流體力學(xué)（Fluid Mechanics）有著非常漫長(zhǎng)的歷史,，最古老的涉及流體力學(xué)的人物可能就是古希臘的阿基米德了（Archimedes），大家都知道的阿基米德浮力定理,，當(dāng)時(shí)阿基米德在羊皮紙上用希臘語(yǔ)寫了論浮力（On Floating Bodies）的文章并流傳至今,。

但是在很長(zhǎng)時(shí)間里流體力學(xué)并不被當(dāng)作一門獨(dú)立的學(xué)科，直到1687年牛頓（Isaac Newton）在其劃時(shí)代的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica）之后流體力學(xué)才真正走上歷史舞臺(tái),。

在書中除了著名的牛頓三大定理以外,，牛頓還提到流體力學(xué)相關(guān)的內(nèi)容，他寫到：對(duì)于平直的均勻流體,，流體層與層之間的剪應(yīng)力正比于垂直流體方向上的速度梯度,。

阿基米德的手稿

牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》

除了阿基米德和牛頓以外，在流體力學(xué)的發(fā)展歷程中,，做出貢獻(xiàn)的人物可以說(shuō)是陣容豪華，比如非粘性流體（Inviscid flow）數(shù)學(xué)分析涉及的人物有歐拉（Leonhard Euler）, 達(dá)朗貝爾（Jean le Rond d'Alembert）,，拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）, 拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）, 泊松（Siméon Denis Poisson）,；

非粘性流體的數(shù)學(xué)分析涉及的人物有高斯（Guass），泊松,，圣維南（Saint-Venant） 等等,，其它在流體力學(xué)中涉及湍流/紊流，粘性/非粘性的推動(dòng)者有雷諾（Osborne Reynolds）,，泰勒（Geoffrey Ingram Taylor）等等,。

而對(duì)這些理論歸納整理的兩位科學(xué)家就是納維爾（Claude-Louis Navier）和斯托克斯（George Gabriel Stokes），當(dāng)今有名的納維爾-斯托克斯方程組(Navier-Stokes Equations)就是以他們倆的名字命名的,，也是今天要講的主題,。

克勞德-路易·納維爾（Claude-Louis Navier，1785年2月10日-1836年8月21日）是一位法國(guó)工程師與物理學(xué)家,，主要貢獻(xiàn)在力學(xué)領(lǐng)域,。

納維爾的父親在1793年過(guò)世，納維爾的母親讓她的叔叔Emiland Gauthey來(lái)教育納維爾,。1824年納維爾進(jìn)入法國(guó)科學(xué)院,，1830年時(shí)擔(dān)任國(guó)立橋路學(xué)校的教授,，次年接替奧古斯丁·路易·柯西，在巴黎綜合理工學(xué)院擔(dān)任微積分及力學(xué)的教授,。

納維爾在1821年將彈性理論以數(shù)學(xué)公式的形式表示,，使這個(gè)領(lǐng)域第一次可以計(jì)算有足夠精確度的結(jié)果。1826年納維爾確認(rèn)彈性模量是材料的一個(gè)基本屬性,，和物體的截面二次軸矩無(wú)關(guān),，因此納維爾也是結(jié)構(gòu)分析的創(chuàng)始者之一。

當(dāng)然,，納維爾主要的貢獻(xiàn)還是納維爾－斯托克斯方程,，是流體力學(xué)的理論中心。由于其卓越的貢獻(xiàn),，納維爾也是法國(guó)艾菲爾鐵塔上所刻的72人名字之一（還有拉格朗日,，拉普拉斯，傅里葉等大家）,。

納維爾

埃菲爾鐵塔上刻有象征法蘭西科學(xué)精神的72個(gè)人物名字的位置

喬治·加布里埃爾·斯托克斯爵士（eorge Gabriel Stokes,，1819年8月13日-1903年2月1日），愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,，就讀和任教于劍橋大學(xué),，主要貢獻(xiàn)在流體動(dòng)力學(xué)、光學(xué)和數(shù)學(xué)物理學(xué)（如大家熟知的斯托克斯公式）,。他曾任英國(guó)皇家學(xué)會(huì)秘書和會(huì)長(zhǎng)。

