它告訴你流體在其中任意一點（x,，y，z）的流動速度和方向,。

《流體動力學(xué)》中有一個方程,，這個方程表明，當(dāng)流體流過一個表面時，這流體作用于表面的壓強隨著流動速度的增大而減小,。為什么這個結(jié)論值得一提呢,？因為伯努利方程奠定了現(xiàn)代航空理論的基礎(chǔ)，解釋了為什么飛機能在空中飛行,。

在伯努利工作的基礎(chǔ)上,，歐拉建立了描述無摩擦流體在已知力作用下運動狀況的方程組，但他沒能解出這些方程,。納維和斯托克斯后來改進了歐拉的方程組,，使之適用于黏性流體。他們得到的方程被稱為納維-斯托克斯方程,。

雖然這些方程可以在無限薄平面膜流體這一假想的二維情況下解出,，但人們卻不知道在三維的情況下是否有解。請注意,，問題的關(guān)鍵不是這個方程的解是什么,，而是這個方程是否有解。

讓我們從歐拉的那個關(guān)于流體運動的方程組說起,。這個方程組描述的是一種在各個方向上無限延伸的無摩擦流體的流動情況,。

我們假設(shè)流體中的每一點P =（x，y,，z）受到一個隨時間變化的力,。假設(shè)t時刻作用在P點上的力是，

設(shè)p（x,，y，z,，t）為時刻t流體在P點的壓強,。

時刻t流體在P點的運動可以通過給出它在三個坐標(biāo)軸方向上的速度來描述。令u_x（x,，y,，z，t）是流體在P點沿x軸方向的速度,，u_y（x,，y，z,，t）是流體在P點沿y軸方向的速度,，u_z（x,，y，z，t）是沿z軸方向的速度,。

我們假設(shè)這流體是不可壓縮的,，也就是說，當(dāng)一個力作用于它時,，它可以朝某個方向流動，但是它不能被壓縮,，也不會膨脹。這一性質(zhì)由如下方程表達,，

假設(shè)我們知道t =0時的運動狀況,。而且,，這些初始函數(shù)假設(shè)是良態(tài)的（well-behaved）函數(shù)。

“良態(tài)”是個數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語,，但是不影響理解方程,。不過,，“良態(tài)”的精確表達與納維一斯托克斯問題作為千禧難題的陳述有關(guān)。所以,，想解決這個問題的人還是需要知道其準(zhǔn)確的陳述,。

對流體中每一點P應(yīng)用牛頓定律

力 = 質(zhì)量×加速度

歐拉得到了下列方程,，把它們與上述不可壓縮性方程聯(lián)立起來，便描述了流體的運動∶

這就是關(guān)于流體運動的歐拉方程,。為了適用于黏性流體，納維-斯托克斯引入了一個黏度常數(shù)v,，它是流體內(nèi)部摩擦力的量度,，并在方程的右邊加了一個額外的力——黏力,。

x方向上，加在方程右邊的項是,，

y和z方向同理,。

在這里,，符號

表示二階偏導(dǎo)數(shù)，它是通過首先對u_x求關(guān)于x的微分,，然后對所得結(jié)果再求關(guān)于x的微分而得到的,，即

在y和z的情況中，其定義類似,。

歐拉看上去十分嚇人,。數(shù)學(xué)家也覺得力不從心。仔細觀察,，可以發(fā)現(xiàn),，x，y,，z方向的歐拉方程之間的差異很小,，而且添加三個額外的黏度項也是基于同一個變化形式。

在19世紀(jì),，數(shù)學(xué)家發(fā)明了一種符號和一種方法,，可以用一種簡單的方式來處理有方向的運動,。其思想是引入一類新的量,，稱為向量。向量則既有大小又有方向,。使用向量,，數(shù)學(xué)家可以把納維-斯托克斯方程寫得更為緊湊∶

這里，f和u是向量函數(shù),，符號

表示向量微積分的運算,。

在求解納維-斯托克斯方程方面的進展實在太小，克萊促進會決定設(shè)立100萬美元的獎金,，征求對這個問題的任一變化形式的解答,。其中最簡單的形式（雖然并不一定是最容易解決的）是說，假設(shè)你令作用力函數(shù)f_x,，f_y和f_z都為零，在這種情況下你能不能求出函數(shù)p（x,，y,，z，t）,、u_x（x,，y，z,，t）,、u_y（x,，y，z,，t）和u_z（x,，y，z,，t）,，使它們滿足方程歐拉方程的改進版（即包括黏度項），并且足夠"良態(tài)",，使得它們看上去能與物理現(xiàn)實相符合,？

我要提一下,，黏度為零的類似問題（即歐拉方程）也沒有解決。

如果把納維-斯托克斯問題約簡到二維的情況（使所有z 項等于零）,，這個方程可以解出。但是它對解三維情況沒有任何幫助,。

完整的三維問題也可以用一種受到高度限制的方式解出。已知各種初始條件,，總能找到一個正數(shù)T，使得這方程對0≤t≤T的所有時間可解,。一般來說,，數(shù)T實在太小了,，所以這個解答在現(xiàn)實中并不是特別有用。數(shù)T被稱作這個特定系統(tǒng)的“爆裂”（blowup）時間,。