庫爾蓋爾，這位杰出的奧地利數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家,，是20世紀(jì)最重要的學(xué)者之一,。在第二次世界大戰(zhàn)前，移居美國,，并在普林斯頓的高級研究院工作,，成為愛因斯坦以及其他著名科學(xué)家的同事。庫爾蓋爾的學(xué)術(shù)成就特別體現(xiàn)在他的兩大不完全性定理上,，這兩條定理揭示了數(shù)學(xué)推理的內(nèi)在局限性,，表明某些數(shù)學(xué)命題無法在給定系統(tǒng)內(nèi)證明或推翻。愛因斯坦曾言,，自己來到普林斯頓的唯一原因,，就是為了晚上能和庫爾蓋爾一起走回家，顯然,，愛因斯坦認(rèn)為庫爾蓋爾的智慧遠(yuǎn)勝自己,。

數(shù)學(xué)的研究方式是什么？物理學(xué)建立在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上,，化學(xué)又依賴物理學(xué),，生物學(xué)則建立在化學(xué)的基礎(chǔ)上。那么,，數(shù)學(xué)又是建立在什么基礎(chǔ)上的呢,？數(shù)學(xué)是建立在公理之上的。每個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看作是一個形式系統(tǒng),，而這個系統(tǒng)的核心是公理體系,，也稱公設(shè)。公設(shè)是被認(rèn)為理所當(dāng)然的陳述,，通常無需證明,。

最早的形式系統(tǒng)之一是歐幾里得幾何，它大約在2200年前由歐幾里得在其著名的《幾何原本》一書中提出,，這一學(xué)科至今仍是學(xué)校里常見的內(nèi)容。歐幾里得幾何研究的是平面幾何,，平面指的是像桌面一樣向所有方向無限延伸的完美表面,。在這個幾何學(xué)科中，研究的對象包括線條,、三角形,、圓等圖形。

例如,，一個公理是：“如果有兩個不同的點(diǎn),，它們不重合，那么在平面上通過這兩個點(diǎn)將有一條唯一的直線?！边@個命題可能看起來很自然,，但它其實(shí)是一個數(shù)學(xué)公理。要建立數(shù)學(xué)體系,，必須從某個起點(diǎn)開始,，并選擇一些公設(shè)或陳述，假定這些陳述是顯而易見的,，無需證明,。通常，這些公設(shè)是直觀清晰的,，但它們是數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ),，無法缺少。

這些公理可以被看作是“觀察者”,，因?yàn)樗鼈冊谶x擇時包含了一定的主觀性,。那么，誰來選擇這些公理呢,？正如Alan WS常說的,，“誰來觀察觀察者？”在數(shù)學(xué)中,，數(shù)學(xué)家們的選擇其實(shí)有些類似于鏡子游戲,。通常我們認(rèn)為數(shù)學(xué)是客觀的，是唯一的客觀科學(xué),，沒錯,，但這背后隱藏了一個事實(shí)——數(shù)學(xué)是建立在公理之上的，而這些公理并非唯一,，實(shí)際上存在多種選擇,。

歐幾里得幾何是一個很好的例子。歐幾里得提出了五個公理,，其中四個是顯而易見的,，而第五個被稱為著名的“平行公設(shè)”。它的內(nèi)容是：如果有一條直線和一個點(diǎn),，且該點(diǎn)不在這條直線上的話,，那么通過這個點(diǎn)將有一條唯一的直線與原直線平行，不會與之相交,。歐幾里得本人對這一公設(shè)感到不安,，因?yàn)樗僭O(shè)了一個并不顯而易見的命題。長時間以來,，數(shù)學(xué)家們嘗試從其他更直觀的公理中推導(dǎo)出這一公設(shè),，但始終未能成功,。直到近2000年后，數(shù)學(xué)家們才意識到,，不僅無法推導(dǎo)出這個公設(shè),，實(shí)際上，如果采用它的對立面,，依然可以得到一致且合法的數(shù)學(xué)結(jié)果,，這就是非歐幾里得幾何。