他出生在新教徒家庭,，父親是愛(ài)爾蘭斯萊戈郡教區(qū)牧師,。先后在都柏林、布里斯托爾就讀,，1837年考入劍橋大學(xué)彭布羅克學(xué)院,。四年后以最高分畢業(yè)，并獲得史密斯獎(jiǎng),。1849年獲盧卡斯數(shù)學(xué)教授席位,，1854年出任皇家學(xué)會(huì)秘書，1885–1890年期間出任會(huì)長(zhǎng),。1889年被封為從男爵,。1899年6月1日，他任盧卡斯教授50周年,，劍橋大學(xué)舉行了盛大慶祝會(huì),，校監(jiān)向他頒發(fā)金牌。

1842至1843年,，他刊出第一批論文,，關(guān)于不可壓縮流體的穩(wěn)定流動(dòng),。其后在1845年，他就流體流動(dòng)的摩擦力及彈性固體的平衡和運(yùn)動(dòng)發(fā)表論文,，在1850年探討流體的內(nèi)部摩擦力對(duì)擺運(yùn)動(dòng)的影響,。他也曾就聲音的理論作出貢獻(xiàn)，如風(fēng)對(duì)聲音強(qiáng)度的影響,。他的研究標(biāo)志著流體動(dòng)力學(xué)的新里程,，不但有助解釋自然現(xiàn)象（如空中云的運(yùn)動(dòng)、水中漾和浪的運(yùn)動(dòng)等）,，更有助解決技術(shù)問(wèn)題,，如水在河和管道中的流動(dòng)以及船只的表面阻力等。

前面我們?cè)f(shuō)到,，在CFD流體力學(xué)中,，最重要的方程就是納維爾-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations)，這并不是一個(gè)單一的方程,，而是一個(gè)方程組,，是在眾多科學(xué)家和工程師的推動(dòng)下產(chǎn)生的。在流體力學(xué)中,，有很多方程,，但很多方程都和納維爾-斯托克斯方程有著聯(lián)系，可以說(shuō),，該方程在流體力學(xué)中起著基礎(chǔ)性的作用,，但也起著決定性的作用。

套用指環(huán)王的故事,，Navier-Stokes equations可以比做至尊魔戒,，其它大大小小的方程比做各個(gè)流體力學(xué)國(guó)度國(guó)王擁有的普通戒指，那么可謂是一戒統(tǒng)領(lǐng)眾戒（one ring rules all rings),。 

數(shù)學(xué)家、科學(xué)家伊恩·斯圖爾特(Ian Stewart)出過(guò)一本書,，名叫《17 Equations That Changed The World(改變世界的17個(gè)方程)》,。其中大多數(shù)公式我們都見過(guò)，里面就包括納維爾-斯托克斯方程,。

改變世界的17個(gè)公式

Navier-Stokes equations已經(jīng)滲透到描述流體的方方面面,，也在眾多實(shí)際工程中得到了應(yīng)用。但意外的是,，這個(gè)方程的數(shù)學(xué)特性——解的存在性和光滑性至今沒(méi)有得到證明,。

納維-斯托克斯存在性與光滑性是有關(guān)納維-斯托克斯方程其解的數(shù)學(xué)性質(zhì)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。方程可以描述空間中流體（液體或氣體）的運(yùn)動(dòng),。納維爾－斯托克斯方程式的解可以用到許多實(shí)際應(yīng)用的領(lǐng)域中,。不過(guò)對(duì)于納維－斯托克斯方程式解的理論研究仍然不足,，尤其納維－斯托克斯方程式的解常會(huì)包括紊流。雖然紊流在科學(xué)及工程中非常的重要,，不過(guò)紊流仍是未解決的物理學(xué)問(wèn)題之一,。

