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隨便畫四個(gè)點(diǎn)并連接它們形成四邊形，不論這個(gè)四邊形多么奇怪，接下來做個(gè)實(shí)驗(yàn)：在每條邊的中點(diǎn)上畫一個(gè)點(diǎn),，并將這些點(diǎn)連接起來,。令人驚訝的是，連接中點(diǎn)所得到的四邊形總是平行四邊形,，且無論原始四邊形是什么形狀,。
這個(gè)現(xiàn)象源于一個(gè)定理：如果連接一個(gè)三角形兩邊的中點(diǎn)，那么這條線段與第三邊平行,。通過這個(gè)定理的推導(dǎo),，連接四邊形中點(diǎn)的四邊形一定是平行四邊形。從二維進(jìn)入三維,，開始討論三維多面體,，特別是柏拉圖立體。柏拉圖立體有三個(gè)主要條件：每個(gè)面都是相同的正多邊形,，每個(gè)頂點(diǎn)的相交面數(shù)相同,，且形狀必須是凸的。符合這些條件的三維物體只有五種,，分別是：正四面體,、正六面體（即立方體）、正八面體,、正十二面體和正二十面體,。
這些多面體的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)之間有一個(gè)重要的關(guān)系,，稱為歐拉公式：頂點(diǎn)數(shù) - 邊數(shù) + 面數(shù) = 2,。這個(gè)公式適用于所有凸多面體，并且即使是球體表面也符合這個(gè)公式,。這是因?yàn)榍蝮w可以變形為任意凸多面體,，它們是同胚的（homeomorphic），而歐拉示性數(shù)在同胚變換下保持不變,。但是,，事情變得更加有趣——比如，四維克萊因瓶（Klein Bottle）的歐拉示性數(shù)是0,。那么,，除了這五個(gè)，還有別的可能嗎,？在二維空間中,，可以有無限多種正多邊形，每個(gè)邊長和角度都相等,。但在三維空間里,，將這些正多邊形作為多面體的面,，卻只有這五種滿足所有條件。拓?fù)鋵W(xué)中還有一些有趣的形狀,，比如莫比烏斯帶,。你只需將一條紙帶扭轉(zhuǎn)半圈后將兩端連接，就能得到一個(gè)非常特別的形狀,。如果從中間剪開一圈,，你會發(fā)現(xiàn)結(jié)果不是兩條帶子，而是剩下了一條紙帶,。
現(xiàn)在,，提出一個(gè)問題：如何切開莫比烏斯帶才能得到兩個(gè)莫比烏斯帶？如果將兩個(gè)莫比烏斯帶縫合在一起,，結(jié)果會是什么樣的形狀,？答案是——得到一個(gè)克萊因瓶（Klein Bottle），這是一種只能存在于四維空間中的形狀,。如果你真的把兩個(gè)莫比烏斯帶連接起來,，只能得到克萊因瓶的三維表示，這是我們能做到的極限,。克萊因瓶在三維空間里看起來是自相交的,，但它其實(shí)是一個(gè)不自相交的形狀。這種形狀可以視為一種二維流形,，局部看起來像二維平面,，類似于地球表面。雖然地球是三維球體,，但我們站在地表上時(shí),，只能感知到二維的平面。
接下來,，將目光轉(zhuǎn)向四維空間,。我們可以類比二維生物如何無法理解三維物體。假設(shè)一個(gè)三維球體進(jìn)入二維世界,，二維生物只能看到球體的一個(gè)圓形截面。同樣,，四維物體進(jìn)入三維世界時(shí),，我們只能看到它的三維截面。比如一個(gè)四維球體進(jìn)入我們的世界時(shí),，我們看到的會是一個(gè)三維球體突然從小到大,、再從大到小地消失。那么,，四維柏拉圖立體是怎樣的呢,？我們之前討論了三維空間中的五種柏拉圖立體（如正四面體、立方體等）。在四維空間中,，每一個(gè)三維柏拉圖立體都有一個(gè)四維版本,。比如，通過將四面體的邊相連,，可以得到超四面體（hyper tetrahedron）,。另外還有超立方體（hypercube）、超八面體（hyper octahedron）,、超十二面體（hyper dodecahedron）和超二十面體（hyper icosahedron）,。在四維空間中，還有一種新出現(xiàn)的柏拉圖立體——八方立方體（octa-cube）,，其三維對應(yīng)物是菱形十二面體（rhombic dodecahedron）,，但由于它的面不規(guī)則，不能算作三維柏拉圖立體,。你可能以為隨著維度的增加,，會出現(xiàn)更多奇異的形狀。但有趣的是,，當(dāng)進(jìn)入五維空間時(shí),，柏拉圖立體的數(shù)量驟減到只有三種。六維空間依然只有三種,。而當(dāng)繼續(xù)向更高維度探索時(shí),，你會發(fā)現(xiàn)，無論維度多高,，都只有三種柏拉圖立體,。另一方面，親吻數(shù)（kissing number）是另一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題,，它描述了能緊貼一個(gè)單位球的最大單位球數(shù)量,。在二維空間中，親吻數(shù)是6,。
但在三維空間中,，這個(gè)問題變得困難了許多。數(shù)學(xué)家們花了很長時(shí)間才確定,，三維空間的親吻數(shù)實(shí)際上是12,。