非歐幾里得幾何并不復(fù)雜,，可以通過具體的例子來理解,。比如，想象一個球體的表面,，比如籃球的表面或地球的表面（理想化的）,。在這樣的表面上，點(diǎn)和直線的關(guān)系與歐幾里得平面中的情形不同,，任何兩條經(jīng)線都會相交,，而在歐幾里得幾何中，平行線永遠(yuǎn)不相交,。此外,，還有超球面幾何，其中有無數(shù)條直線彼此不相交,。

這些例子表明,，通過不同的公理選擇，可以創(chuàng)造出不同的數(shù)學(xué)體系,。

在數(shù)學(xué)中,，推理規(guī)則起著重要作用，比如“如果A為真且A推導(dǎo)出B,，那么B也為真”,。這些推理規(guī)則大部分在歐幾里得之前就由亞里士多德提出。數(shù)學(xué)的基本構(gòu)架是這樣的：首先有一些公理,，這些公理被接受為真,。然后，通過使用邏輯推理規(guī)則,，可以從這些公理推導(dǎo)出新的命題,，這些新命題被稱為定理，并將其加入到真命題的集合中,。那么，問題就來了：能夠推導(dǎo)出多少個命題呢,？顯然,，我們希望這個系統(tǒng)不是平凡的,，換句話說，它不能推導(dǎo)出所有命題,。如果能夠推導(dǎo)出所有命題,，那么就意味著系統(tǒng)自相矛盾，既證明了命題A為真,，又證明了命題A的否定為真,，這顯然毫無意義。因此,，系統(tǒng)必須具有足夠的區(qū)分度,，不能推導(dǎo)出矛盾的命題。

因此,，數(shù)學(xué)家們討論一致性的問題：這個系統(tǒng)必須是自洽的,，不能出現(xiàn)矛盾。直到20世紀(jì)初,，數(shù)學(xué)界普遍認(rèn)為,，所有的數(shù)學(xué)命題都可以通過這種推理過程來推導(dǎo)出來。只需要找到正確的公理系統(tǒng),，并遵循這個推理程序,，所有需要的命題都能通過這個程序生成。實(shí)際上,，這個過程是一個算法過程,，理論上可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。

那么,，這個過程有什么特別之處呢,？在這個過程中，實(shí)際上只是在操控符號,。從一個命題推導(dǎo)到另一個命題,，而不需要真正理解其含義。這就像計(jì)算機(jī)程序的運(yùn)作,，它是一個純粹的語法過程,，遵循著一些嚴(yán)格的規(guī)則，從一個命題推導(dǎo)出另一個命題,。大多數(shù)數(shù)學(xué)家相信,，通過這種方式可以生成所有正確的命題。如果這一點(diǎn)成立,，那么它會為“生活一切皆計(jì)算”的命題提供很多可信度——因?yàn)橹辽贁?shù)學(xué)是計(jì)算的,，它可以被編程，并且在足夠的時間內(nèi),，依靠計(jì)算機(jī)的能力,，最終可以生成所有正確的命題,。

然而，哥德爾的第一不完備定理表明,，情況并非如此,。他不僅僅提出了這一點(diǎn)，還通過極為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明了這一結(jié)論——也就是說,，在他所研究的另一個形式系統(tǒng)中,，做出了這一證明。更準(zhǔn)確地說,，他證明了：如果有一個足夠復(fù)雜的形式系統(tǒng),，即這個系統(tǒng)可以處理數(shù)字，包括1,、2,、3等整數(shù)，并能夠形式化加法和乘法操作,，而且該系統(tǒng)是一致的（即它并非完全無用）,，那么在這個系統(tǒng)中將存在一個命題，它無法通過標(biāo)準(zhǔn)的推理過程——從公理推導(dǎo)出定理——來證明,。這是一個令人震驚的發(fā)現(xiàn),。于是，1931年成為了邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)革命的起點(diǎn),，至今我們?nèi)阅芨惺艿竭@一發(fā)現(xiàn)帶來的深遠(yuǎn)影響,。

