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在美好的夏天，每個(gè)人都喜歡站在水邊看浪花拍岸,。但有多少人曾對(duì)水在運(yùn)動(dòng)過程中表現(xiàn)出的極端復(fù)雜性感到好奇,？它的運(yùn)動(dòng)看起來既平滑又有規(guī)律,，但當(dāng)它拍碎在沙灘上后，就分裂成數(shù)以百計(jì)的水流和氣泡,，變得完全不可預(yù)測(cè),。正是納維-斯托克斯方程組（N-S方程組，Navier-Stokes equations）掌控著這種不可思議的復(fù)雜性,。大多數(shù)人都很熟悉牛頓第二定律：作用在物體上的力等于物體的質(zhì)量和加速度的乘積,。
這個(gè)公式適用于世界上所有的宏觀物體。但是如果你想知道液體的狀態(tài),，你還要知道一些其它的東西——納維-斯托克斯方程組,。在全世界范圍內(nèi)，工程師和物理學(xué)家把它們應(yīng)用于從飛機(jī)設(shè)計(jì)到血液循環(huán)的眾多領(lǐng)域,。這些方程非常難解,，這就是為什么它們是七個(gè)千禧年大獎(jiǎng)難題（解決其中一個(gè)問題的獎(jiǎng)金是100萬美元）之一,。
與任何高級(jí)公式一樣,，它看起來可能會(huì)令人心生畏懼,，但它們所表示的概念并不復(fù)雜。我們將逐一探討它們的含義,，以理解它們?yōu)楹稳绱酥匾?/section>首先,，我們研究的是牛頓流體，這是解釋流體粘度的最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型?，F(xiàn)實(shí)中不存在真正的牛頓流體,，但在大多數(shù)情況下，空氣和水可以被視為牛頓流體,。另一個(gè)非常重要的假設(shè)是,，流體是不可壓縮的。這意味著它的密度 ρ 是一個(gè)常數(shù),。
這個(gè)等式告訴我們,，我們研究的流體的質(zhì)量是守恒的。它可以改變自己的形狀,，但是從頭至尾它的質(zhì)量不變,。
現(xiàn)在讓我們談?wù)剶?shù)學(xué)。字母u表示流體的速度矢量,，它有三個(gè)分量,，我們可以把它們分別稱為u，v,，w,，表示速度在x，y,，z三個(gè)方向上的分量,。希臘字母nabla? 加上一個(gè)點(diǎn)乘符號(hào)代表散度算符，表示在各個(gè)方向上對(duì)矢量的分量做微分操作,。第一個(gè)導(dǎo)數(shù)表示速度的x分量如何隨著空間x的變化而變化,，另外兩個(gè)導(dǎo)數(shù)代表著相同的含義。因?yàn)檫@個(gè)公式等于0,，所以質(zhì)量是守恒的,。
第二個(gè)方程實(shí)際上是三個(gè)微分方程組成的方程組，可以被看作流體的牛頓第二定律,。如果我們將表達(dá)式展開,，就可以得到一個(gè)復(fù)雜的方程組：
為了理解起來簡(jiǎn)單，我們將忽略這個(gè)擴(kuò)展形式，集中討論動(dòng)量守恒,。當(dāng)我們研究流體時(shí),，我們可以把質(zhì)量和密度看作是相同的東西（只要它們的體積相同）。如果我們考慮兩種流體,，我們可以說密度較大的流體是“較重”的流體（例如汞和水中汞比較重）。其中用希臘字母ρ（rho）代表流體的密度,。現(xiàn)在我們有了質(zhì)量,，如果想利用牛頓第二定律，我們還需要獲得加速度,，也就是速度矢量的時(shí)間導(dǎo)數(shù),。
加速度是速度的時(shí)間導(dǎo)數(shù)現(xiàn)在，我們只剩下等號(hào)右邊的項(xiàng)是不知道的,，它們代表了施加在流體上的所有力,。
第一項(xiàng)?p是壓強(qiáng)的梯度,，它代表流體所在空間的壓力差,。如果有一個(gè)壓力較低的區(qū)域和另一個(gè)壓力較高的區(qū)域,，流體將從高壓區(qū)流向低壓區(qū),。p的梯度正是表征了這樣的關(guān)系,。第二項(xiàng)描述的是流體的粘度,?？紤]兩種不同的流體,，例如水和蜂蜜。當(dāng)你倒出一杯水,，水很容易地飛出杯子落向地面,。當(dāng)你用蜂蜜做同樣的事，由于蜂蜜是粘稠的,，會(huì)下落得非常慢,。這就是這一項(xiàng)所表達(dá)的意思,。