微積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)最基本,、最重要的組成部分，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多分支的基礎(chǔ),，是人類認(rèn)識客觀世界,、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數(shù)學(xué)模型之一.恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了”. 微積分的發(fā)展歷史曲折跌宕,，撼人心靈,，是培養(yǎng)人們正確世界觀、科學(xué)方法論和對人們進行文化熏陶的極好素材.

微積分中重要的思想和方法：

1．“極限”方法,，它是貫穿整個《微積分》始終,。導(dǎo)數(shù)是一種特殊的函數(shù)極限；定積分是一種特殊和式的極限,；級數(shù)歸結(jié)為數(shù)列的極限,；廣義積分定義為常義積分的極限；各種重積分,、曲線積分,、曲面積分都分別是某種和式的極限。所以,，極限理論是整個《微積分》的基礎(chǔ),。盡管上述各種概念都是某種形式的極限，但是它們都有各自獨特和十分豐富深刻的內(nèi)容,，這是《微積分》最有魅力的地方之一。

2．“逼近”思想,，它在《微積分》處處體現(xiàn),。在近似計算中，用容易求的割線代替切線,，用若干個小矩形面積之和代替所求曲邊梯形面積,；用折線段的長代替所求曲線的長,；用多項式代替連續(xù)函數(shù)等。這種逼近思想在理論和實際中大量運用,。

3．“求極限,、求導(dǎo)數(shù)和求積分”是最基本的方法。熟練掌握求極限,、求導(dǎo)數(shù)和求積分的方法,，學(xué)習(xí)《微積分》就不會遇到太多困難，甚至能做到得心應(yīng)手,。

4．“特色定理”是《微積分》的支柱,。夾逼定理、中值定理,、微積分基本定理等是《微積分》中最深刻,、最基本、最能體現(xiàn)《微積分》特色的定理,，支撐起《微積分》的大廈。

5．“綜合運用能力”是《微積分》學(xué)習(xí)的出發(fā)點和歸宿,。充分注重綜合運用極限概念與方法的能力,、綜合運用導(dǎo)數(shù)與積分相結(jié)合的各種方法的能力、綜合運用定積分思想方法解決問題的能力,、綜合運用一元和多元相結(jié)合方法的能力,、綜合運用各種方法解決實際問題的能力。

極限思想是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的. 例如,，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法----割圓術(shù)（參看光盤演示）, 就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用. 又如,，春秋戰(zhàn)國時期的哲學(xué)家莊子（公元4世紀(jì)）在《莊子.天下篇》一書中對“截丈問題”（參看光盤演示）有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 萬世不竭”,，其中也隱含了深刻的極限思想.

    極限是研究變量的變化趨勢的基本工具,，高等數(shù)學(xué)中許多基本概念，例如連續(xù),、導(dǎo)數(shù)、定積分,、無窮級數(shù)等都是建立在極限的基礎(chǔ)上. 極限方法又是研究函數(shù)的一種最基本的方法.

 客觀世界的許多現(xiàn)象和事物不僅是運動變化的,，而且其運動變化的過程往往是連綿不斷的，比如日月行空,、歲月流逝、植物生長,、物種變化等,，這些連綿不斷發(fā)展變化的事物在量的方面的反映就是函數(shù)的連續(xù)性. 連續(xù)函數(shù)就是刻畫變量連續(xù)變化的數(shù)學(xué)模型.

16,、17世紀(jì)微積分的醞釀和產(chǎn)生,，直接肇始于對物體的連續(xù)運動的研究. 例如伽利略所研究的自由落體運動等都是連續(xù)變化的量. 但直到19世紀(jì)以前,，數(shù)學(xué)家們對連續(xù)變量的研究仍停留在幾何直觀的層面上,，即把能一筆畫成的曲線所對應(yīng)的函數(shù)稱為連續(xù)函數(shù). 19世紀(jì)中葉，在柯西等數(shù)學(xué)家建立起嚴(yán)格的極限理論之后,，才對連續(xù)函數(shù)作出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述.

連續(xù)函數(shù)不僅是微積分的研究對象,，而且微積分中的主要概念、定理,、公式法則等,，往往都要求函數(shù)具有連續(xù)性.

    我們將以極限為基礎(chǔ)，介紹連續(xù)函數(shù)的概念,、連續(xù)函數(shù)的運算及連續(xù)函數(shù)的一些性質(zhì).

   從15世紀(jì)初文藝復(fù)興時期起,，歐洲的工業(yè)、農(nóng)業(yè),、航海事業(yè)與商貿(mào)得到大規(guī)模的發(fā)展,，形成了一個新的經(jīng)濟時代。而16世紀(jì)的的歐洲,，正處在資本主義的萌芽時期,，生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展，生產(chǎn)實踐的發(fā)展對自然科學(xué)提出了新的課題,，迫切要求力學(xué)、天文學(xué)等基礎(chǔ)科學(xué)的發(fā)展,，而這些學(xué)科都是深刻依賴于數(shù)學(xué)的,，因而也推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。在各類學(xué)科對數(shù)學(xué)提出的種種要求下,，下列三類問題導(dǎo)致了微分學(xué)的產(chǎn)生：

（1）求變速運動的*時速度,；

（2）求曲線上一點處的切線；

（3）求最大值和最小值,。

    這三類實際問題的現(xiàn)實原型在數(shù)學(xué)上都可歸納為函數(shù)相對于自變量變化而變化的快慢程度,，即所謂函數(shù)的變化率問題,。牛頓從第一個問題出發(fā)，萊布尼茲從第二個問題出發(fā),，分別給出了導(dǎo)數(shù)的概念,。   

在理論研究和實際應(yīng)用中，常常又會遇到這樣的問題：當(dāng)自變量有微小變化時,，求函數(shù)的微小改變量

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這個問題初看起來似乎只要做減法運算就可以了,，然而，對于較復(fù)雜的函數(shù),，差值卻是一個更復(fù)雜的表達式,，不易求出其值。一個想法是：我們設(shè)法將表示成的線性函數(shù),，即線性化,，從而把復(fù)雜問題化為簡單問題。微分就是實現(xiàn)這種線性化的一種數(shù)學(xué)模型,。

數(shù)學(xué)發(fā)展的動力主要來源于社會發(fā)展的環(huán)境力量. 17世紀(jì),，微積分的創(chuàng)立首先是為了解決當(dāng)時數(shù)學(xué)面臨的四類核心問題中的第四類問題，即求曲線的長度,、曲線圍成的面積,、曲面圍成的體積、物體的重心和引力等等. 此類問題的研究具有久遠的歷史,，例如,，古希臘人曾用窮竭法求出了某些圖形的面積和體積，我國南北朝時期的祖沖之,、祖恒也曾推導(dǎo)出某些圖形的面積和體積,，而在歐洲，對此類問題的研究興起于17世紀(jì),，先是窮竭法被逐漸修改,，后來由于微積分的創(chuàng)立徹底改變了解決這一大類問題的方法.

由求運動速度、曲線的切線和極值等問題產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)和微分,，構(gòu)成了微積分學(xué)的微分學(xué)部分,；同時由已知速度求路程,、已知切線求曲線以及上述求面積與體積等問題，產(chǎn)生了不定積分和定積分,，構(gòu)成了微積分學(xué)的積分學(xué)部分.