前面接連發(fā)了三篇麥克斯韋方程組的文章（積分篇,、微分篇和電磁波篇），從理論上來說,，講麥克斯韋方程組不講微積分是不行的,，因?yàn)槿思冶緛砭褪且唤M積分方程和一組微分方程。但是,，為了讓更多人,，尤其是中學(xué)生也能理解這“最美的公式”，長尾君還是預(yù)設(shè)不懂微積分的人也能看懂文章,，于是在文章里也只是非常簡單地提了一些必要的微積分?，F(xiàn)在麥克斯韋方程組講完了，我們?cè)賮砗煤昧囊涣?strong>微積分,。
微積分有多重要相信大家多多少少心里都有點(diǎn)數(shù)，搞數(shù)學(xué)的不會(huì)微積分就跟中學(xué)生不會(huì)“加減乘除”一樣,，基本上啥都干不了,。牛頓是物理學(xué)界的封神人物，然而牛頓還憑借著微積分的發(fā)明,，跟阿基米德,、高斯并稱為世界三大數(shù)學(xué)家，這是何等榮耀,？這又從側(cè)面反映出微積分是何等地位,？除了重要，很多人對(duì)微積分的另一個(gè)印象就是難,。在許多人眼里,，微積分就是高深數(shù)學(xué)的代名詞，就是高智商的代名詞,，許多家長一聽說誰家孩子初中就學(xué)了微積分,，立馬就感嘆這是別人家的天才。其實(shí)不然,，微積分并不難,，它的基本思想甚至是非常簡單的，不然也不會(huì)有那么多初中生學(xué)習(xí)微積分的事了,。所以,，大家在看這篇文章的時(shí)候不要有什么心理負(fù)擔(dān)，微積分并不是什么很難的東西,，我們連高大上的麥克斯韋方程組都看過來了,，還怕什么微積分對(duì)不對(duì)？只要跟著長尾科技的思路走,，我相信一般的中學(xué)生都是可以非常順暢地理解微積分的,。我們從小學(xué)就學(xué)了各種求面積的公式,，什么長方形,、三角形、圓,、梯形等等,，然后“求陰影部分的面積”就成了小時(shí)候的一塊心理陰影。不知道大家當(dāng)時(shí)有沒有想過一個(gè)問題：好像我們每學(xué)一種新圖形就有一個(gè)新的面積公式,，可是,，世界上有無數(shù)種圖形啊，難道我要記無數(shù)種公式么,？這太令人沮喪了,！
更令人沮喪的是，還有很多圖形根本就沒有什么面積公式,。比如我隨手在紙上畫一條曲線,，這條曲線圍成的面積你要用什么公式來算？但是,，它確實(shí)圍成了一塊確定大小的區(qū)域啊,，大小是確定的就應(yīng)該能算出面積來，算不出來就是你的數(shù)學(xué)不行,，對(duì)吧,？于是，這個(gè)事就深深地刺痛了數(shù)學(xué)家們高傲的內(nèi)心,，然后就有很多人來琢磨這個(gè)事,，比如阿基米德。面對(duì)這個(gè)問題,，古今中外的數(shù)學(xué)家的想法都是類似的，那就是：用我們熟悉的圖形（比如三角形,、長方形等）去逼近曲線圍成圖形的面積,。這就好比在鋪地板磚的時(shí)候，我們會(huì)用盡可能多的瓷磚去填滿地板,，然后這些瓷磚的面積之和差不多就是地板的面積,。阿基米德首先考慮拋物線：如何求拋物線和一條直線圍成的面積？拋物線,，顧名思義,，就是你往天上拋一塊石頭，這塊石頭在空中劃過的軌跡,。如下圖的外層曲線：這條拋物線和直線BC圍成了一個(gè)弓形（形狀像一把弓箭,，涂了顏色的部分）,，這個(gè)弓形的面積要怎么求呢？阿基米德的想法是用無數(shù)個(gè)三角形去逼近這個(gè)弓形,，就好像我們用很多三角形的瓷磚去鋪滿這塊弓形的地板一樣,。
他先畫了一個(gè)藍(lán)色的大三角形ABC（這個(gè)三角形并不是隨意畫的，拋物線在A點(diǎn)處的切線必須跟BC平行,。這里我們不細(xì)究,，只要知道能夠畫出這樣一個(gè)三角形就行）。當(dāng)然,，這個(gè)三角形ABC的面積肯定比弓形的面積小,，小多少呢？顯而易見,，小了左右兩邊兩個(gè)小弓形的面積,。如果我們能把這兩個(gè)小弓形的面積求出來，加上三角形ABC就可以求出原來大弓形的面積了,。但是,，如何求這兩個(gè)小弓形的面積呢？答案是：繼續(xù)用三角形去逼近,！于是，阿基米德又使用同樣的方法,，在這兩個(gè)小弓形里畫了兩個(gè)綠色的三角形,。同樣的，在這兩個(gè)小弓形被兩個(gè)綠色三角形填充之后,，我們又多出了四個(gè)弓形,，然后我們又用四個(gè)黃色的三角形去填充剩余的弓形……很顯然，這個(gè)過程可以無限重復(fù)下去,。我們可以用1個(gè)藍(lán)色,，2個(gè)綠色的，4個(gè)黃色的,，8個(gè)紅色的等無窮多個(gè)三角形來逼近這個(gè)弓形,。我們也能很直觀地感覺到：我們使用的三角形越多，這些三角形的面積之和就越接近大弓形的面積,。用三角形的面積之和來逼近這個(gè)弓形面積,，這我沒意見，但關(guān)鍵是你要怎樣求這么多三角形（甚至是無窮多個(gè)三角形）的面積呢,？這就是阿基米德厲害的地方,，他發(fā)現(xiàn)：每次新畫的三角形的面積都是上一輪三角形面積的1/4。也就是說,，2個(gè)綠色三角形的面積之和剛好是1個(gè)藍(lán)色三角形面積的1/4,；4個(gè)黃色的三角形的面積之和剛好是2個(gè)綠色三角形的1/4,，那么就是1個(gè)藍(lán)色三角形面積的1/16，也就是（1/4）2……如果我們把所有三角形的面積都折算成第一個(gè)藍(lán)色三角形ABC（用△ABC表示）的面積,，那么大弓形的面積S就可以這樣表示：S=△ABC+（1/4）△ABC+（1/4）2△ABC +（1/4）3△ABC……這東西放在今天就是一個(gè)簡單的無窮級(jí)數(shù)求和問題,，但阿基米德是古希臘人，那是秦始皇都還沒統(tǒng)一中國的年代,，什么高等數(shù)學(xué)更是不存在的,，怎么辦呢？阿基米德計(jì)算了幾項(xiàng),，直覺告訴他這個(gè)結(jié)果在不斷地逼近（4/3）△ABC,，也就是說你用的三角形越多，面積S就越接近（4/3）△ABC,。于是阿基米德就猜測(cè)：如果我把無窮多個(gè)三角形的面積都加起來,，這個(gè)結(jié)果應(yīng)該剛好等于（4/3）△ABC。當(dāng)然,，光猜測(cè)是不行的,，數(shù)學(xué)需要的是嚴(yán)格的證明，然后阿基米德就給出了證明,。他證明如果面積S大于（4/3）△ABC會(huì)出現(xiàn)矛盾,，再證明如果它小于（4/3）△ABC也會(huì)出現(xiàn)矛盾，所以這個(gè)面積S就只能等于（4/3）△ABC,，證畢,。就這樣，阿基米德就嚴(yán)格地求出了拋物線和直線圍成的弓形的面積等于△ABC的4/3,，他使用的這種方法被稱為“窮竭法”,。時(shí)光荏苒，再見已經(jīng)是一千八百年后的十七世紀(jì)了,。窮竭法可以精確地算出一些曲線圍成的面積,，但是它有個(gè)問題：窮竭法對(duì)于不同曲線圍成的面積使用不同的圖形去逼近。比如上面使用的是三角形,，在其它地方就可能使用其它圖形,，不同圖形證明技巧就會(huì)不一樣，這樣就比較麻煩,。到了十七世紀(jì),，大家就統(tǒng)一使用矩形（長方形）來做逼近：不管你是什么曲線圍成的圖形，我都用無數(shù)個(gè)矩形來逼近你,，而且都沿著x軸來做切割,。這樣操作上就簡單多了。還是以拋物線為例，這次我們考慮最簡單的拋物線y=x2,，它的圖像大概就是下面這樣（每取一個(gè)x的值,，y的值都是它的平方），我們來具體算一算這條拋物線在0到1之間與x軸圍成的面積是多少,。我們用矩形來逼近原圖形,，容易想象，矩形的數(shù)量越多,，這些矩形的面積之和就越接近曲線圍成的面積,。這個(gè)思路跟窮竭法類似，但是更容易理解,。
我們假設(shè)0到1之間被平均分成了n份,，那么每一份的寬度就是1/n。而矩形的高度就是函數(shù)的縱坐標(biāo)的值,，縱坐標(biāo)可以通過y=x2很容易算出來,。于是，我們就知道,，第1個(gè)矩形的高度為（1/n）2,，第2個(gè)為（2/n）2，第3個(gè)為（3/n）2……有了寬和高,，把它們乘起來就是矩形的面積,。于是，所有矩形的面積之和S就可以寫成這樣：這只是一段普通的化簡,，相信大家只要知道平方和公式是下面這樣就秒懂了：于是,，我們就得到了n個(gè)矩形面積之和的表達(dá)式：因?yàn)閚是矩形的個(gè)數(shù)，n越大,，矩形的數(shù)量就越多,，那么這些矩形的面積之和就越接近曲線圍成的面積,。所以,，如果n變成了無窮大，我們從“直覺”上認(rèn)為,，這些矩形的面積之和就應(yīng)該等于拋物線圍成的面積,。
與此同時(shí)，如果n是無窮大,，那么這個(gè)表達(dá)式的后兩項(xiàng)1/2n和1/6n2從直覺上來看就應(yīng)該無限趨近于0,，或者說等于無窮小，似乎也可以扔掉了,。于是,，當(dāng)n趨向于無窮大的時(shí)候，面積S就只剩下第一項(xiàng)1/3。所以,，我們就把拋物線y=x2與x軸在0到1之間圍成的面積S算出來了,，結(jié)果不多不少，就等于1/3,。看完這種計(jì)算方法,，大家有什么想說的？覺得它更簡單,，更神奇了,，或者其它什么的？大家注意一下我的措辭,，在這一段里我用一些諸如“直覺上”,、“應(yīng)該”、“似乎”這種不是很精確的表述,。在大家的印象里,，數(shù)學(xué)應(yīng)該最精確、最嚴(yán)密的一門學(xué)科啊,，怎么能用這些模糊不清的詞來形容呢,？然而，這正是問題所在：不是我不想講清楚,，而是在這個(gè)時(shí)候根本就講不清楚,。別說我講不清楚，牛頓和萊布尼茨也講不清楚,，這跟阿基米德用窮竭法求面積時(shí)的那種精確形成了鮮明的對(duì)比,。使用窮竭法求面積，比如為了得到4/3△ABC,，阿基米德就去證明如果它大于4/3會(huì)出現(xiàn)矛盾,，小于4/3也會(huì)出現(xiàn)矛盾，所以你就必須等于4/3,。這是非常嚴(yán)密的,，雖然操作上麻煩了點(diǎn)，但是邏輯上無懈可擊,。但是到了17世紀(jì),，我們是怎么得到拋物線與x軸圍成的面積等于1/3的呢？我們得到了n個(gè)矩形的面積公式：然后,，我們覺得當(dāng)n越來越大的時(shí)候,，后面兩項(xiàng)1/2n和1/6n2的值會(huì)越來越小，當(dāng)n變成無窮大的時(shí)候,，后面兩項(xiàng)應(yīng)該就是無窮小,。于是,，我們就認(rèn)為可以把它直接舍棄了，所以面積S就只剩下第一項(xiàng)1/3,。但問題是,，無窮小是多小,？從直覺上來看,，不論n取多大，1/2n和1/6n2都應(yīng)該是大于0的,，我們可以直接把0舍掉,，但是對(duì)于并不等于0的數(shù)我們能直接舍棄掉么？這樣做的合法性依據(jù)在哪里,？相對(duì)于古希臘的窮竭法,，17世紀(jì)這種“統(tǒng)一用矩形來逼近原圖形”的想法簡單了不少，但同時(shí)也失去了一些精確性,。雖然它計(jì)算的結(jié)果是正確的,，但是它的邏輯并不嚴(yán)密。邏輯不嚴(yán)密的話,，你拿什么保證你今天這樣用是正確的,，明天我那樣用它還是正確的？