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海歸學(xué)者發(fā)起的公益學(xué)術(shù)平臺(tái) 分享信息,，整合資源 交流學(xué)術(shù)，偶爾風(fēng)月  1900年,，偉大的數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）列出23個(gè)未曾解決但值得在新世紀(jì)研究的問題,。這個(gè)問題清單已然成為數(shù)學(xué)界的路線圖，通過一個(gè)一個(gè)解決掉這些問題,，它引領(lǐng)數(shù)學(xué)家們走過數(shù)學(xué)宇宙中未曾開墾的領(lǐng)域,。但是這些問題中有一個(gè)非比尋常：它需要鏈接數(shù)學(xué)宇宙與真實(shí)宇宙。 作者：Natalie Wolchover 編譯：子聿  希爾伯特的第六大問題號(hào)召人們公理化物理學(xué)定律,，也就是說從一套初始假設(shè)或者公理的基礎(chǔ)出發(fā)嚴(yán)格構(gòu)建它們,。這樣做將會(huì)揭示需要不同公設(shè)的定律之間的矛盾。從相同的公理出發(fā)推導(dǎo)全部物理學(xué)定律將證明它們不只是偶然的,，不同現(xiàn)象的不相干描述,，而是一套統(tǒng)一的數(shù)學(xué)上嚴(yán)密的，內(nèi)在自洽的反映真實(shí)的理論,?！霸俅螐?qiáng)調(diào)，這是一個(gè)統(tǒng)一性問題,，這個(gè)問題一直蔓延至當(dāng)今物理學(xué)”,，來自威斯康星大學(xué)麥迪遜分校的數(shù)學(xué)家馬歇爾·斯萊姆羅德（Marshall Slemrod）如是說。 公理化所有物理是個(gè)極為艱巨的任務(wù),，所以希爾伯特提出了一個(gè)更為具體的目標(biāo),，那就是確定是否氣體的微觀和宏觀圖像基于等價(jià)的公理基石，也就是說它們只是相同理論的不同表象,。為了解決這個(gè)問題,，人們嘗試通過把波爾茲曼方程（將氣體描述為在一個(gè)速度區(qū)間內(nèi)彈跳的微觀粒子）轉(zhuǎn)化為納維葉-斯托克斯方程（Navier-Stokes 方程，將氣體在更大尺度上描述為連續(xù)的流動(dòng)體）,。那么,，粒子和流體圖像能否嚴(yán)格地鏈接在一起呢？ 雖然希爾伯特更為廣闊的目標(biāo)-公理化物理學(xué)至今仍然未曾實(shí)現(xiàn),，但是最近的研究已經(jīng)針對(duì)粒子-流體問題給出了一個(gè)出人意料的答案,。波爾茲曼方程并不能在所有情形下轉(zhuǎn)化為納維葉-斯托克斯方程。這是因?yàn)榧{維葉-斯托克斯方程并不完整，盡管它們對(duì)于氣象,、海流,、管道、汽車,、飛機(jī)機(jī)翼和其他流體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的建模異常有效,，盡管人們?yōu)樗鼈兊膰?yán)格解設(shè)出百萬美元大獎(jiǎng)。 證據(jù)表明更真實(shí)的流體動(dòng)力學(xué)方程存在于少為人知且相對(duì)未被承認(rèn)的一套理論中,，這套理論是由荷蘭數(shù)學(xué)家,、物理學(xué)家迪德里克·科特維格（Diederik Korteweg）在1900年代早期發(fā)展得來。然而,，對(duì)于某些氣體,，即使是科特維格方程也無能無力 - 那里根本就不存在所謂的流體圖像。 這個(gè)證據(jù)由斯萊姆羅德在上個(gè)月的“Mathematical Modelling of Natural Phenomena”期刊中給出,。他說：“納維葉-斯托克斯為室內(nèi)氣體做出了很好的預(yù)測(cè)”,，但是在高海拔和其他接近真空的情況下，“這些方程就變得越來越不準(zhǔn)確”,。更驚奇的是,，這個(gè)驚人的結(jié)論本應(yīng)該早就得出，甚至早在希爾伯特提出第六個(gè)問題之前,。