在四維空間中，親吻數(shù)為24,，而在更高維度中,，這個(gè)問題仍未完全解決。在五維空間,，親吻數(shù)的確切值仍未知,，只能確定其介于40到44之間,；八維空間的親吻數(shù)為240，24維空間的親吻數(shù)則達(dá)到了196,560,。此外,，四維空間中沒有我們熟悉的“結(jié)”這一概念，除了平凡結(jié)（trivial knot）,，即沒有真正交叉的結(jié),。由于結(jié)需要第三維度來形成交叉，四維空間中的結(jié)可通過額外維度“穿過自己”來消失,，因此它不是真正的結(jié),，而是偽裝成結(jié)的環(huán)。不過,，在四維空間中,，可以用二維的曲面來構(gòu)建結(jié)。盡管我們不知道這種結(jié)具體長什么樣,，但要想形成一個(gè)真正的結(jié),，需要一個(gè)維度差為2的空間。因此,，按照這個(gè)邏輯,，我們也可以把一個(gè)三維物體打成結(jié)，但需要在五維空間中才能做到,。你可能不知道的是,，所有偶數(shù)維度單位球體的體積和，它的值等于e 的 π 次方,。
由于這個(gè)級數(shù)收斂,，這意味著球體的體積隨著維度的增加會逐漸變小。但實(shí)際上,，單位球的體積會先增加,，達(dá)到五維空間的最大值，然后逐漸減少,。我們可以通過將球體嵌入更高維度的立方體中,，發(fā)現(xiàn)隨著維度增加，球體所占的比例不斷下降,，但立方體的體積保持不變,。在二維空間中，將一個(gè)圓完美地嵌入到一個(gè)正方形中,，這個(gè)正方形的邊長為1。結(jié)果發(fā)現(xiàn),，這個(gè)圓占據(jù)了正方形面積的78.5%,。進(jìn)入三維空間時(shí),，將一個(gè)球體嵌入到一個(gè)邊長為1的立方體中，球體只占據(jù)了52.3%的體積,。增加一個(gè)維度后,，球體所占的比例下降了。如果進(jìn)入四維空間,，將一個(gè)超球體嵌入到一個(gè)超立方體中,，球體只占據(jù)了31%的體積。但請注意,，立方體的體積并沒有隨著維度增加而改變,。在高維空間中,，立方體的對角線長度隨著維度增加而增大，公式為
這顯然是發(fā)散的,，而球體的直徑始終為1,，因此球體在高維空間中所占的比例會越來越小。對于單位球體,，體積在五維空間達(dá)到了峰值,，但這種現(xiàn)象僅適用于半徑為1的球體，若考慮不同半徑的球體,，峰值會出現(xiàn)在不同的維度,。接下來，讓我們看一下球體密堆積問題,。在二維空間中,，最佳的排列方式可以占據(jù)91%的空間；
然而，對于三維以上的高維空間,，我們對球體的最佳排列方式所知甚少,。隨著維度從3維增加到4維、5維……球體之間的間隙越來越大,。但奇怪的是,，在八維空間中，出現(xiàn)了一些新的間隙,，這些間隙剛好能容納新的球體,，使球體完美地鎖定到位。在八維空間的最佳排列方式下,，球體可以占據(jù)約25%的空間,。同樣地,，我們也知道24維空間的最佳球體密堆積方式。就像親吻數(shù)問題一樣,，這些高維空間的數(shù)學(xué)問題也是可以解決的,。如果把立方體切成小立方體并放入單位球體，接著再在它們的中心放一個(gè)相切的球體,，
這個(gè)中心圓相對于整個(gè)正方形來說非常小,，而且遠(yuǎn)離邊緣。在三維空間中,，我們將立方體切成八個(gè)小立方體,，并在每個(gè)小立方體中放入一個(gè)單位球。然后,，在八個(gè)單位球的中心放一個(gè)球體,，使其恰好接觸其他八個(gè)單位球。同樣地,，你會發(fā)現(xiàn),，中心球相對于整個(gè)立方體來說要小得多。
隨著維度的增加,，這個(gè)中心球體會越來越大,，并且到達(dá)九維時(shí)，它會接觸到立方體的邊界,，而在十維空間時(shí),，它突破了立方體的邊界。然而,，盡管中心球體的體積突破了立方體的邊界,，但其體積始終小于立方體，直到262維時(shí),，超球體的體積才會超過超立方體,。另外，關(guān)于球體密堆積的一個(gè)實(shí)際例子是如何最優(yōu)化地排列橙子以使用最少的保鮮膜,。在低維空間,，球體可以按直線或堆積的方式排列，但在更高維空間中,，這個(gè)問題變得更加復(fù)雜,。具體來說，在四維空間中,，直到球體的數(shù)量達(dá)到五萬到十萬個(gè)之間,，球體應(yīng)該按照直線排列，以減少使用的保鮮膜；而在42維空間及更高維度中,，最佳排列方式會再次變成將球體的中心排成一條直線,。這些數(shù)學(xué)現(xiàn)象不僅解決了幾何學(xué)中的問題，還在信息論,、編碼理論等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。并且,，拓?fù)鋵W(xué)作為研究空間性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支,，涉及復(fù)雜的高維對稱性和曲面問題，是這些現(xiàn)象的理論基礎(chǔ),。
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