想想數(shù)學(xué)為什么這么令人著迷,，為什么《幾何原本》至今都保持著無與倫比的魅力,？不就是因?yàn)閿?shù)學(xué)的血液里一直流淌著無可挑剔的邏輯嚴(yán)密性么？古希臘人或許早就知道17世紀(jì)這種更簡單的計(jì)算方法,，但是因?yàn)榉椒ú粔驀?yán)密,，所以他們壓根不屑于使用。他們寧可繞彎使用更麻煩,，但是在邏輯上無懈可擊的窮竭法,，因?yàn)閷?duì)他們而言：邏輯的嚴(yán)密性，遠(yuǎn)比計(jì)算結(jié)果的實(shí)用性重要,。在對(duì)嚴(yán)密性和實(shí)用性的取舍上,，東西方走了截然不同的兩條路：古代中國毫不猶豫地選擇了實(shí)用性。他們需要數(shù)學(xué)幫助國家計(jì)算稅收,，計(jì)算橋梁房屋等建筑工程,，計(jì)算商業(yè)活動(dòng)里的各種經(jīng)濟(jì)問題,。所以,，代表中國古代數(shù)學(xué)的《九章算術(shù)》，里面全是教你怎么巧妙地計(jì)算這個(gè)計(jì)算那個(gè),。也因此,，古代中國會(huì)有那么多能工巧匠，會(huì)有那么多設(shè)計(jì)精巧的建筑工程。西方則截然相反,，古希臘人堅(jiān)定不移的選擇了嚴(yán)密性,。他們需要嚴(yán)密的邏輯幫他們認(rèn)識(shí)世界的本原，認(rèn)識(shí)世界是由什么組成的,，為什么世界會(huì)是現(xiàn)在這個(gè)樣子,。所以，代表西方古代數(shù)學(xué)的《幾何原本》就是教你怎么從5個(gè)顯而易見的公理出發(fā),，通過嚴(yán)密的邏輯一步步推導(dǎo)出400多個(gè)多定理,，即便這些定理并不顯而易見。因此,，西方能誕生現(xiàn)代科學(xué),。
失去簡單性，數(shù)學(xué)會(huì)失去很多,；失去嚴(yán)密性,，數(shù)學(xué)將失去一切。至于如何讓它變得嚴(yán)密,，后面我們會(huì)細(xì)說,。我們從開篇到現(xiàn)在一直在講面積，而微積分的名字里剛好又有一個(gè)“積”字,，那么,，這兩個(gè)“積”字有沒有什么聯(lián)系呢？答案是肯定的,。我們可以把微積分拆成“微分”和“積分”兩個(gè)詞,，積分這個(gè)詞當(dāng)初被造出來，就是用來表示“由無數(shù)個(gè)無窮小的面積組成的面積S”,。如上圖所示,，如果一條曲線y=f(x)和x軸在a和b之間圍成的面積為S，那么,，我們就可以這樣表示這部分面積S：在第2節(jié)的例子里,，我們求的是拋物線y=x2與x軸在0到1之間圍成的面積。那么,，在這里f(x)=x2,，a=0，b=1,，而且最終我們知道這個(gè)結(jié)果等于1/3,，把這些都代入進(jìn)去我們就可以這樣寫：為了加深一下大家對(duì)這個(gè)積分式子的理解,，我們?cè)倩仡櫼幌虑?span>拋物線圍成面積的過程：我們用無數(shù)個(gè)矩形把0到1之間分成了無窮多份,，然后把所有的矩形面積都加起來。因?yàn)榫匦蔚拿娣e就是底乘以高,，而這個(gè)高剛好就是函數(shù)的縱坐標(biāo)y,。所以，當(dāng)我用無數(shù)個(gè)矩形來逼近原面積的時(shí)候,，每個(gè)矩形的底自然就變成了無窮小,，這個(gè)無窮小的底就是上面的dx。而x2表示的就是函數(shù)的縱坐標(biāo),，就是矩形的高,，底（dx）和高（x2）相乘不就是在求面積么？你再看看這個(gè)式子,，跟前面求面積的過程是不是一樣的,？不過，我還是要再強(qiáng)調(diào)一次,，這里把dx當(dāng)作一個(gè)無窮小的底,，把積分當(dāng)作是求面積，這些都是微積分創(chuàng)立初期的看法,。這種看法非常符合我們的直覺,，但是邏輯上是不嚴(yán)密的。這種無窮小量dx也招致了很多人（比如我們熟悉的貝克萊大主教）對(duì)微積分的攻擊,，并且引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī),，這場危機(jī)一直到19世紀(jì)柯西等人完成了微積分的嚴(yán)密化之后才徹底化解。隨著微積分的涅槃重生,，我們對(duì)這些基本概念的看法也會(huì)發(fā)生根本的改變,。關(guān)于求面積的事情到這里就講完了，“用一些圖形去無限逼近曲線圖形”的想法很早就有了,，窮竭法在古希臘就很成熟了,，中國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽使用割圓術(shù)去逼近圓周率也是這種思想。到了17世紀(jì)初,，這些思想并沒有什么太大的改變,，由于這些解法比較復(fù)雜，又很難擴(kuò)展,，所以大家的關(guān)注度并不高,。沒辦法，因?yàn)榇蛩廊藗円膊粫?huì)想到：破解這種求曲線面積（求積分）的關(guān)鍵,，竟然藏在一個(gè)看起來跟它毫無關(guān)聯(lián)的東西身上,，這個(gè)東西就是微積分名字里的另一半：微分。當(dāng)牛頓和萊布尼茨意識(shí)到積分和微分之間的內(nèi)在關(guān)系之后,，數(shù)學(xué)就迎來了一次空前的大發(fā)展,。好，關(guān)于求面積（積分）的事情這里就先告一段落,，接下來我們就來看看微積分里的另一半：微分,。微分學(xué)的基本概念是導(dǎo)數(shù)，關(guān)于導(dǎo)數(shù),，我在麥克斯韋方程組的積分篇里講過一次,，在微分篇里又講過一次（在那里還講了升級(jí)版的偏導(dǎo)數(shù)）。這里它是主角,，我再講一次,。我們爬山的時(shí)候，山越陡越難爬,；騎車的時(shí)候,，路面的坡度越大越難騎。一個(gè)面的坡度越大,，傾斜得越厲害,，我們就越難上去，那么,，我們?cè)撊绾魏饬窟@個(gè)傾斜程度呢,？在平面里畫條一條直線，我們可以直觀地看出這條直線的傾斜程度,，而且還不難發(fā)現(xiàn)：不管在直線的什么地方,，它的傾斜程度都是一樣的。所以,，我們就可以用一個(gè)量來描述這整條直線的傾斜程度,，這個(gè)概念就被形象地命名為斜率。
那么,，一條直線的斜率要怎么計(jì)算呢,？這個(gè)想法也很直觀：建一個(gè)坐標(biāo)系，看看直線在x軸改變了Δx時(shí)候,，它在y軸的改變量Δy是多少,。如果Δx是固定的，那么顯然Δy越大,，這條直線就斜得越厲害,，斜率也就越大。這就跟我們判斷跑步的速度是一樣的道理：給定一個(gè)固定的時(shí)間,，比如10秒（相當(dāng)于固定的Δx）,，看看你能跑多遠(yuǎn)（相當(dāng)于Δy），你跑得越遠(yuǎn)（Δy越大）,，我就認(rèn)為你跑得就越快,。當(dāng)然也可以反過來,，給定一個(gè)固定的距離，比如100米（相當(dāng)于Δy）,，你跑的時(shí)間越短（Δx越小）,，我就認(rèn)為你跑得越快。
把這兩種情況綜合一下,，我們就能發(fā)現(xiàn)：固定時(shí)間（Δx）也好,，固定距離（Δy）也好，最終起決定作用的是Δy和Δx的比值Δy/Δx,。這個(gè)比值越大,，你就跑得越快，對(duì)應(yīng)的直線也就越陡,。所以,，我們就可以在直線上隨意找兩個(gè)點(diǎn)，用它們縱坐標(biāo)之差Δy和橫坐標(biāo)之差Δx的比值（Δy/Δx）來定義這條直線斜率,。學(xué)過三角函數(shù)的同學(xué)也會(huì)知道,，這個(gè)斜率剛好就是這條直線和x軸夾角θ的正切值tanθ，即：tanθ=Δy/Δx,。這就是說,，直線和x軸的夾角θ越大，它的斜率就越大,，就傾斜的越厲害,，這跟經(jīng)驗(yàn)都是一致的。直線好說,，關(guān)鍵是曲線怎么辦,？曲線跟直線不同，它完全可以在這里平緩一點(diǎn),，在那里陡峭一點(diǎn),，它在不同地方的傾斜程度是不一樣的。所以,，我們就不能說一條曲線的傾斜程度（“斜率”）,，而只能說曲線在某個(gè)具體點(diǎn)的傾斜程度。于是,，我們就需要引入一個(gè)新的概念：切線,。切線，直觀地看,，就是剛好在這點(diǎn)“碰到”曲線的直線,。因?yàn)榍芯€是直線，所以切線有斜率，于是我們就可以用切線的斜率代表曲線在這點(diǎn)的傾斜程度,。
傳統(tǒng)上我們可以這樣定義切線：先隨便畫一個(gè)直線,，讓這條直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線叫割線（仿佛把曲線“割斷”了,，如下圖藍(lán)色的AB）,。然后，我們讓B點(diǎn)沿著曲線慢慢向A點(diǎn)靠近,，直觀上,，等到B點(diǎn)和A點(diǎn)重合之后,，割線AB就變成了曲線在A點(diǎn)的切線,。這樣做很符合人們的直覺，但是它在邏輯上會(huì)有一點(diǎn)問題：當(dāng)B點(diǎn)向A點(diǎn)移時(shí),，它是什么時(shí)候從割線變成切線的,？重合的時(shí)候么？如果B點(diǎn)和A點(diǎn)重合,，那就最后只剩下一個(gè)點(diǎn)了,，我們知道“兩點(diǎn)確定一條直線”，一個(gè)點(diǎn)怎么能確定一條直線呢,？但是,，如果B點(diǎn)和A點(diǎn)不重合的話，那么這就仍然是一條割線而不是切線啊,。
于是,，這樣就出現(xiàn)了一個(gè)“一看非常簡單直觀，但是怎么說都說不圓”的情況,，似乎兩個(gè)點(diǎn)不行,，一個(gè)點(diǎn)也不行，怎么辦,？解決這個(gè)問題有一個(gè)很樸素的思路：要確定這條切線,，讓A、B兩點(diǎn)重合是不行的,，但是讓它們分得太開也不行,。最好就是讓這兩點(diǎn)靠近靠近無限靠近，但是就是不讓它們重合,。沒重合的話就依然是兩個(gè)點(diǎn),，兩個(gè)點(diǎn)可以確定一條直線；無限靠近的話又可以把它跟一般的割線區(qū)分開來,，這樣不就兩全其美了么,？也就是說，A,、B兩點(diǎn)必須無限靠近但又不能重合,，這樣它們的距離就無限接近0但又不等于0,。這是什么？這不就又是無窮小么,？我們前面求曲線圍成的面積的時(shí)候,，核心思想就是用無數(shù)個(gè)矩形去逼近原圖形，這樣每個(gè)矩形的底就變成了無窮小,。在這里,，我們又認(rèn)為當(dāng)A、B兩點(diǎn)的距離變成無窮小的時(shí)候,，割線AB就變成了過A點(diǎn)的切線,，是不是有點(diǎn)巧？它們之間的共性,，大家可以好好體會(huì)一下~好,，利用無窮小定義了一點(diǎn)上的切線，我們就可以理所當(dāng)然地用過這點(diǎn)切線的斜率來表示曲線在這點(diǎn)的傾斜度了,。如何求直線的斜率我們上面已經(jīng)說了,，我把這張圖再拉回來：直線的斜率等于在直線上兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差Δy和橫坐標(biāo)之差Δx的比值，即Δy/Δx,。而切線是當(dāng)曲線上A,、B兩點(diǎn)相隔無窮小時(shí)確定的直線，那么切線的斜率依然可以寫成Δy/Δx,，只不過這時(shí)Δx和Δy都無限趨近于0,。萊布尼茨就給這兩個(gè)趨近于0卻又不等于0的Δx和Δy重新取了一個(gè)名字：dx和dy，并把它們稱為“微分”,。