在大約同一時期，計(jì)算機(jī)的雛形開始出現(xiàn),，計(jì)算系統(tǒng)的工程學(xué)逐步成型,。圖靈（Alan Turing）被認(rèn)為是現(xiàn)代計(jì)算的奠基人，他實(shí)際上做了類似的工作——提出了停機(jī)問題,，并證明了這一問題無法通過算法解決,。也就是說，我們無法從所有計(jì)算機(jī)程序中判斷哪些是有意義的,，哪些不是,，哪些程序會停止，哪些程序不會停止,。這一結(jié)論在某種程度上是令人沮喪的,，至少從某些角度來看。

然而,，從另一個角度來看,，這也是一種肯定生活復(fù)雜性的結(jié)果，因?yàn)橐磺卸汲錆M了悖論。這意味著,，如果我們從一開始就堅(jiān)信某個觀點(diǎn),，然后突然發(fā)現(xiàn)它不成立，的確是令人失望的,。不過，我的反駁是：如果他證明了所有事情都能被證明,，那么作為數(shù)學(xué)家還能做什么呢,？那樣一來，數(shù)學(xué)將失去意義,。對我來說,，恰恰是因?yàn)榇嬖诓煌陚湫裕@給了我們機(jī)會去做新的嘗試,，去發(fā)現(xiàn)新的東西,，而計(jì)算機(jī)也許永遠(yuǎn)無法完成這些探索——當(dāng)然，基于我們現(xiàn)在的理解,，也許未來會有新的技術(shù)和思想,，改變我們對“計(jì)算”一詞的定義。

比如如今,，我們提到圖靈機(jī)或者丘奇理論,，但如果未來有像圖靈一樣的天才提出一種全新的視角，理論將會發(fā)展,，就像從牛頓的引力理論到愛因斯坦的引力理論一樣,。也許在新的框架下，會有其他可能性浮現(xiàn)出來,。因此,，這不僅僅是確定它是什么，或者它應(yīng)該是什么,，而是看作一個開放的過程,。我認(rèn)為，這種開放性比確定唯一的答案更有意義,。

你是否曾經(jīng)了解或思考過細(xì)胞自動機(jī)和“涌現(xiàn)”這一概念嗎,？每當(dāng)我回想起《生命游戲》，看到其中的現(xiàn)象,，都會感到非常震撼,。那些簡單的規(guī)則和分布式系統(tǒng)竟能表現(xiàn)出如此復(fù)雜的行為，讓人不禁產(chǎn)生懷疑：也許我們所謂的計(jì)算在最基本的層面上是簡單的,，但當(dāng)你轉(zhuǎn)向更高層次的抽象,，站在更遠(yuǎn)的視角去看，你可能會發(fā)現(xiàn)比最初規(guī)則更加復(fù)雜,、更加有趣和美麗的東西,。

我們的科學(xué)直覺曾經(jīng)認(rèn)為這些簡單的規(guī)則不可能產(chǎn)生如此復(fù)雜性和美麗,。我不確定是否有人能夠給出一個明確的答案，或者關(guān)于“為什么復(fù)雜性會從簡單事物中涌現(xiàn)”的模型,。這是一個“為什么”的問題,，而不是“怎樣”的問題。每個“為什么”問題最終會有一個答案,，可能并非嚴(yán)格的答案,，而是一個近似的，像量子力學(xué)那樣,，99%的準(zhǔn)確度就能描述清楚,。但也許在100年后，或者明年,，某個人會提出不同的見解,，突然改變我們的視角。