最后一項(xiàng)F是最簡(jiǎn)單的一項(xiàng),，它代表的是作用在流體上的所有外力。通常,，我們認(rèn)為這種力是重力,。綜上所述,，所有這些奇特得符號(hào)和字母表達(dá)的關(guān)系僅僅是“力 = 質(zhì)量×加速度”。由于解這些方程極端復(fù)雜,，為了使用它們我們需要做出很多近似,。其中兩個(gè)例子是泊肅葉流動(dòng)和庫(kù)愛特流動(dòng)（Poiseuille and Couette flow）。通過大量假設(shè),，這兩位科學(xué)家能夠?yàn)橐粋€(gè)非常具體的應(yīng)用找到納維-斯托克斯方程的解,。然而，如果我們想把它們用于更復(fù)雜的情形,，比如天氣預(yù)報(bào),，我們需要些補(bǔ)充。使用這些方程最常用的方法是用雷諾平均數(shù)對(duì)它們進(jìn)行變換,，利用這種方法得到的是雷諾方程組,。它們通常被稱為RANS（Reynolds averaged Navier-Stokes）方程。
當(dāng)流體處于湍流（turbulent flow）狀態(tài)時(shí)可以使用這些方程,。除了最后一項(xiàng),，它們看起來幾乎和納維-斯托克斯方程一模一樣。最后一項(xiàng)被稱為雷諾應(yīng)力張量,，正是這個(gè)量能夠解釋流體中的湍流,。在RANS方程中，我們使用的量是對(duì)某個(gè)時(shí)間間隔做平均之后的量,。這個(gè)時(shí)間間隔必須足夠小,，以便觀測(cè)我們正在研究的現(xiàn)象。同時(shí),，它必須足夠大,，以使湍流效應(yīng)的影響較小。在正確的假設(shè)下,，這些方程是有效的,。我們知道如何利用它們使F1賽車更快、使航天器進(jìn)入國(guó)際空間站,、或是進(jìn)行天氣預(yù)報(bào),。你可能還想知道對(duì)這些方程的證明怎么能值100萬美金？從物理學(xué)的觀點(diǎn)看,，這些公式只是應(yīng)用于流體的牛頓第二定律,。當(dāng)我們做出一些合理的假設(shè)和一些合理的簡(jiǎn)化以后，我們可有利用這些方程做一些令人驚奇的事情,。問題是,，不引入近似的話這個(gè)方程組是非常復(fù)雜的。想要解出它們實(shí)在是太難了，以至于到現(xiàn)在還不能證明解析解是存在的,。這就是千禧年大獎(jiǎng)的由來,。證明以下命題或給出它的反例：在三維空間加一維時(shí)間中，給定一個(gè)初始的速度場(chǎng),，可以找到一個(gè)光滑且全局有定義的矢量速度場(chǎng)和一個(gè)標(biāo)量壓力場(chǎng)作為納維-斯托克斯方程的解,。這意味著如果你想獲取一百萬美元的獎(jiǎng)金，你必須做三件事：證明納維—斯托克斯方程的解是存在的,； 解在空間中的任意一點(diǎn)都是存在的,； 這些解必須是光滑的。這意味著初始條件的微小變化只會(huì)產(chǎn)生結(jié)果的微小變化,。 對(duì)于工程師來說只需要知道,，即使基礎(chǔ)只是一定程度的假設(shè)，這些方程仍然是有效的,；然而對(duì)于數(shù)學(xué)家來說,，知道這些解是否存在以及它們的意義是非常重要的。你現(xiàn)在可能會(huì)想,，這個(gè)公式有用就可以了,，花費(fèi)時(shí)間和精力尋找證明完全是浪費(fèi)時(shí)間。嗯,，就像人類歷史上的許多技術(shù)進(jìn)步一樣,，這個(gè)結(jié)果似乎并不重要。重要的是通往那里的道路,，它可以為我們的生活帶來新的知識(shí)和改善,。比如說航天計(jì)劃，如果人類從來沒有想過要去月球上走一走,，我們會(huì)失去很多可以改善我們生活狀況的設(shè)備,。核磁共振成像儀和心臟起搏器就來自為太空探索而開發(fā)的技術(shù)。今天,，世界各地的醫(yī)生每天都在使用它們來拯救生命。同樣的道理也適用于對(duì)納維-斯托克斯方程的研究,。探索納維-斯托克斯方程解的過程將有助于提高我們對(duì)流體或其他事物的理解,。它可以引導(dǎo)我們獲得新的發(fā)現(xiàn)，可能還需要探索新的數(shù)學(xué)方法,。這可以用來解決其他許多問題,，發(fā)明新技術(shù)來改善我們的生活，讓我們變得更好,。
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