也就是說,，對(duì)萊布尼茨而言，dx這個(gè)微分就是當(dāng)Δx趨向于0時(shí)的無窮小量,，dy也一樣,。雖然dx和dy都是無窮小，但是它們的比值dy/dx確是一個(gè)有限的數(shù)（所以這時(shí)候你就不能把無窮小dx當(dāng)成0了,，否則還怎么當(dāng)除數(shù),？），這就是該點(diǎn)切線的斜率,，這樣一切似乎就都解釋得通了,。顯然，我們?cè)谇€的一點(diǎn)上定義了切線,，那么在平滑曲線的其它點(diǎn)上也能定義切線,。因?yàn)槊織l切線都有一個(gè)斜率，所以，曲線上的任何一點(diǎn)都有一個(gè)斜率值跟它對(duì)應(yīng),。兩個(gè)量之間存在一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,，這是什么？這就是函數(shù)啊,。函數(shù)y=f(x)不就是告訴我們：給定一個(gè)x,，就有一個(gè)y跟它對(duì)應(yīng)么？現(xiàn)在我們是給定一個(gè)點(diǎn)（假設(shè)橫坐標(biāo)為x）,，就有一個(gè)斜率dy/dx跟它對(duì)應(yīng),。顯然，這也是個(gè)函數(shù),，這個(gè)函數(shù)就叫導(dǎo)函數(shù),，簡稱導(dǎo)數(shù)。在中學(xué)的時(shí)候,，我們通常在函數(shù)f(x)的右上角加上一撇表示這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),，那么現(xiàn)在這兩種情況就都表示導(dǎo)數(shù)：所以,，導(dǎo)數(shù)f’(x)就可以表示橫坐標(biāo)為x的地方對(duì)應(yīng)切線的斜率,，它表示曲線在這一點(diǎn)上的傾斜程度。如果導(dǎo)數(shù)f’(x)的值比較大,，曲線就比較陡,，f’(x)比較小，曲線就比較平緩,。于是,，我們就可以用導(dǎo)數(shù)來描述曲線的傾斜程度了。下面我們來看一個(gè)簡單的例子,，看看如何實(shí)際求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),。例1：求函數(shù)f(x)=x2的導(dǎo)數(shù)。這還是我們前面說的拋物線,，它的函數(shù)圖像是這樣的：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),，就是求函數(shù)在每一點(diǎn)切線的斜率，而切線就是曲線上兩個(gè)相距無窮小的點(diǎn)確定的直線,。那就好說了,，我們假設(shè)曲線上有一個(gè)橫坐標(biāo)為x的點(diǎn)，那么,，跟它距離無窮小的點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是x+dx,，由于這個(gè)點(diǎn)也在曲線f(x)=x2上，所以它的縱坐標(biāo)就是(x+dx)2,，即：然后,，我們用這兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差f(x+dx)-f(x)除以橫坐標(biāo)之差(x+dx)-x就能算出x點(diǎn)的切線斜率。因?yàn)檫@個(gè)x是任意取的，所以得到的結(jié)果就是任意點(diǎn)的切線斜率,，那么這就是導(dǎo)數(shù)了：到這一步都很簡單,，接下來就有問題了：這上面和下面的dx到底能不能約掉？
我們知道,，除數(shù)是不能為0的,，如果你想分子分母同時(shí)除以一個(gè)數(shù)，就必須保證這個(gè)數(shù)不是0?，F(xiàn)在我們是想除以dx,，這個(gè)dx就是我們前面定義的無窮小量，它無限接近于0卻又不等于0,。所以,，似乎我們姑且把它當(dāng)作一個(gè)非零的量直接給約掉，那么導(dǎo)數(shù)上下同時(shí)除以dx就成了這樣：這個(gè)式子看起來簡潔了一些,，但是后面還是拖了一個(gè)小尾巴dx,。2x是一個(gè)有限的數(shù)，一個(gè)有限的數(shù)加上一個(gè)無窮小量,，結(jié)果是多少,？似乎還是應(yīng)該等于這個(gè)具體的數(shù)。比如,，100加上一個(gè)無窮小,，結(jié)果應(yīng)該還是100，因?yàn)槿绻扔?00.00…0001那就不對(duì)了,，無窮小肯定比你所有能給出的數(shù)還小啊,，那么也肯定必須比0.00…001還小。
所以,，我們似乎又有充足的理由把2x后面的這個(gè)dx也給去掉,，就像丟掉一個(gè)等于0的數(shù)一樣，這樣最終的導(dǎo)數(shù)就可以簡單地寫成這樣：大家看這個(gè)導(dǎo)數(shù),，當(dāng)x越來越大（x>0）的時(shí)候,，f(x)’的值也是越來越大的。而導(dǎo)數(shù)是用來表示函數(shù)的傾斜程度的,，也就是說,，當(dāng)x越來越大的時(shí)候，曲線就越來越陡,，這跟圖像完全一致,。
所以，我們通過約掉一個(gè)（非零的）dx,，再丟掉一個(gè)（等于零的）dx得到的導(dǎo)數(shù)f(x)’=2x竟然是正確的,。但是這邏輯上就很奇怪了：一個(gè)無限趨近于0的無窮小量dx到底是不是0,？如果是0，那么為什么可以讓分子分母同時(shí)除以它來約分,；如果不是0,，那又為什么可以把它隨意舍棄？總不能同時(shí)等于零又不等于零吧,？你又不是薛定諤家的無窮小量,。數(shù)學(xué)不是變戲法，怎么能這么隨意呢,？于是,，這個(gè)無窮小量就又招來了一堆批判。為什么說“又”呢,？因?yàn)槲以谇懊嬷v積分的時(shí)候就說了一次,，在這里就體現(xiàn)得更明顯了，眼見第二次數(shù)學(xué)危機(jī)大兵壓境~好,，我花了這么大篇幅從直線的斜率講到了曲線的導(dǎo)數(shù),，這就已經(jīng)進(jìn)入微分學(xué)的核心領(lǐng)地了。為什么導(dǎo)數(shù)這么重要呢,？因?yàn)?strong>導(dǎo)數(shù)反映的是一個(gè)量變化快慢的程度,，這其實(shí)就是一種廣義的“速度”。速度這個(gè)概念在科學(xué)里有多重要就不用我說了吧,，當(dāng)我們說一輛車的速度很快的時(shí)候,，我們其實(shí)就是在說這輛車的位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)很大,。此外,，有了導(dǎo)數(shù)，我們就能輕而易舉地求一條曲線的極值（極大值或極小值）,，為什么,？因?yàn)橹灰獙?dǎo)數(shù)不為0，曲線在這里就是在上升（大于0）或者下降（小于0）的,，只有導(dǎo)數(shù)等于0的地方,，才有可能是一個(gè)極值點(diǎn)。求極值可是非常重要的：軍人希望他們發(fā)射的炮彈可以飛得盡可能地遠(yuǎn),；商人希望他們的利潤可以盡可能地高,；我們也希望去哪都能走最近的路……
導(dǎo)數(shù)的這些用處很多人也都知道，事實(shí)上,，我上面說的所有內(nèi)容,，求曲線圍成的面積也好，求曲線的導(dǎo)數(shù)也好,，在牛頓和萊布尼茨之前大家就都已經(jīng)知道了,，但這些并不是最重要的,。牛頓和萊布尼茨之所以偉大，之所以大家把他們視為微積分的發(fā)明人,，是因?yàn)樗麄冊(cè)谶@些尋常事實(shí)背后發(fā)現(xiàn)了一個(gè)極不尋常的秘密：求面積和求導(dǎo)數(shù),，或者說積分和微分，這兩個(gè)看似完全不搭邊的東西,，竟然是一對(duì)互逆的運(yùn)算,。這里我就不重復(fù)說三遍了，暫停一分鐘,，大家好好思考一下這句話,，看看自己聽到這句極為重要的話時(shí)有何感想。積分和微分是一對(duì)互逆運(yùn)算,，這是微積分最核心的思想,。把這個(gè)思想用數(shù)學(xué)語言描述出來就會(huì)得到一個(gè)定理，這個(gè)定理叫微積分基本定理,。這也是牛頓和萊布尼茨在微積分里最重要的發(fā)現(xiàn),，因此，微積分基本定理又叫牛頓-萊布尼茨公式,。一個(gè)定理能夠被稱為XX基本定理,，能夠讓這個(gè)領(lǐng)域的兩個(gè)發(fā)明者直接冠名，這意味著什么,，相信大家心里都有數(shù),。那么，這句話到底是什么意思呢,？說求面積（積分）和求導(dǎo)（微分）是一對(duì)互逆運(yùn)算到底是在說什么,？甚至，什么叫互逆運(yùn)算,？為什么發(fā)現(xiàn)“積分和微分是互逆的”這個(gè)事情這么重要,？別急，且聽長尾君慢慢道來,。什么是互逆運(yùn)算,？這里我們不去細(xì)扣它的定義，就直觀地感受一下,。從名字來看,，互逆互逆，那應(yīng)該就是有兩種運(yùn)算,，一種能夠把它變過去,，另一種又可以把它變回來。最常見的就是加法和減法：3+2=5,，5-2=3,。3加上2可以變成5,，反過來，5減去2又可以變回3,，所以加法和減法是一對(duì)互逆運(yùn)算,，這很好理解。那么,，當(dāng)我們?cè)谡f“求面積（積分）和求導(dǎo)（微分）是一對(duì)互逆運(yùn)算”的時(shí)候,，那就是說如果有一個(gè)東西，我們對(duì)它進(jìn)行積分操作（求面積）可以得到一個(gè)新東西,，如果我們對(duì)這個(gè)新東西再進(jìn)行微分操作（求導(dǎo)）又能得到原來的那個(gè)東西,，這樣才算互逆。下面我給大家舉一個(gè)簡單的例子,，讓大家直觀地感受下為什么積分和微分是互逆的,。假如你從家去學(xué)校要走10分鐘，我們把這10分鐘平均分成10份,，每份1分鐘,。那么，你在第1分鐘里走的距離就是第1分鐘的平均速度乘以時(shí)間間隔（也就是1分鐘）,，第2分鐘里走的距離就是第2分鐘的平均速度乘以時(shí)間間隔（還是1分鐘）,。以此類推，我們分別把這10個(gè)1分鐘里走的距離加起來,，結(jié)果就是家到學(xué)校的總距離,，這個(gè)好理解吧。大家發(fā)現(xiàn)沒有：這其實(shí)就是積分的過程,。前面求曲線圍成的面積的時(shí)候,，我們就是把曲線圍成部分的x軸平均分成很多矩形，然后把每個(gè)矩形的面積都加起來,。這里求家到學(xué)校的總距離,，一樣是把家到學(xué)校的時(shí)間平均分成很多份，然后把每個(gè)小份的距離都加起來,。都是把一個(gè)大東西（家到學(xué)校的總距離，曲線圍成的總面積）平均切成很多份,，然后每一小份都用一個(gè)新的東西（每一分鐘的距離,，每一個(gè)矩形的面積）去近似，最后再把所有的小份東西加起來去逼近原來的大東西,。求面積的時(shí)候,，矩形的數(shù)量越多，矩形的面積之和就越接近真實(shí)面積,。同樣的,，我們把家到學(xué)校的10分鐘分得越細(xì)（例子里只分了10份,，我們可以分100份，1000份甚至更多）,，得到的總距離就越精確,。另外，我們把時(shí)間段分得越細(xì),，每個(gè)小時(shí)間段里的平均速度就越接近瞬時(shí)速度,，如果無窮細(xì)分，那么無窮小時(shí)間段里的平均速度就可以認(rèn)為就是瞬時(shí)速度了,。也就是說,，如果知道整個(gè)過程中的瞬時(shí)速度（或者說是無窮小時(shí)間段內(nèi)的速度），我們就能精確地求出無窮小時(shí)間段內(nèi)的距離,，然后把所有距離加起來得到精確的總距離,，這就是積分。也就是說,，通過積分過程,，我們能從瞬時(shí)速度求出總距離。另一方面,，要證明微分（求導(dǎo)）是這個(gè)過程的逆運(yùn)算,，我們就得證明從總距離可以求出瞬時(shí)速度。也就是說,，如果已知任意時(shí)刻你從家到學(xué)校的距離,，你通過微分（求導(dǎo)）能把瞬時(shí)速度求出來。