1879年,，另一位科學(xué)巨人，蘇格蘭物理學(xué)家詹姆斯克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell）指出,，納維葉-斯托克斯方程不能解釋接近真空的實(shí)驗(yàn)-克魯克斯輻射計(jì)實(shí)驗(yàn),。這件事顯然不為希爾伯特所知。斯萊姆羅德說“要是他能讀到麥克斯韋的工作就好了”,。  克魯克斯輻射計(jì)是1873年由威廉姆·克魯克斯爵士發(fā)明,，當(dāng)它暴露在光下時(shí)會(huì)在部分真空腔中產(chǎn)生熱和壓力梯度，從而使得葉片轉(zhuǎn)動(dòng),。 自1900年以來許多數(shù)學(xué)家都在粒子-流體問題上費(fèi)盡心血,，包括希爾伯特自己。他一開始先把復(fù)雜的玻爾茲曼方程改寫為一系列遞減數(shù)列的加和,。理論上這種粗短的方程分解可以更容易的被理解為一個(gè)不同的但是公理上等價(jià)的氣體的物理學(xué)描述-或許就是流體表述,。不過這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)很快變得不合規(guī)則，能量并不是隨著氣體中的間距縮小而衰減,，而似乎是在增強(qiáng),。 這使得希爾伯特和其他人無法對(duì)這個(gè)級(jí)數(shù)求和并進(jìn)行分析。不過總歸有一些樂觀的理由：級(jí)數(shù)的主要項(xiàng)看上去像當(dāng)氣體變得濃稠如同液體般時(shí)的納維葉-斯托克斯方程,。“所以物理學(xué)家們?cè)谀撤N程度上樂見其成，”來自蘇黎世工學(xué)院的伊利亞·卡林（Ilya Karlin）如是說,，“這是所有的教科書中都有的東西,。” 不過,，由奧地利物理學(xué)家路德維德·玻爾茲曼于1872年推導(dǎo)的方程真的會(huì)收斂成數(shù)十年后法國(guó)人克勞德-路易斯·納維葉和來自愛爾蘭與英格蘭的喬治·斯托克斯所發(fā)展出的納維葉-斯托克斯方程么,？抑或是收斂為其他什么東西？這個(gè)問題的答案仍未可知,。在1990年代早期,，卡林那時(shí)還在西伯利亞的克拉斯諾雅茨克跟著亞歷山大·高班（Alexander Gorban）念研究生。他們?cè)谠?jīng)讓希爾伯特躊躇不前的那列級(jí)數(shù)上又敲開了一道裂縫,。這道裂縫的位置證明是有效的,。“我們總是開玩笑說,。,。。這是文明世界的邊緣,，所以你就坐在那里然后思考那些重大的問題,。” 卡林和高班發(fā)展了一個(gè)玻爾茲曼方程的簡(jiǎn)化模型,，它包含了最初的版本中的必要困難,，然后他們將這個(gè)模型方程級(jí)數(shù)展開。通過一些數(shù)學(xué)技巧,，他們成功將其求和,。不過最終的解卻不是他們所預(yù)想的。級(jí)數(shù)中有問題的放大項(xiàng)同解中一個(gè)額外項(xiàng)捆綁在了一起,。數(shù)年后,，當(dāng)斯萊姆羅德無意中發(fā)現(xiàn)俄羅斯科學(xué)家的工作后，他當(dāng)即意識(shí)到了這一項(xiàng)的重要意義,?！榜R歇爾注意到我的解里面的嚴(yán)格方程結(jié)構(gòu)根本不是納維葉-斯托克斯方程”，卡林如是說,，“而是很大程度上提醒了我們這是科特維格的二相流方程,?！?br> 科特維格的流體動(dòng)力學(xué)模型不僅適用于能量耗散的流體 （由納維葉-斯托克斯方程表征）,，也適用于色散情形，類比于彩虹中能量被攤?cè)胨慕M分頻率中,。耗散來源于流體的粘性,，或者說內(nèi)部摩擦,，但是色散則是由其毛細(xì)現(xiàn)象引起的-表面張力使得某些液體在吸管中上升。在大多數(shù)流體中,，毛細(xì)現(xiàn)象同粘性相比可以忽略不計(jì),。但并非總是如此，而且數(shù)學(xué)上從來都不是這樣,。斯萊姆羅德在2012年的一篇文章中提出,，這個(gè)毛細(xì)現(xiàn)象就是以額外項(xiàng)的形式出現(xiàn)在卡林和高班針對(duì)他們那個(gè)類波爾茲曼方程的解中。盡管這個(gè)發(fā)現(xiàn)還沒有被推廣至完整的玻爾茲曼方程,，它還是表明了：氣體的粒子表述，轉(zhuǎn)換為流體表述時(shí)不是收斂成納維葉-斯托克斯方程,，而是一個(gè)更普遍的卻遠(yuǎn)沒那么有名的科特維格方程,。  