當(dāng)我們談到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時,，我們談?wù)摰氖怯?xùn)練數(shù)據(jù)和其他東西,，例如你喂給程序一些圖片，嘗試找到一個優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來判斷這是一只狗還是一只貓,。但有時,，程序并沒有一個明確的答案。你該怎么辦呢,？其實(shí)我不知道現(xiàn)代的人工智能是否已經(jīng)意識到這個問題,，事實(shí)上，有時你會有一張圖片,，你無法確定它到底是什么,。從一個角度看它是一只兔子，從另一個角度看它是一只鴨子,。如果神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要區(qū)分兔子和鴨子,，那么它該如何處理呢？這個問題的簡單解決方法是：給出一個概率,，比如這是一只鴨子的概率,，這是一只兔子的概率。這是一個不錯的辦法,，但我還想說,，對于每一張這樣的圖片，我的思維會立刻有某種解讀,，但沒有一個“固定的百分比”,。

因?yàn)槲抑榔渌丝赡軙牟煌慕嵌瓤创揖蜁粩嗟厮伎肌⑴Ρ牬笱劬?，嘗試從不同的視角去觀察,。有時我能立刻看到，然后在兩種視角之間迅速切換,，而有時對于某些圖片,，我需要花一些時間才能看出不同的角度。因此,，從這個角度來看,，即使存在這些概率，它們也是主觀的,。有些人會立刻以一種方式看到它，而其他人則可能從另一種方式看,。我認(rèn)為沒有人能夠完全解釋這個問題,，無論是心理學(xué)家、神經(jīng)科學(xué)家還是哲學(xué)家,。

作為一個科學(xué)的思維者,，盡管我說過不應(yīng)該追求解釋，給神秘主義留點(diǎn)空間,，但我還是希望能夠得到一個理論,，一個解釋。最接近的解釋是尼爾斯·玻爾的互補(bǔ)性原理,，類似于粒子和波的關(guān)系,，展示了不同的觀察方式。從某個角度看,，另一面就會被遮蔽,。就像月亮的另一面，我們只能看到月亮的這一面,，無法看到另一面,，但這并不意味著月亮不存在另一面，它仍然是月亮,。問題在于我們無法完全理解整體,，這正是互補(bǔ)性。量子力學(xué)告訴我們,，我們的物理現(xiàn)實(shí)并不是確定的,，它有多種不同的理解方式，我們應(yīng)該接受這一點(diǎn),。

順便提一下,，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的討論中，我想強(qiáng)調(diào)的是，最終人類是建立在人類之上的,。例如,，ChatGPT 就是通過人類反饋的強(qiáng)化學(xué)習(xí)來訓(xùn)練的，實(shí)際上是通過一組人類來教導(dǎo)這些網(wǎng)絡(luò),，這往往是人們忽視的一點(diǎn),。我時常思考，標(biāo)注數(shù)據(jù)并將數(shù)據(jù)輸入網(wǎng)絡(luò)的人,，他們每個人都有自己的人生經(jīng)歷,，帶著他們的偏見，喜歡一些東西,，排斥其他東西,。這些偏見可能悄悄地滲透到背后，甚至他們自己也未必意識到,。這正是你提到的一個重要問題,，在我看來，這不是缺陷,，而是特性,。

當(dāng)我們討論計(jì)算問題時，潛在的假設(shè)是,，我們的意識能夠完全控制我們的內(nèi)心世界,，但我們都知道事實(shí)并非如此。每個人都見過一些表現(xiàn)出破壞性傾向的人,，顯然他們做了一些對自己有害的事,，我們中的很多人也有過類似的經(jīng)歷，這是人性的一部分,。在過去100年里,，分析心理學(xué)的研究已強(qiáng)烈證明了卡爾·榮格所說的“個人無意識”和“集體無意識”的存在，這些潛藏在背后的想法能夠激發(fā)我們強(qiáng)烈的情感,，推動我們以某種方式行動,，盡管我們并不完全理解它們。因此,，如果我們接受這一點(diǎn),，命題便是：無論我們的行為看起來多么中立、多么正義,、多么意識清晰,，它們背后總有一些我們未曾意識到的心理因素，這種觀點(diǎn)就顯得尤為有趣,。