這不是顯而易見的事么,？距離對(duì)時(shí)間求導(dǎo),，這就是速度啊，前面我們也說了“導(dǎo)數(shù)是一種廣義的速度”,。也就是說：距離除以時(shí)間,，結(jié)果就是速度。你用平均距離除以平均時(shí)間得到平均速度,，用瞬時(shí)距離（某一時(shí)刻的距離）除以瞬時(shí)時(shí)間（無窮小時(shí)間片段）自然就得到了瞬時(shí)速度,。這樣不就完了么，通過積分,，我們能從瞬時(shí)速度求出總距離來,；通過微分，我們能從總距離求出瞬時(shí)速度,，這就說明積分和微分是一對(duì)互逆運(yùn)算,。我們也可以換個(gè)角度，從圖像來更直觀的看這點(diǎn),。中學(xué)學(xué)物理的時(shí)候,，老師一定會(huì)畫速度-時(shí)間（v-t）圖像,。v-t圖像就是在一個(gè)坐標(biāo)系里，用縱軸表示物體運(yùn)動(dòng)的速度v,，橫軸表示時(shí)間t,，然后分析物體的運(yùn)動(dòng)情況。如下圖：然后老師就會(huì)告訴你：v-t圖像里它們圍成的面積s就是物體運(yùn)動(dòng)的位移的大小（位移是有方向的距離,，是一個(gè)矢量）,。你們想啊，這個(gè)坐標(biāo)里橫軸是時(shí)間t,，縱軸是速度v,，你要算它們的面積，那肯定是要用乘法的,。物體做勻速運(yùn)動(dòng)的軌跡就是一條平行于t軸的直線,，速度v1乘以時(shí)間t0剛好就是它們圍成的矩形的面積s，而速度乘以時(shí)間的物理意義就是它的位移,。所以,，面積代表位移，剛剛好,。當(dāng)物體不是勻速運(yùn)動(dòng)（軌跡是曲線）的時(shí)候,，我就可以把時(shí)間切割成很多小段，在每一小段里把它們近似當(dāng)作勻速運(yùn)動(dòng),，這樣每一個(gè)小段的面積就代表每一個(gè)小段里的位移,。然后我把所有小段的面積加起來，得到的總面積不就可以代表總位移了么,？所以,，曲線圍成的面積s一樣代表位移。大家想想,，處理曲線的時(shí)候,，我們把時(shí)間切成很多塊，用每一個(gè)小塊的面積（位移）之和去逼近總面積（位移）,，這不就是積分的思想么,？反過來，如果你把這個(gè)黃色的面積S,，把這個(gè)整體的位移看作一個(gè)隨時(shí)間t變化的函數(shù),，對(duì)它求導(dǎo)自然就能得到速度t。也就是說,，我們對(duì)速度v做一次積分能得到位移s；反過來,，對(duì)位移s求一次導(dǎo)數(shù)（微分）就能得到速度v,。這樣它們的互逆關(guān)系就非常清楚了：這部分邏輯并不難理解,，大家只要好好琢磨一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)“積分和微分是互逆運(yùn)算”這個(gè)事情是非常自然的,。它在日常生活中到處都有體現(xiàn),，只不過我們平常沒有太注意，而牛頓和萊布尼茨注意到了,。
知道了“積分和微分是互逆運(yùn)算”能給我們帶來什么呢,？答案是：多一種選擇。因?yàn)榧热环e分和微分是互逆運(yùn)算,，那么有些操作如果積分不擅長,，我就可以把它丟給微分。什么意思,？還是以最開始求曲線圍成的面積為例,。我們是這樣求拋物線y=x2與x軸在0到1之間圍成面積的：如果用n個(gè)矩形去逼近，每個(gè)矩形的底就是1/n,，n個(gè)矩形的面積之和就是這樣：當(dāng)n趨向于無窮大的時(shí)候,，后面兩項(xiàng)就等于無窮小，然后結(jié)果就只剩下第一項(xiàng)1/3,。
用這種方法,，面對(duì)不同的曲線就得有不同的求和公式，最后還得保證相關(guān)項(xiàng)可以變成無窮小丟掉,。所以,，這種方法的復(fù)雜度和局限性都非常大，無法推廣,。但是,，在偉大的牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“積分和微分是互逆運(yùn)算”之后，這一切就改變了,。因?yàn)槲覀冇辛硪环N選擇：積分之路如果不好走,，我們可以走微分啊。怎么走呢,？前面講微分的時(shí)候,，我們計(jì)算過f(x)=x2的導(dǎo)數(shù)，最終的結(jié)果是這樣的：那么反過來,，如果我知道有一個(gè)函數(shù)是f(x)=2x,，難道我就猜不出究竟是哪個(gè)函數(shù)求導(dǎo)之后變成了f(x)=2x么？當(dāng)然可以啊,，我們完全可以根據(jù)f(x)=2x反推出原來的函數(shù)是f(x)=x2+c,。為什么這里多了一個(gè)常數(shù)c？因?yàn)槌?shù)求導(dǎo)的結(jié)果都是0，所以就多了這樣一個(gè)尾巴,。也就是說,，f(x)=x2，f(x)=x2+1,，f(x)=x2+3等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是f(x)=2x,，只憑f(x)=2x我們無法確定最開始函數(shù)具體是什么樣子。但是,，我們可以確定它一定就是x2加上一個(gè)常數(shù)c,。于是，我們就把求導(dǎo)之前原來的函數(shù)f(x)=x2+c稱為的f(x)=2x的原函數(shù),。好,，下面是關(guān)鍵：積分是函數(shù)圍成面積的過程，速度v通過積分就得到了位移s,，在v-t圖像里速度v圍成的面積就是位移s,；微分是求導(dǎo)的過程，對(duì)位移s求一次導(dǎo)數(shù)就能夠得到速度v,。有了原函數(shù)以后,，我們也可以根據(jù)速度v把（求導(dǎo)之后等于速度v的）位移s給求出來，這時(shí)候位移s就是速度v的原函數(shù)（無非就是再加一個(gè)常數(shù)c）,。而原函數(shù)表示的位移s就是速度v圍成的面積,，于是，原函數(shù)就有了求面積（積分）的效果,。也就是說,，s求導(dǎo)一次就變成了v，那么v反向求導(dǎo)一次就可以得到s,，這時(shí)候s是v的原函數(shù),。另一方面，因?yàn)閟求導(dǎo)一次能變成了v,，那么v積分一次也能變成了s（互逆運(yùn)算）,。于是，v通過求原函數(shù)和積分都能得到s,，所以原函數(shù)s其實(shí)就有了積分（曲線v圍成面積）的效果,。再簡單地說，因?yàn)?span>積分和微分是一對(duì)互逆運(yùn)算,，所以你反向微分（求原函數(shù)）的話,，自然就“負(fù)負(fù)得正”，得到和積分一樣的效果了,。所以,，現(xiàn)在求曲線f(x)=x2和x軸在0到1區(qū)間里圍成面積這個(gè)原本屬于積分的事情，現(xiàn)在就可以通過反向微分（求原函數(shù)）來實(shí)現(xiàn)。這是一次非常華麗的轉(zhuǎn)變,，馬上你就會(huì)看到這種新方法會(huì)把問題簡化到什么程度,，而且,，正是這種力量讓數(shù)學(xué)發(fā)生了根本性的改變,。好，既然要用反向微分的方法求面積,，那我們就去找f(x)=x2的原函數(shù),，看看到底是哪個(gè)函數(shù)求導(dǎo)之后變成了f(x)=x2。我們用F(x)來表示這個(gè)原函數(shù),，那么F(x)就是它（C為常數(shù)）：大家不放心可以自己去驗(yàn)算一下,，看看這個(gè)F(x)求導(dǎo)之后的結(jié)果是不是f(x)=x2。因?yàn)?span>求導(dǎo)是一個(gè)非常重要,、基礎(chǔ)的東西,，所以求一些常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和原函數(shù)都被一勞永逸的制成了表格，大家需要的時(shí)候直接去查,，記住幾個(gè)常用的就行,。不過，在學(xué)習(xí)的初期,，大家還是要親自去算一些求導(dǎo)的例子,。
有了f(x)=x2的原函數(shù)F(x)以后，怎么去求f(x)和x軸在0到1區(qū)間里圍成的面積呢,？前面已經(jīng)分析了,，原函數(shù)具有積分的效果，而積分就是曲線圍成的面積,，所以原函數(shù)也可以表示曲線圍成的面積（為了方便理解,，這里我們先不考慮常數(shù)c的影響，反正函數(shù)相減的時(shí)候常數(shù)c會(huì)抵消掉）,。因此,，我們要求f(x)與x軸在0到1區(qū)間內(nèi)圍成的面積，直接用這個(gè)代表面積的原函數(shù)F(x)在1處的值F(1)減去在0處的值F(0)就完了：對(duì),，你沒看錯(cuò),，這樣就完了。F(1)-F(0)就是曲線在0到1之間圍成的面積,，我們這樣得到的結(jié)果是1/3,，跟我們?cè)瓉碛?strong>矩形逼近計(jì)算的結(jié)果一模一樣，驚不驚喜,，意不意外,？但是它明顯比原來的方法簡單太多太多太多了，簡單到一個(gè)中學(xué)生都能輕而易舉地算出來，這才是微積分的真正力量,。有了這樣的鋪墊,，微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）就非常容易理解了：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a到b之間連續(xù)（簡單理解就是曲線沒有斷），并且存在原函數(shù)F(x),，那么就有：這是式子的左邊就是函數(shù)f(x)與x軸在a到b區(qū)間內(nèi)圍成的面積,，這點(diǎn)我們?cè)谥v積分的時(shí)候講過了：式子的右邊就是原函數(shù)在b點(diǎn)和a點(diǎn)的差。意義也很明確：函數(shù)反向求導(dǎo)得到的原函數(shù)F(x)本來就表示面積,，那么F(b)-F(a)自然就是這兩點(diǎn)之間的面積之差,。于是公式左右兩邊就都表示面積，完美,！