許多納維爾－斯托克斯方程式解的基本性質(zhì)都尚未被證明。例如數(shù)學(xué)家就尚未證明在三維座標(biāo),，特定的初始條件下,，納維爾－斯托克斯方程式是否有符合光滑性的解。也尚未證明若這樣的解存在時(shí),，其動(dòng)能有其上下界,，這就是“納維-斯托克斯存在性與光滑性”問(wèn)題。

由于了解納維爾－斯托克斯方程式被視為是了解難以捉摸的紊流現(xiàn)象的第一步,，克雷數(shù)學(xué)研究所在2000年5月提供了一百萬(wàn)美元的獎(jiǎng)金給第一個(gè)證明該方程的人,。這也是美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所（Clay Mathematics Institute）在2000年提出的7個(gè)千禧年大獎(jiǎng)難題中的問(wèn)題之一?？死讛?shù)學(xué)研究所設(shè)定了該問(wèn)題具體的數(shù)學(xué)描述：

證明或反證下的敘述：在三維的空間及時(shí)間下,，給定一起始的速度場(chǎng)，存在一向量的速度場(chǎng)及純量的壓強(qiáng)場(chǎng),，為納維－斯托克斯方程式的解,，其中速度場(chǎng)及壓強(qiáng)場(chǎng)需滿足光滑及全局定義的特性。

我們不妨看看該問(wèn)題具體的描述（以下方程的描述來(lái)自維基百科）：

以數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看,，納維爾－斯托克斯方程是一個(gè)針對(duì)任意維度向量場(chǎng)的非線性偏微分方程,。從物理及工程的觀點(diǎn)來(lái)看，納維－斯托克斯方程是一個(gè)用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)描述液體或非稀疏氣體運(yùn)動(dòng)的方程式組,。此方程式是以牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律為基礎(chǔ),，考慮一黏滯性牛頓流體的所有受力，包括壓強(qiáng),、黏滯力及外界的體積力,。

由于克雷數(shù)學(xué)研究所提出的問(wèn)題是在三維空間下，不可壓縮的勻質(zhì)流體為準(zhǔn),，以下也只考慮此條件下的納維－斯托克斯方程,。

令為描述流體速度的三維向量場(chǎng)，且為流體壓強(qiáng),。納維爾－斯托克斯方程為：

其中

• 為動(dòng)黏滯度

• 為外力

• 為梯度運(yùn)算子

• 為拉普拉斯算子,，也可寫為

上述方程是向量方程，可以分解為三個(gè)純量的方程,，將速度及外力分解為三個(gè)座標(biāo)下的分量：

則納維－斯托克斯方程可寫成以下的形式,，：

其中的未知數(shù)有速度及壓強(qiáng)。由于只考慮三維空間，因此有三個(gè)方程及四個(gè)未知數(shù),，分別是速度的三個(gè)分量及壓強(qiáng),，還需要一個(gè)方程才能解出所有的未知數(shù)。這個(gè)新增的方程是描述流體不可壓縮性的連續(xù)性方程式：

所以納維－斯托克斯方程解的速度會(huì)是無(wú)散度的向量函數(shù),。對(duì)于在均勻介質(zhì)中的無(wú)散度流,，其密度及動(dòng)黏滯度為定值。具體方程的展開這里不再說(shuō)明,。

目前納維爾-斯托克斯方程的證明進(jìn)展如下：

1. 二維空間下的納維爾-斯托克斯問(wèn)題已在1960年代已經(jīng)被證明：存在光滑及全局定義解的解,。

2. 在初速相當(dāng)小時(shí)此問(wèn)題也已得證：存在光滑及全局定義解的解。

3. 若給定一初速,，且存在一有限,、依而變動(dòng)的時(shí)間T，使得在的范圍內(nèi),，納維-斯托克斯方程有平滑的解,，還無(wú)法確定在時(shí)間超過(guò)T后，是否仍存在平滑的解,。