亞歷山大·高班 （左），英格蘭萊斯特大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)教授,， 同他以前的學(xué)生，現(xiàn)任蘇黎世理工學(xué)院教授伊利亞·卡林 斯萊姆羅德“給出了非常堅(jiān)實(shí)的論據(jù),，證明科特維格流體動(dòng)力學(xué)應(yīng)用范圍遠(yuǎn)比納維葉-斯托克斯方程廣闊的多”,，現(xiàn)在已經(jīng)成為英格蘭萊斯特大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)教授的高班這樣說。不過,，高班補(bǔ)充道,，他和卡林的工作也表明有些粒子氣體無法用科特維格方程所表述。當(dāng)粒子的近距相互作用足夠強(qiáng)時(shí),，比如沖擊波的邊緣上,，即使是毛細(xì)現(xiàn)象也不能完全解釋它們的行為,，而且“那里根本就不存在流體動(dòng)力學(xué)”,。 納維葉-斯托克斯方程的不完整性在一個(gè)古老實(shí)驗(yàn)中變得非常明顯，這個(gè)實(shí)驗(yàn)今天則常常出現(xiàn)在博物館禮品店中待售,?？唆斂怂馆椛溆?jì)，一個(gè)封裝在由玻璃制成的部分真空罐里的風(fēng)車,，暴露在光線中時(shí)就會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng),。1879年，為了解釋克魯克斯輻射計(jì)葉片的轉(zhuǎn)動(dòng),，麥克斯韋把真空罐中的稀薄氣當(dāng)作流體來建模,。麥克斯韋得出如果“斯托克斯教授給出的”方程完美地描述了液體,，那么葉片就不會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)。而扇葉的轉(zhuǎn)動(dòng)則可以歸功于毛細(xì)現(xiàn)象,，由科特維格方程所描述,。 提及克魯克斯輻射計(jì)時(shí)，斯萊姆羅德說,，對(duì)于“一輩子都沒進(jìn)過實(shí)驗(yàn)室的數(shù)學(xué)家們，我終于引起了他們的注意而且對(duì)他們喊：‘看這里’,，這里有真的正在發(fā)生的事情,，而且你們能從中學(xué)到什么?！?br> 斯萊姆羅德希望借助科特維格方程而不是納維葉-斯托克斯方程能更好地描述近真空氣體,，比如軌道衛(wèi)星周圍的稀薄氣體。他說,，“我希望或許有可能用這個(gè)修正版來代替玻爾茲曼方程來深入研究近真空情形,，那可是個(gè)難解的麻煩?！?br> 利奧·科里（Leo Corry）是一位以色列特拉維夫大學(xué)的數(shù)學(xué)史學(xué)家,，他寫過一本關(guān)于大衛(wèi)·希爾伯特和他的六個(gè)難題的書，他強(qiáng)調(diào)希爾伯特最初的目標(biāo)已經(jīng)被人們丟失在粒子-流體問題的細(xì)節(jié)中,，而且仍未被解決,。他說，“要知道‘公理’這個(gè)詞,，或甚至是‘基石’,，抑或‘概念分析’，哪怕一次都沒有出現(xiàn)在斯萊姆羅德的綜述中,?！?br> 如果說有什么的話，希爾伯特公理化物理學(xué)的目標(biāo)隨著進(jìn)入20世紀(jì)變得更加令人生畏,。而比粒子和流體動(dòng)力學(xué)的復(fù)雜關(guān)系更具挑戰(zhàn)性的當(dāng)屬似乎完全不可調(diào)和的量子力學(xué)與廣義相對(duì)論之間的矛盾-那是更小和更大尺度上對(duì)自然的描述,。 不過即使粒子-流體問題算不上第六問題的一個(gè)完美呈現(xiàn)，它也已經(jīng)有了自己的生命,?？评镎f，“我更不敢說它在重要性上比不上希爾伯特提出第六問題時(shí)心中所想的問題”,，“我不會(huì)跟任何人爭(zhēng)論,，說它確實(shí)更重要，更深入人心,?！?br> 原文： https://www./20150721-famous-fluid-equations-are-incomplete/ |
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