這就是微積分的基本定理,，這就是微積分的核心思想。相信大家一路看到這里,，要理解這個(gè)已經(jīng)不是什么難事了,。所謂牛頓和萊布尼茨發(fā)明的微積分，本質(zhì)上就是他們看到了“積分和微分是一對(duì)互逆運(yùn)算”,，于是我就可以使用“反向微分（求原函數(shù)）”的方法來處理積分的問題,。積分的逆運(yùn)算不是微分么？那么我把微分再逆一次,，于是就“負(fù)負(fù)得正”,，又變成積分了。而“對(duì)函數(shù)求導(dǎo),，求原函數(shù)”比用原始定義,，用無窮多個(gè)矩形去逼近曲線面積的方法要簡單得多得多，并且這種方法還具有一般性,。因此,，積分和微分原本是兩門獨(dú)立的學(xué)問，現(xiàn)在被牛頓和萊布尼茨統(tǒng)一成了微積分,，這種1+1會(huì)產(chǎn)生遠(yuǎn)大于2的力量,。于是，接下來的數(shù)學(xué)和科學(xué)都出現(xiàn)了空前的發(fā)展,。微積分的發(fā)明使我們求曲線圍成面積的難度出現(xiàn)了斷崖式的下降,。那么，在這個(gè)過程中到底發(fā)生了什么,？為什么數(shù)學(xué)可以如此有效地簡化我們的問題,？是我們的問題本來就很簡單，以前把它想復(fù)雜了,，還是我們真的把問題的復(fù)雜度降低了,？還記得小學(xué)遇到的“雞兔同籠”問題么,？雞和兔被關(guān)在一個(gè)籠子里，從上面數(shù),，一共有35個(gè)頭,，從下面數(shù)，一共有94只腳,，請(qǐng)問籠子里分別有多少只雞和兔,？有很多“聰明”的老師會(huì)教你一些非常“有用”的解題技巧,，比如,，因?yàn)殡u有一個(gè)頭兩只腳，兔子有一個(gè)頭四只腳,，而現(xiàn)在總共有35個(gè)頭，那么你把這個(gè)35乘以2,，得到的70就是所有的雞的腳加上一半的兔子的腳（因?yàn)橥米佑?只腳,，而你只乘以2，所以每只兔子你還有2只腳沒有算）,。然后,，我用總腳數(shù)94減去這個(gè)70，得到的24就是剩下的一半兔子腳,，再用24除以2（一只兔子4只腳,，一半就是2只）就得到了兔子的數(shù)量12。因?yàn)橐还灿?5個(gè)頭,，那么用35-12=23就是雞的數(shù)量,。當(dāng)然，雞兔同籠問題還有很多其它的特殊解法,，長尾君這里就不再列舉了,。這些解法算出來的結(jié)果有問題嗎？當(dāng)然沒問題,，但是這些解法簡單么,？好么？不好,！為什么,？因?yàn)?strong>局限性太大了。我今天放雞和兔你可以這樣算,，那明天我要是放點(diǎn)其它的動(dòng)物這方法是不是就不管用了,？如果下次不是數(shù)頭和腳，而是去數(shù)翅膀和腳,，這方法還行么,？這就跟阿基米德用窮竭法算曲線圍成的面積一樣,，面對(duì)每一種不同曲線圍成的面積，我求面積的方法都不一樣,。我的每一種解法都嚴(yán)重依賴曲線的具體特性,，所以這種方法的局限性就非常大，帶來的意義也非常有限,。而微積分之所以偉大,，就是因?yàn)?strong>它從這些看起來不一樣的問題里抽象出來了一個(gè)共同的本質(zhì)，然后所有的問題都可以套用這套程序,，這樣大家才能放心的以它為跳板往前沖,。后來我們學(xué)習(xí)了方程，接著就發(fā)現(xiàn)以前讓我們頭痛不已的“雞兔同籠”問題突然就變得非常簡單了,。不僅解決這個(gè)具體問題簡單,，而且隨便你怎么變化，加入其它的動(dòng)物也好,，數(shù)上翅膀也好,，都可以用一樣的程序閉著眼睛把題目做出來。為什么會(huì)這樣,？沒有方程的時(shí)候,，我們得具體問題具體分析，然后根據(jù)它的題干去做各種逆向分析,。逆向思考,，這本來就是很反人類的思維方式。我們很容易從一系列原因出發(fā)得到某種結(jié)果,，但是給你某種結(jié)果讓你去倒著分析原因就是很困難的事情了（這不才有了偵探這個(gè)職業(yè)么）,。比如，如果我們現(xiàn)在知道了有23只雞,，12只兔子,，然后讓你去計(jì)算有多少頭和腳，這是正向思維,，很容易,。但是，如果告訴你有多少頭和腳,，讓你去反著思考有多少雞和兔子,，這就是逆向思維了，很麻煩,。方程告訴我們：為什么放著自己熟悉的正向思維不用,，而跑去用麻煩的逆向思維呢？你說,，我這不是不知道有多少只雞和兔子,，這不得已才用逆向思維么,？方程告訴你，你不知道有多少只雞和兔子無所謂,，你可以先用一個(gè)未知的量代替它,，先用正向思維把方程列出來再說。比如,，我假設(shè)有x只雞,，y只兔子，那么,，一共就有x+y個(gè)頭,，2x+4y只腿。而題目告訴我們有35個(gè)頭,，94只腳,，所以我們就可以得到：我們毫不費(fèi)力的就把這兩個(gè)方程列出來了，于是這個(gè)題目基本上就做完了,。因?yàn)槭Ｏ碌氖虑榫褪前褁和y從方程里解出來,，而解方程是一件高度程序化的事情，什么樣的方程怎么去求解,，都有固定的方法。
從小學(xué)時(shí)代的“聰明技巧”到傻瓜式地列方程,、解方程,，這是數(shù)學(xué)上一個(gè)非常典型的進(jìn)步，大家可以仔細(xì)想想：這個(gè)過程中到底發(fā)生了什么,？方程到底是如何簡化問題的,？這跟微積分的發(fā)明有何異曲同工之妙？其實(shí),，我們開始思考雞兔同籠的那些“聰明的技巧”,，那些逆向思維時(shí)的思路，都被打包塞到解方程的步驟里去了,。第一步,，把方程1兩邊都乘以2，得到2x+2y=70（這不就是跟我們上面的方法一樣,，把所有雞兔的頭都乘以2么）,。第二步，再用方程2減去方程1,，這樣就把x消去了,，得到了2y=24（我們上面也是這么說的,，腳的數(shù)量減去2倍頭的數(shù)量就等于兔子剩下的腳的一半），然后就把兔子的數(shù)量y=12求出來了,。第三步,，把兔子的數(shù)量，也就是y的值12代入到方程1,，求出x的值,，得到了雞的數(shù)量23。大家發(fā)現(xiàn)沒有：你以前思考這個(gè)問題時(shí)最復(fù)雜的那些步驟,，現(xiàn)在完全被機(jī)械化地打包到解方程的過程中去了,。你以前覺得那些只有你才能想得到的巧妙解題技巧，只不過是最簡單的解方程的方法,，所以你就覺得這個(gè)問題現(xiàn)在變得非常簡單了,。數(shù)學(xué)不斷地從不同領(lǐng)域抽象出一些相同的本質(zhì),，然后盡可能地把抽象出來的東西一般化,，程序化，這樣我們就能越來越方便地掌握各種高級(jí)數(shù)學(xué)武器,。因此,，數(shù)學(xué)越發(fā)展越抽象，越看重這種能夠一般化,、程序化的解決某種問題的方法,。所以，方程的思想是革命性的,，微積分也一樣,。微積分也是使用了一種通用的方法來處理各種曲線圍成的面積，稍加變化我們就能同樣求出曲線的長度,，或者曲面包含的體積,。微積分之所以能夠簡化求面積的邏輯，是因?yàn)槲⒎e分把這塊邏輯都打包到求原函數(shù)里去了,，而后者是一個(gè)可以程序化,、一般化的操作。所以,，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候,，也要更多地注意這些數(shù)學(xué)是從哪些不同的地方抽象出了哪些相同的本質(zhì)，如何一般化地解決這類問題上,。這是數(shù)學(xué)的“大道”,，我們不用過于在意那些小技巧，沒必要耗時(shí)間去琢磨“雞兔同籠”問題的108種解法,，以至于揀了芝麻丟了西瓜~這一段似乎有點(diǎn)偏離主題,，但是我覺得很重要,。把這些理清楚了，對(duì)大家如何定位數(shù)學(xué),，如何理解,、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)都會(huì)有很大的幫助。否則,，如果我們從小學(xué)到高中學(xué)了十幾年的數(shù)學(xué),，卻不知道數(shù)學(xué)是什么，那不是很悲催么,？而且,，這一段對(duì)于我們理解微積分的意義也會(huì)很有幫助。好,，現(xiàn)在微積分創(chuàng)立了,，微積分的基本定理也被正式地提出來了，接下來應(yīng)該再做什么呢,？你該不會(huì)以為文章到這里就要結(jié)束了吧,？不不不，還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有,。誠然,，微積分基本定理的發(fā)現(xiàn)是這場革命里最核心的東西，相當(dāng)于革命的指導(dǎo)思想,。既然已經(jīng)有了指導(dǎo)思想,，那接下來要做的事情自然就是擴(kuò)大戰(zhàn)果，把這么優(yōu)秀的思想擴(kuò)散到各個(gè)領(lǐng)域里去啊,。怎么擴(kuò)呢？首先,，微積分基本定理的核心思想就是用求原函數(shù)的方式來解決求面積的問題,，所以求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)就成了問題的核心。那么,，我們自然就要研究各種常見函數(shù)的求導(dǎo)和求原函數(shù)的方法,。這些弄清楚之后，我們接下來就要問：由一些常見函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù),，比如兩個(gè)函數(shù)相加減,、相乘除、相嵌套復(fù)合等時(shí)候要怎么求原函數(shù),？怎么求積分,？再擴(kuò)展一下，現(xiàn)在知道了如何求面積,，那要怎樣求體積,，求曲線的長度呢,？這部分內(nèi)容是我們最擅長的，也是我們考試的重點(diǎn),。它的核心就是熟悉各種前人總結(jié)下來的微積分技巧,，多練習(xí)，熟能生巧,，沒什么捷徑,。但是，也要特別警惕把對(duì)微積分的學(xué)習(xí)完全變成了對(duì)這種技巧的訓(xùn)練,，這樣數(shù)學(xué)就真的變成了算術(shù)了,。此外，我強(qiáng)烈建議有抱負(fù)的同學(xué)不要急著打開微積分的課本直接去翻看這些問題的答案,。我在前面已經(jīng)把微積分的思想說了,，大家完全可以看看自己能不能獨(dú)立把這些問題推出來，實(shí)在沒轍了再去翻課本,，也就是孔子說的“不憤不啟,，不悱不發(fā)”。像牛頓和萊布尼茨那樣洞察“積分和微分是互逆運(yùn)算”,，然后提出微積分基本定理,，這是一流科學(xué)家的素養(yǎng)。一流科學(xué)家提出這種重大創(chuàng)新之后,，你能跟著把后面很自然的東西做完善,，這是二流科學(xué)家的基本素養(yǎng)。大家在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候要有意識(shí)地培養(yǎng)自己的這種能力~
