計算機(jī)數(shù)學(xué)并非像考研數(shù)學(xué)，需要做題,。主要考慮數(shù)學(xué)的含義與原理,，因為通過計算機(jī)程序各種問題幾乎都能解決。

微積分誕生于17世紀(jì),，主要幫助人民解決各種速度,、面積等實際問題。主要提出微積分的人是：牛頓,、萊布尼茨,。

微積分的最初的意義是，如何求曲線的面積,。

常規(guī)的做法是：以直代曲：對于矩形可以輕松求其面積,，可以用矩形代替曲線形狀。

微積分的涵義就是對幾何曲線與坐標(biāo)軸組成圖形的面積

如下圖圖所示,，

• ab之間插入若干個點,，這樣就得到n個小區(qū)間。
• 每一個小矩形面積為Ai=f(ζi)△xi近似得到曲線面積
• 當(dāng)分割無限加細(xì),，每個小區(qū)間的最大長度為λ,，此時λ → 0；
• 曲邊面積為：

我們要盡可能將每個矩形的底邊趨近于無窮小,。

萊布尼茲為了體現(xiàn)積分的過程實際就是一個求和的過程,，于是把sum的s拉長成?。

切線

如上圖所示：

斜率=dy/dx,。表示y=f(x)在M點的切線的斜率,，也是導(dǎo)數(shù)。

這里所闡述的概念都圍繞著無窮小的概念進(jìn)行,，dy是切線上的點（P點）,，而不是y=f(x)上的點,。

由于都圍繞無窮小的概念，dx,、dy都叫微分,。所謂微積分就是把這些微分積（累積）起來。

微分：△x=dx,，在x軸上體現(xiàn)不出曲線，因此二者相等,。

△y是dx的曲線增量,，即在曲線上的點（N）到x軸的距離。

dy是dx的切線增量,，即在切線上的點到x軸的距離,。

雖然圖中看O(△x)=△y-dy>0，但放在極限視角下,，O(△x) → 0,。

定積分

當(dāng)||△x||→0時，總和S1總趨于確定的極限I,，稱極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a, b]上的定積分,。

積分值和被積分函數(shù)與積分曲線有關(guān)，與積分變量采用的字母無關(guān),。

當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分存在時,，稱f(x)在區(qū)間[a, b]上可積。

定積分的幾何含義：

面積有正負(fù)值，代數(shù)和,，x軸以上為正,，以下為負(fù)。

傳統(tǒng)解決方法：小區(qū)間的長度 取：

實際計算中,，找到原函數(shù),，原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為被積分函數(shù)，之后在用區(qū)間計算函數(shù)的差值,。

實積分性質(zhì)

4）如果在區(qū)間

第一中值定理

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a, b]上b連續(xù),，則在積分區(qū)間[a, b]上至少存在一個點ξ,，使

第一中值定理幾何意義

積分上限函數(shù)

函數(shù)f(x)在區(qū)間[a, b]上連續(xù),，對于定積分

每一個取值的x都有對應(yīng)的定積分值,。記作：

如果f(x)在區(qū)間[a, b]上連續(xù)，則積分上限函數(shù)就是f(x)在[a, b]上的原函數(shù),。

牛頓-萊布尼茨公式

如果F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a, b]上的一個原函數(shù),，則：

解釋：一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a, b]上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間[a, b]上的增量,。

幾何解釋：

如下圖所示,，將曲線分成四等分。由于dy=f’(x)dx 當(dāng)△x足夠小時,，△y=dy,。

當(dāng)分成更細(xì)的等分后,，如下圖所示,。

例1：

原函數(shù)：

例2：求：

解：在[1,2]上規(guī)定當(dāng)x=1時，f(x)=5 ,，

牛頓-萊布尼茨公式是微積分基礎(chǔ)。

例：計算由曲線和直線y=x-4所圍成的圖形的面積,。

解：求兩曲線的交點：

求得交點為：(2,-2),、(8,4)

選擇y為積分變量，y∈[-2,4]