久期

利率風(fēng)險(xiǎn)和信用風(fēng)險(xiǎn)是債券面臨的最主要風(fēng)險(xiǎn),，久期就是用來衡量利率風(fēng)險(xiǎn)的重要指標(biāo),。久期的概念是由弗雷德里克·麥考利（Frederic Macaulay）提出的，包括麥考利久期（Macaulay Duration）和修正久期（Modified Duration）,。

久期的推導(dǎo)公式

債券的定價(jià)公式為：

P為債券價(jià)格,，C為定期支付的票面利息,，F為票面價(jià)格，r為到期收益率（利率）,，N為付息次數(shù), T為相鄰兩次付息時(shí)間的間隔

更完整的公式如下：

m為當(dāng)前距離最近一次付息日的期限（單位：年）

債券的久期定義如下,，即現(xiàn)金流的加權(quán)平均時(shí)間：

修正久期定義如下：

如何理解久期與修正久期的意義呢？可以從價(jià)格對到利率的偏導(dǎo)數(shù)入手

可見債券對利率的偏導(dǎo)數(shù)與久期之間的關(guān)系如下：

即

Macauley久期的物理意義：價(jià)格變動(dòng)的百分比與（1+r）變動(dòng)百分比的比值,，即價(jià)格的（1+r）彈性,，（1+r）變動(dòng)1%時(shí)，價(jià)格變化D%,。

這個(gè)概念在實(shí)際使用中不是特別直觀,，如果有個(gè)概念能直接描述利率r變動(dòng)1%時(shí)，價(jià)格的變化率為多少就更好了,，所以引出了修正久期：

修正久期的物理意義：價(jià)格變動(dòng)的百分比與利率變動(dòng)的比值,，即利率變動(dòng)1%（100bps），帶來的價(jià)格的變化率（收益率的變化）,。

舉個(gè)例子

假設(shè)利率 R=4%,，麥考利久期 D=2。那么如果（1+R）在自身增加了1%,，（即從1.04變成了1.0504,，R變成5.04%），那么價(jià)格會(huì)減少2%,。這個(gè)D有個(gè)不好的地方,，1+4%在自身水平上增加了1%并不直觀，這時(shí)候修正久期MD就用上了,。MD=D/（1+r）=2/(1+4%)=1.923,那么根據(jù)上面MD的定義公式,，利率增加1%（即100bps，變成5%）,，那么價(jià)格就會(huì)減少1.923%,。所以久期和修正久期其實(shí)描述的是同一件事情，只是修正久期簡化了久期的描述,。你不需要說（1+4%）在自身水平增加1%,，價(jià)減少2%，而可以說利率增加了1個(gè)百分點(diǎn),，價(jià)格減少1.923%,。

所以，久期是衡量利率風(fēng)險(xiǎn)（interest rate risk）的,，久期大,，利率風(fēng)險(xiǎn)高，證券價(jià)格受利率變化的影響大,。

DV01和PV01

DV01又叫基點(diǎn)價(jià)值,，它的定義是收益率變化一個(gè)BP時(shí)價(jià)格的變化量,。

從修正久期的公式中，我們知道

我們變一下形式

在這個(gè)公式里,，我們讓 △r =0.01%,，即一個(gè)BP，就得到了價(jià)格的變動(dòng)量△p,即為DV01.

所以DV01的計(jì)算公式為

PV01

DV01是從修正久期的的公式中推導(dǎo)出來的,，但是修正久期的公式是價(jià)格對收益率的倒數(shù)，也就是下圖中的切線,。所以讓△r變化0.01%,，DV01算的價(jià)格變動(dòng)是沿著切線移動(dòng)的，跟實(shí)際上的價(jià)格變化有點(diǎn)差別,，這個(gè)差別就是凸度引起的,。

上圖實(shí)體黑線就是凈價(jià)和收益的曲線，虛線就是在yield=y*的切線,。PV01就是收益率變動(dòng)0.01%,，實(shí)際的價(jià)格的變動(dòng)，即PV01=P(y+0.01%)-P(y).