然后,，我們就可以把微積分的技術(shù)擴(kuò)展到各種其它的領(lǐng)域了,。比如，有了微積分,，我就可以研究彎曲的東西,，曲線、曲面什么的都可以研究,。這就等于說是在用微積分來研究幾何,，這就是微分幾何。后面我講廣義相對(duì)論的時(shí)候,，這玩意就必不可少了,。有了微積分，我們發(fā)現(xiàn)很多物理定律都可以寫成微分方程的形式,，有多個(gè)變量的時(shí)候就是偏微分方程,。我上三篇文章講的麥克斯韋方程組、波動(dòng)方程，后面要講的廣義相對(duì)論的場方程,，都是這樣,。有了微積分，我們就可以計(jì)算各種不同曲線的長度,。那么,，如何確定在特定條件下最短的那條曲線呢？這里就發(fā)展出了變分法,，變分法配合最小作用量原理,，在物理學(xué)的發(fā)展里起到了極為關(guān)鍵的作用。所以,，微積分在接下來的兩個(gè)世紀(jì)里基本上就這樣瘋狂的擴(kuò)張著,。科學(xué)（尤其是物理學(xué)）的發(fā)展需要微積分,，微積分也需要從科學(xué)里尋汲取營養(yǎng),，它們就這樣相互促進(jìn)、相互成長,、相親相愛,。但是，似乎大家都忘了一個(gè)問題：此時(shí)微積分的基礎(chǔ)并不牢固,，萊布尼茨把dx視為一個(gè)無窮小量,，但是無窮小量還是怎么說都說不圓。一個(gè)接近于0又不等于0的無窮小量到底是個(gè)什么玩意,？為什么你有時(shí)候可以把它當(dāng)除數(shù)約掉（認(rèn)為它不為0）,，有時(shí)候又隨意把它舍棄（認(rèn)為它等于0）？看數(shù)學(xué)史的時(shí)候也會(huì)覺得奇怪,，像歐拉,、拉格朗日、拉普拉斯,、伯努利兄弟這些頂級(jí)數(shù)學(xué)家,，居然都對(duì)這些問題視而不見。更讓人奇怪的是,，他們使用這種邏輯不嚴(yán)密的微積分居然沒有出什么差錯(cuò)，只能說大佬們的直覺確實(shí)逆天,。因此,，微積分最后的問題就是：如何使微積分嚴(yán)密化？如何把微積分建立在一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上,？之所以把dx看成一個(gè)無限趨近于0卻又不等于0的無窮小量,，主要是因?yàn)檫@樣做很直觀。我們用很多矩形去逼近曲線圍成的面積，矩形數(shù)量越多,，每個(gè)矩形的寬度就越小,。當(dāng)矩形的數(shù)量變成“無窮多個(gè)”的時(shí)候，每個(gè)矩形的寬度就“理所當(dāng)然”地變成了無窮小,。這么看,，無窮小量確實(shí)很直觀，但是這里有什么問題呢,？當(dāng)我說矩形的數(shù)量是一百個(gè),、一千個(gè)的時(shí)候，我是可以把它們都數(shù)出來的,，我也可以把它們的面積之和都算出來,。但是，當(dāng)你說矩形的數(shù)量是無窮多個(gè)的時(shí)候,，無窮多個(gè)是多少個(gè),？你能數(shù)出來么？你真的可以把無窮多個(gè)矩形的面積一一算出來,，然后把它們加起來么,？有人可能覺得我在胡攪蠻纏。無窮嘛,，那肯定是無法具體數(shù)出來,、測(cè)出來的，也不可能真的把無窮多個(gè)矩形的面積一個(gè)個(gè)算出來再求和,。但是我知道是那么個(gè)意思,，是那么回事就行了。我測(cè)不出來,，但是我能想出來,，難道還不讓我想了么？大家可能都知道，科學(xué)和哲學(xué)以前是一家的,。因?yàn)榧兇獾乃急嬖谡軐W(xué)里非常常見,，所以以前的“科學(xué)”里就到處夾雜著這種“可以想但是無法測(cè)量的東西”，這就極大的限制了科學(xué)的發(fā)展,。因?yàn)?span>一個(gè)東西如果無法測(cè)量你就無法用實(shí)驗(yàn)去驗(yàn)證它,，無法驗(yàn)證你就不知道它是對(duì)是錯(cuò)，你不知道對(duì)錯(cuò)那就只能以權(quán)威說了算,。你沒有證據(jù)還敢說權(quán)威不對(duì),，那就很麻煩了，所以亞里士多德的學(xué)說可以統(tǒng)治歐洲近兩千年。現(xiàn)代科學(xué)從哲學(xué)里分離了出來,，一個(gè)標(biāo)志性的操作就是：科學(xué)家們開始關(guān)注那些能夠用實(shí)驗(yàn)測(cè)量到的量,，對(duì)那些用實(shí)驗(yàn)無法測(cè)量的東西避而不談。伽利略是公認(rèn)的“現(xiàn)代科學(xué)之父”,，他的核心觀點(diǎn)有兩條：第一,，用數(shù)學(xué)定量地描述科學(xué)；第二,，用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證科學(xué),。所以，如果你談的是現(xiàn)代科學(xué),，那你就不能亂想了,。如果你還想用一些無法測(cè)量的概念來構(gòu)建你的“科學(xué)體系”，那么你的方法論就是非科學(xué)的,，你構(gòu)建的也只是玄學(xué)而非科學(xué),，這是很多民科非常容易犯的錯(cuò)誤。龐加萊甚至直接說：“凡是不能測(cè)量的東西,，都不能算是自然科學(xué),。”這種思想在科學(xué)昌盛的19世紀(jì)已經(jīng)很普遍了,，誕生于這個(gè)時(shí)期的實(shí)證主義也指出：人類不可能也不必要去認(rèn)識(shí)事物的“本質(zhì)”,，科學(xué)是對(duì)經(jīng)驗(yàn)的描寫。他們甚至提出口號(hào)要“取消形而上學(xué)”,。總之,，一切的一切就是不讓你在科學(xué)里再談那些無法測(cè)量，無法驗(yàn)證的概念,，科學(xué)要基于實(shí)證,。那么，只能想?yún)s無法數(shù),，無法“觀測(cè)”的無窮小量是不是這樣的一個(gè)概念呢,？雖然它很直觀，但是你回顧科學(xué)的歷史,，反直覺的重大科學(xué)進(jìn)步難道還少么,？歷史一次次地告誡我們：直覺不可靠，我們能依靠的只有嚴(yán)密的邏輯和確鑿的實(shí)驗(yàn),。在這樣的大環(huán)境下,，我們迎來了一位重要人物：柯西。柯西深刻地認(rèn)識(shí)到：只要涉及數(shù)學(xué)概念,，任何關(guān)于連續(xù)運(yùn)動(dòng)的一些先驗(yàn)的直觀觀念，都是可以避免，甚至是必須避免的,?？茖W(xué)放棄了形而上學(xué)方面的努力，采用“可觀測(cè)”概念之后就迎來了大發(fā)展,，那數(shù)學(xué)為什么不也這樣呢,？無窮小量是一個(gè)無限趨近于0但是又不能等于0的概念，也就是說它有一個(gè)極限位置0,，你可以想多接近就多接近,，但就是無法到達(dá)。我們知道實(shí)數(shù)跟數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的,。當(dāng)我們說一個(gè)量在無限趨近于0的時(shí)候,，很多人腦海里浮現(xiàn)的畫面就是一個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上不停地移動(dòng)，從一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)到下一個(gè)點(diǎn),，一直靠近0這個(gè)點(diǎn),。但是這個(gè)圖景是不對(duì)的，為什么,？因?yàn)?strong>實(shí)數(shù)是稠密的,。稠密就是說任意兩個(gè)點(diǎn)（實(shí)數(shù)）之間永遠(yuǎn)都有無數(shù)個(gè)點(diǎn)（實(shí)數(shù)）（你自己想想是不是，1和2之間有多少個(gè)數(shù),？）,。你以為它能從A點(diǎn)移動(dòng)到鄰近的下一個(gè)B點(diǎn)么？對(duì)不起,，這個(gè)它真做不到,！A點(diǎn)和B點(diǎn)之間永遠(yuǎn)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，也就是說A點(diǎn)根本就沒有所謂的“下一個(gè)點(diǎn)”,。你認(rèn)為我一定要走完了A點(diǎn)到B點(diǎn)之間所有的點(diǎn)才能到達(dá)B點(diǎn),，那就不可避免地會(huì)陷入到芝諾悖論里去。因?yàn)?span>你壓根就不可能走完任何兩個(gè)點(diǎn)之間的所有點(diǎn)（因?yàn)槭?span>無窮多個(gè)）,，所以,，如果按照這種邏輯，你就根本“走不動(dòng)”,，所以芝諾的飛矢就飛不動(dòng)了,。因此，面對(duì)這種連續(xù)的概念的時(shí)候,，我們就不應(yīng)該使用這種“動(dòng)態(tài)的”定義,。你想通過“讓一個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上動(dòng)態(tài)地運(yùn)動(dòng)來定義極限”是行不通的，這就是萊布尼茨的無窮小量栽跟頭的真正原因,。數(shù)學(xué)家們經(jīng)過一百多年的探索,、失敗和總結(jié),，最后終于意識(shí)到了這點(diǎn)，這些思想在柯西這里完全成熟,。于是,，柯西完全放棄了那種動(dòng)態(tài)的定義方式，轉(zhuǎn)而采取了一種完全靜態(tài),，完全可以描述測(cè)量的方式重新定義了極限,，進(jìn)而為微積分奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ)。這里我把柯西對(duì)極限的新定義原封不動(dòng)的貼出來：當(dāng)一個(gè)變量相繼的值無限地趨近某個(gè)固定值的時(shí)候,，如果它同這個(gè)固定值之間的差可以隨意地小,，那么這個(gè)固定值就被稱為它的極限。有人看了這個(gè)定義之后就在犯嘀咕：這跟萊布尼茨說的不是一樣的么,？你還不是在用“無限趨近”啊,，“隨意的小”啊這種跟“無窮小”差不多的概念來定義極限么？你說以前的定義是動(dòng)態(tài)的,，柯西給整成了靜態(tài)的,，可是我看來看去，柯西這個(gè)定義好像也在動(dòng)啊,。什么無限趨近,，隨意的小，不是在動(dòng)么,？有這些疑問是正常的,，畢竟是讓數(shù)學(xué)家們卡了一百多年的問題，不可能那么太“顯而易見”,。我們?cè)僮屑?xì)看看柯西的定義,，它跟以前的差別到底在哪？你看啊,，柯西雖然也有用“無限趨近”,，但是他只是用這個(gè)來描述這個(gè)現(xiàn)象，并不是用它來做判決的,。他的核心判決是后面一句：如果它同這個(gè)固定值之間的差可以隨意的小,，那么它就是極限。可以隨意的小和你主動(dòng)去無限逼近是完全不一樣的,?？梢噪S意小的意思是：你讓我多小我就可以多小。你讓我小于0.1,，我就能小于0.1,；你讓我小于0.01，我就能小于0.01,；你讓我小于0.00…001,，我就可以小于0.00…001,。只要你能說出一個(gè)確定的值，不管你說的值有多小,，我都可以讓它跟這個(gè)固定值的差比你更小,。柯西說如果這樣的話,，那么這個(gè)固定值就是它的極限。