4. 數(shù)學(xué)家讓·勒雷在1934年時(shí)證明了所謂納維-斯托克斯問(wèn)題弱解的存在,，此解在平均值上滿足納維-斯托克斯問(wèn)題，但無(wú)法在每一點(diǎn)上滿足,。

當(dāng)然,，雖然說(shuō)納維爾-斯托克斯方程描述了流體領(lǐng)域的大部分條件，不過(guò)也有其適用范圍,，該方程只適用于牛頓流體,，什么是牛頓流體呢？簡(jiǎn)單說(shuō)就是：任一點(diǎn)上的剪應(yīng)力都同剪切變形速率呈線性函數(shù)關(guān)系的流體,。一般高黏度的流體是不滿足這種關(guān)系的,，說(shuō)明牛頓流體和非牛頓流體有個(gè)簡(jiǎn)單的例子就是大家熟知的虹吸現(xiàn)象。在低黏度下,，虹吸要進(jìn)行下去,，吸取口必須在頁(yè)面以下，但非牛頓流體的高黏度流體下,，吸取口哪怕高于液面,，其虹吸依然能夠進(jìn)行，因?yàn)轲ざ忍罅?，這個(gè)還是很容易想象到的。

那么,，可能有人要問(wèn)了,，居然有不適用納維爾-斯托克斯方程的流體，那么該方程是不是就不完備了。是的,，方程是不完備,，不能一統(tǒng)流體世界的天下，不過(guò)對(duì)于工程應(yīng)用來(lái)說(shuō),，大部分情況還是處理牛頓流體,，或者可以近似為牛頓流體，這樣納維爾-斯托克斯方程基本就是流體世界的王者了,。

低黏度下的虹吸現(xiàn)象（吸取口低于液面）

高黏度下的虹吸現(xiàn)象（吸取口高于液面）

說(shuō)到這里,，或許可以告一段落了，但或許有人也有點(diǎn)困惑,，有些人會(huì)想：雖然我數(shù)學(xué)沒(méi)那么厲害,，但感覺(jué)納維爾-斯托克斯方程的證明對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)應(yīng)該不難吧，這么幾百年過(guò)去了難道都沒(méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)家站出來(lái)證明他嗎,。我們已經(jīng)征服了描述時(shí)空的相對(duì)論,，讓我們翱翔到宇宙深處；我們也已經(jīng)很大程度上征服了量子力學(xué)所描述的微觀世界,，讓我們體驗(yàn)到神奇的量子世界,，那里有宇宙大爆炸，有浪漫的平行宇宙,?？墒牵瑢?duì)于一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō),，其解的存在性和光滑性（可以看做高中數(shù)學(xué)中函數(shù)的連續(xù)性）都不能被證明,，實(shí)在匪夷所思啊。

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題看似簡(jiǎn)單,，但對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō),，要證明其絕對(duì)的正確性，卻并不一定是個(gè)易事,，比如前面提到的美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所提出的7個(gè)千禧年難題,，其起草者之一安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles），他在1993證明了難倒數(shù)學(xué)界300多年的費(fèi)馬大定理（Fermat's Last Theorem）,，而費(fèi)馬大定理本身看似也是非常的簡(jiǎn)單,，其問(wèn)題描述如下：

當(dāng)整數(shù)n >2時(shí)，關(guān)于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 沒(méi)有正整數(shù)解

就是這樣一個(gè)人人都能看懂的問(wèn)題,，卻耗費(fèi)了數(shù)學(xué)界300多年才得以解決,，可想而知，對(duì)于數(shù)學(xué)證明來(lái)說(shuō),，遠(yuǎn)沒(méi)有我們想象的簡(jiǎn)單,。

希望，在我們這個(gè)時(shí)代，納維爾-斯托克斯方程(Navier-Stokes Equations)能夠得到證明,，為我們打開自然界的奧秘,！