大家發(fā)現(xiàn)沒有,，柯西學(xué)聰明,，學(xué)雞賊了，他把這個(gè)判斷過程給顛倒了過來,。以前是你要證明自己的極限是0,，你就不停地變小，不停地朝0這個(gè)地方跑過去,。但是,，你和0之間永遠(yuǎn)隔著無數(shù)個(gè)點(diǎn)，所以你永遠(yuǎn)也跑不完,，你也就不知道你要跑到什么時(shí)候去,，這樣就暈了。現(xiàn)在我學(xué)聰明了,，這個(gè)難以界定的東西,，這個(gè)燙手的山芋我不管了，我丟給你,，我讓你先說,。只要你說出一個(gè)數(shù)，你要我變得多小我就變得多小,。你如果想讓我變成無窮小,，那你就得先把無窮小是多少給我說出來，你說不出來的話那就不能怪我了,。柯西就通過這種方式把那些不可測(cè)的概念擋在了數(shù)學(xué)之外,，因?yàn)槟隳芫唧w說出來的數(shù),，那肯定就都是“可觀測(cè)”的啊。大家再看看這個(gè)定義,，再想想之前萊布尼茨的想法,，是不是這么回事？于是,，柯西就這樣完美的甩開了那個(gè)招人煩的無窮小量,。在柯西這里,，無窮小量不過就是一個(gè)簡單的極限為0的量而已，一個(gè)“只要你可以說出一個(gè)數(shù),，我肯定就可以讓我和0之間的差比你給的數(shù)更小”的量,。這樣我們就能把它說得清清楚楚，它也不再有任何神秘了,。然后,，魏爾斯特拉斯用完全數(shù)學(xué)的語言改進(jìn)了柯西的這段純文字的定義，得到了最終的,，也是我們現(xiàn)在教材里使用的ε-δ極限定義,。根據(jù)柯西的思想，魏爾斯特拉斯說：你要判斷某個(gè)函數(shù)f(x)在某個(gè)地方a的極限是不是某個(gè)值L,，關(guān)鍵就要看如果我任意說一個(gè)數(shù)ε（比如0.00…001或者任意其它的,，注意是任意取，這里用ε代替）,，你能不能找到一個(gè)x的取值范圍（用δ來衡量）,，讓這個(gè)范圍里的函數(shù)值f(x)與那個(gè)值L之間的差（用套個(gè)絕對(duì)值的|f(x)-L|表示）小于ε。如果你總能找到這樣的δ,，那我就說函數(shù)f(x)在a點(diǎn)的極限為L,。用精練的數(shù)學(xué)語言表述上面的話就是：當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的ε，存在一個(gè)δ>0,，使得只要0<|x-a|<δ,，就有|f(x)-L|<ε，那么我們就說f(x)在a點(diǎn)的極限為L,。記做：定義里的Lim就是極限的英文單詞Limit的縮寫,，這個(gè)箭頭x->a也非常形象地表達(dá)了極限這個(gè)概念。這個(gè)定義就真正做到了完全“靜態(tài)”,，不再有任何運(yùn)動(dòng)的痕跡（連柯西說的“無限趨近”,、“隨意的小”都沒有了），也不再有任何說不清的地方,。從定義你也能清楚地看出來：它根本不關(guān)心你是如何逼近L的,，飛過去、跳過去,、爬過去的它都不管,，只要最后的差比ε小就行，我就承認(rèn)你是我的極限,。用一位偉人的名言翻譯一下就是：不管黑貓白貓,，能比ε還小的就是我的極限好貓。這里要特別注意的是ε是任意的,，任意就是說隨便ε取什么你都要找到對(duì)應(yīng)的δ,，你不能說有10個(gè)ε滿足條件就說這是極限,。看個(gè)例子，我們考慮最簡單的f(x)=1/x,。當(dāng)x的取值（x＞0）越來越大的時(shí)候,，這個(gè)函數(shù)的值就會(huì)越來越小：看得出來,，當(dāng)x的取值越來越大的時(shí)候，f(x)的值會(huì)越來越趨近于0,。所以，函數(shù)f(x)在無窮遠(yuǎn)處的極限值應(yīng)該是0,，也就是說：這個(gè)結(jié)論是很明顯的,，接下來我們就來看看如何用ε-δ定義來說這個(gè)事。按照定義,，我們要取一個(gè)任意小的ε,，假設(shè)這里我們?nèi)?span>ε=0.1，那么我們就要去找一個(gè)δ,，看能不能找到一個(gè)范圍讓|f(x)-0|<0.1,，顯然只需要x>10就行了；取ε=0.01,，就只需要x>100就行了,；任意給一個(gè)ε，我們顯然都能找到一個(gè)數(shù),，當(dāng)x大于這個(gè)數(shù)的時(shí)候滿足|f(x)-0|<ε,，這樣就OK了。
于是,，我們就構(gòu)建了一個(gè)邏輯嚴(yán)密,，不再有任何“說不清”概念的極限理論。有了這個(gè)堅(jiān)實(shí)的地基,，我們就可以放心地在上面蓋房子了,。那個(gè)漂泊了一百多年，那個(gè)被幽靈般的無窮小量纏繞了一百多年的微積分,，即將迎來新生,。先看積分，我們之前認(rèn)為曲線圍成的面積是無數(shù)個(gè)寬度為無窮小量的矩形面積之和,，于是我們?cè)谶@里就被無窮小量纏上了,。有了ε-δ極限之后,，我們就可以刷新一下我們對(duì)積分的認(rèn)知了：從現(xiàn)在起，我們把曲線圍成的面積看成是一個(gè)極限,，而不再是無數(shù)個(gè)無窮小量的矩形面積之和,。什么意思？假設(shè)我們用1個(gè)矩形逼近曲線圍成的面積的時(shí)候,，我把這一個(gè)矩形的面積記做S1,，用兩個(gè)矩形逼近的面積之和記做S2，同樣的,，我們記下S3,，S4，S5……一般情況,，如果我們用n個(gè)矩形去逼近這個(gè)面積,，這n個(gè)矩形的面積之和就記做Sn。如果這個(gè)Sn的極限存在,，也就是說,，隨便你說出一個(gè)數(shù)字ε，我都能找到一個(gè)n的范圍,，讓Sn和A之間的差|Sn-A|小于你給定的這個(gè)數(shù)字ε,。那么，A就是這個(gè)Sn的極限,。于是,，我們就說：曲線圍成的面積就是這個(gè)極限A，它是n個(gè)矩形面積之和這個(gè)序列Sn的極限,。所以,，我們就把這個(gè)極限過程表示的面積A定義為函數(shù)f(x)從a到b上的積分：這樣，我們的積分就成了一個(gè)由ε-δ語言精確定義的極限,。這里沒有那個(gè)等于0又不等于0的無窮小量,，一切都清清楚楚、明明白白,，沒有含糊的地方,，這就是第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的終極解決之道。
這樣處理雖然不再那么直觀,，但是它非常精確和嚴(yán)密,，這是符合數(shù)學(xué)的精神的。直觀雖然能幫助我們更好的感受數(shù)學(xué),，但是如果失去了嚴(yán)密性,，數(shù)學(xué)將什么都不是。積分解決了，微分這邊也是一樣,。有了ε-δ定義之后,，我們就再不能把導(dǎo)數(shù)看成是兩個(gè)無窮小量的比值（dy/dx），而是：把導(dǎo)數(shù)也看成一個(gè)極限,，對(duì),，還是極限。這個(gè)理解起來相對(duì)容易,，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是這點(diǎn)切線的斜率,。我們前面也說了，切線就是當(dāng)割線的兩點(diǎn)不停地靠近,，當(dāng)它們的距離變成無窮小時(shí)決定的直線,。很顯然，這個(gè)定義是依賴無窮小量的,，我們現(xiàn)在要用ε-δ定義的極限來代替這個(gè)無窮小量,。所以，切線就應(yīng)該被理解為割線的極限,，那么切線的斜率（也就是這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)）自然就是割線斜率的極限,，所以導(dǎo)數(shù)f(x)’也自然而然地成了一個(gè)極限。由于割線的斜率就是用這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差f(x+Δx)-f(x)除以這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差（x+Δx-x=Δx）,，而導(dǎo)數(shù)f(x)’是割線斜率的極限。那么,，我們?cè)?strong>割線斜率的前面加一個(gè)極限符號(hào)就可以表示導(dǎo)數(shù)f(x)’了：這才是導(dǎo)數(shù)的真正定義,，它是一個(gè)極限，而不再是兩個(gè)無窮小量dy與dx的商dy/dx,。也就是說,，按照極限的ε-δ定義，這個(gè)導(dǎo)數(shù)f(x)’的真正含義是：你任意給一個(gè)ε,，我都能讓割線的斜率與這個(gè)值的差比你給的ε更小,。
我反復(fù)強(qiáng)調(diào)ε-δ定義的含義，就是希望大家能真的從這種角度去理解極限,，思考極限,，逐漸放棄那種“無限動(dòng)態(tài)趨近某個(gè)點(diǎn)”的圖景。思維一旦形成定勢(shì),，想再改過來是非常困難的,，所以我們得經(jīng)常給自己“洗腦”，直到把新理論的核心思想洗到自己的潛意識(shí)里去,，這樣才算真正掌握了它,。我以前講相對(duì)論的時(shí)候，很多人在講相對(duì)論時(shí)能切換到相對(duì)論思維，但是平常一不留神就又跌回到牛頓的思維里去了,。然后就鬧出了一堆悖論,、佯謬和各種奇奇怪怪的東西，這里也一樣,。萊布尼茨當(dāng)年認(rèn)為導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)無窮小量dy和dx的商,，所以他用dy/dx來表示導(dǎo)數(shù)。雖然現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)不再是這個(gè)意思,，但是萊布尼茨當(dāng)年精心發(fā)明的這一套符號(hào)確實(shí)是非常好用,，于是我們就繼續(xù)沿用了下來。也就是說,，我們今天仍然用dy/dx表示導(dǎo)數(shù),，但是大家一定要注意，dy/dx在現(xiàn)代語境里是一個(gè)極限,，不再是兩個(gè)無窮小量的商,。如果不熟悉微積分的歷史，就很容易對(duì)這些符號(hào)產(chǎn)生各種誤解,，這也是很多科普文,、教科書在講微積分時(shí)的一大難點(diǎn)。因?yàn)?span>思想是新的,，符號(hào)卻是老的,，確實(shí)很容易讓人犯糊涂。于是,，在萊布尼茨那里,，他是先定義了代表無窮小量的微分dx和dy，然后再用微分的商定義了導(dǎo)數(shù)dy/dx,，所以那時(shí)候?qū)?shù)也叫微商,。但是現(xiàn)在劇情完全反轉(zhuǎn)了：我們現(xiàn)在是先用ε-δ定義了極限，然后從極限定義導(dǎo)數(shù)dy/dx,。這里壓根沒有微分什么事,，只不過由于歷史原因我們依然把導(dǎo)數(shù)寫成dy/dx這個(gè)樣子。那么,，dx和dy這兩個(gè)之前被當(dāng)作無窮小量的微分的東西,，現(xiàn)在還有意義么？
這個(gè)dx和dy還是有意義的,，當(dāng)然，有意義也肯定不可能再是以前無窮小量的意思了,。那么,，在ε-δ極限這種全新的語境下,，dx和dy在新時(shí)代的意義又是什么呢？請(qǐng)看下圖：藍(lán)色切線的斜率表示在P點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),，如果我們繼續(xù)用dy/dx表示導(dǎo)數(shù)的話,，那么從圖里就可以清楚的看到：dx表示在x軸的變化量，dy就剛好表示藍(lán)色的切線在y軸的變化量,。
也就是說,，當(dāng)自變量變化了Δx的時(shí)候，Δy表示實(shí)際的曲線的變化量,，而微分dy則表示這條切線上的變化量,，這就是新的語境下函數(shù)微分dy的含義。而自變量的微分dx,，大家可以看到,，就跟x軸的變化量Δx是一回事。由于切線是一條直線,，而直線的斜率是一定的,。所以，如果我們假設(shè)這條切線的斜率為A,，那么dy和Δx之間就存在這樣一種線性關(guān)系：dy=A·Δx,。這些結(jié)論都可以很容易從圖中看出來，但是,，一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)是否有微分是有條件的,。我們這里是一條很“光滑”的曲線，所以在P點(diǎn)有微分dy,，也就是說它在P點(diǎn)是可微的,。但是，如果函數(shù)在P點(diǎn)是一個(gè)折點(diǎn),，一個(gè)尖尖的拐點(diǎn)呢？那就不行了,。因?yàn)橛泄拯c(diǎn)的話,，你在這里根本就作不出切線來了，那還談什么Δy和dy,？關(guān)于函數(shù)在一點(diǎn)是否可微是一個(gè)比較復(fù)雜（相對(duì)科普的復(fù)雜~）的問題,，判斷曲線（一元函數(shù)）和曲面（二元函數(shù)）的可微性條件也不太一樣。直觀地看,，如果它們看起來是“光滑”的,，那基本上就是可微的。微分的嚴(yán)格定義是這樣的：對(duì)于Δy是否存在著一個(gè)關(guān)于Δx為線性的無窮小A·Δx（A為常數(shù)）,，使它與Δy的差是較Δx更高階的無窮小,。也就是說，下面這個(gè)式子是否成立：o(Δx)就表示Δx的高階無窮小，從字面上理解,，高階無窮小就是比無窮小還無窮小,。當(dāng)Δx慢慢趨向于0的時(shí)候，o(Δx)能夠比Δx以更快的速度趨向于0,。比如當(dāng)Δx減小為原來的1/10的時(shí)候,，o(Δx)就減小到了原來的1/100，1/1000甚至更多,。
如果這個(gè)式子成立,，我們就說函數(shù)y=f(x)在這點(diǎn)是可微的，dy=A·Δx就是函數(shù)的微分,。因?yàn)檫@是一個(gè)線性函數(shù),，所以我們說微分dy是Δy的線性主部。這部分的內(nèi)容好像確實(shí)有點(diǎn)乏味,，萊布尼茨時(shí)代的微分dy就是一個(gè)接近0又不等于0的無窮小量,，理解起來非常直觀。但是,，我們經(jīng)過ε-δ的極限重新定義的函數(shù)的微分dy竟然變成了一個(gè)線性主部,。這很不直觀，定義也挺拗口的,，但是這樣的微積分才是現(xiàn)代的微積分,，才是基礎(chǔ)牢固、邏輯嚴(yán)密的微積分,。為了讓大家對(duì)這個(gè)不怎么直觀的微分概念也能有一個(gè)比較直觀的概念,，我們?cè)賮砜匆粋€(gè)非常簡單的例子。我們都知道半徑為r的圓的面積公式是S=πr2,。如果我們讓半徑增加Δr,，那么新的圓的面積就應(yīng)該寫成π（r+Δr）2，那么,，增加的面積ΔS就應(yīng)該等于兩個(gè)圓的面積之差：大家看到?jīng)]有,，這個(gè)式子就跟我們上面的Δy=A·Δx+o(Δx)是一模一樣的。只不過我們把x和y換成了r和S,，A在這里就是2πr,，這里的π（Δr）2是關(guān)于Δr的平方項(xiàng)，這不就是所謂的高階（平方是2階,，Δr是1階,，2比1更高階）無窮小o(Δx)么？
所以,，它的微分ds就是2πr·Δr這一項(xiàng)：它的幾何意義也很清楚：這就是一個(gè)長為2πr（這剛好是圓的周長）,，寬為Δr的矩形的面積,，好像是把這個(gè)圓“拉直”了所得的矩形的面積。
好了,，微分的事情就說到這里,，剩下的大家可以自己慢慢去體會(huì)。畢竟這是一篇關(guān)于微積分的科普文,，再寫太多就成教材了,。關(guān)于微積分的重建，我們已經(jīng)看到了如何在ε-δ定義的新極限下重新定義了積分和微分,，也看到了在這種新的定義下,，積分和微分的概念跟以前有什么不同。沿著這條路,，我們還能非常嚴(yán)格的證明微積分基本定理,，也能很好地處理連續(xù)性、可微性,、可導(dǎo)性,、可積性等問題。雖然在具體的計(jì)算方式上跟以前的差別不大,，但是微積分的這個(gè)邏輯基礎(chǔ)已經(jīng)跟以前發(fā)生了翻天覆地的變化,，這個(gè)差別大家要仔細(xì)體會(huì)。在魏爾斯特拉斯給出極限的ε-δ定義之后,，微積分的邏輯問題基本上解決了,，但還有一些其它的問題。比如,，有了微積分,，數(shù)學(xué)家們當(dāng)然就希望盡可能多的函數(shù)是可以求出積分的，但是你像來砸場子的狄利克雷函數(shù)（x為有理數(shù)的時(shí)候值為1,，x為無理數(shù)的時(shí)候值為0）就沒法這樣求積分,。不信你想想，一個(gè)在有理數(shù)為1,，無理數(shù)為0的函數(shù)你要怎么去切塊,？它在任何一個(gè)地方都是不連續(xù)的，你甚至連它的圖像都畫不出來,，怎么用矩形去逼近,？所以,，這里就有一個(gè)棘手的問題：一個(gè)函數(shù)到底要滿足什么條件才是可以求積分的呢,？這個(gè)問題一直拖到20世紀(jì)初才由大神勒貝格解決。勒貝格把我們常見的長度,、面積概念做了一個(gè)擴(kuò)展,，得到了更一般的測(cè)度的概念,。然后，他基于這種測(cè)度定義了適用范圍更廣的勒貝格積分,，于是,，原來無法求積分的狄利克雷函數(shù)在勒貝格積分下就可以求積分了。然后,，勒貝格基于測(cè)度的理論也給出了一個(gè)函數(shù)是否可積的判斷條件,，完美收官！于是,，我們這段跨越兩千多年,，從阿基米德到勒貝格的微積分之旅就要告一段落了。古希臘人和古代中國人都知道用已知的多邊形去逼近復(fù)雜曲線圖形,，阿基米德用窮竭法算出了一些簡單曲線圍成的面積,，劉微用正多邊形去逼近圓，也就是用割圓術(shù)去計(jì)算圓周率,。牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“微分和積分是一對(duì)互逆運(yùn)算”這個(gè)驚天大秘密,，正式宣告了微積分的誕生。柯西和魏爾斯特拉斯用ε-δ語言重新定義了極限,，把風(fēng)雨飄搖中的微積分重新建立在堅(jiān)實(shí)的極限理論基礎(chǔ)之上,，徹底解決了幽靈般的無窮小量的問題，解決了第二次數(shù)學(xué)危機(jī),，也在數(shù)學(xué)領(lǐng)域解決了芝諾悖論,。勒貝格基于集合論，對(duì)積分理論進(jìn)行了一次革命,，建立了定義范圍更廣的勒貝格積分,，并且進(jìn)一步把這場革命推進(jìn)到了實(shí)分析。我的文章雖然以勒貝格結(jié)尾,，但這絲毫不代表微積分在勒貝格這里就走向了完結(jié),，即便這時(shí)候已經(jīng)是20世紀(jì)初了。20世紀(jì)60年代初,，有一個(gè)叫魯濱遜的德國人重新?lián)炱鹆?span>萊布尼茨的無窮小量,。他把實(shí)數(shù)擴(kuò)展到非實(shí)數(shù)，直接把無窮大和無窮小變成了非實(shí)數(shù)域里的一個(gè)元素,。所以他的理論可以直接處理無窮小量,，這是第一個(gè)嚴(yán)格的無窮小理論。我們知道,，幽靈般的無窮小量在微積分建立初期掀起了腥風(fēng)血雨,，后來經(jīng)過柯西和魏爾斯特拉斯的拼命搶救，才終于在堅(jiān)實(shí)的ε-δ極限理論之上重建了微積分,?？挛骱臀籂査固乩沟倪@一套讓微積分嚴(yán)密化的方法被稱為標(biāo)準(zhǔn)分析,。而魯濱遜認(rèn)為，無窮小量雖然不嚴(yán)謹(jǐn),，但是大家基于無窮小量做的微積分計(jì)算卻也都是正確的,，這至少表明無窮小量里應(yīng)該也包含著某種正確性。ε-δ極限是一種繞彎解決無窮小量不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒?，但是這種方法并不是唯一的,。魯濱遜選擇直接面對(duì)無窮小量，直接建立了另一種讓微積分嚴(yán)密化的方法,。因此,，與柯西和魏爾斯特拉斯的標(biāo)準(zhǔn)分析相對(duì)，魯濱遜的這種方法被稱為非標(biāo)準(zhǔn)分析,。 提出了不完備定理的數(shù)學(xué)大神哥德爾就對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)分析推崇備至,，他認(rèn)為非標(biāo)準(zhǔn)分析將會(huì)是未來的數(shù)學(xué)分析。他說：“在未來的世紀(jì)中,，將要思量數(shù)學(xué)史中的一件大事,，就是為什么在發(fā)明微積分300年后，第一個(gè)嚴(yán)格的無限小理論才發(fā)展起來,?！?/section>我們現(xiàn)在就處在哥德爾說的未來的世紀(jì)中，各位看官對(duì)這個(gè)問題有沒有什么看法呢,？如果我的這篇文章能夠讓大家對(duì)微積分,，對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，進(jìn)而開始自己獨(dú)立的思考這些問題,，那就善莫大焉了~此外,，我希望長尾科技的這篇文章也能多多少少改變一下大家對(duì)數(shù)學(xué)的看法：數(shù)學(xué)不等于計(jì)算，數(shù)學(xué)也不等于應(yīng)用,，絕妙而深刻的數(shù)學(xué)思想（比如發(fā)現(xiàn)微分和積分是互逆過程）和嚴(yán)密的邏輯（如使用ε-δ定義極限）反而是更重要的,。而且，數(shù)學(xué)的壯觀之美也往往需要站在后面兩個(gè)角度上才能體會(huì)到,，我很難相信有人會(huì)覺得重復(fù)的做計(jì)算是很有趣的,，這也是很多人不喜歡數(shù)學(xué)的原因。但是,，我絕對(duì)相信那些真正認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)的人,，他們是發(fā)自內(nèi)心的覺得數(shù)學(xué)美麗動(dòng)人。并不是那些數(shù)學(xué)大神們很奇怪,，而是他們確實(shí)看到了常人沒能看到的絕美風(fēng)景,。
附：文章的正文部分到上面就講完了，下面我簡單地說一下我寫這篇文章時(shí)參考地一些比較好的微積分的書籍，以及大家如何配合這篇文章更深入地學(xué)習(xí)微積分,。我這篇文章主要是沿著微積分的歷史來寫的，從阿基米德,、牛頓-萊布尼茨到柯西-魏爾斯特拉斯和勒貝格,，最后還講了一點(diǎn)魯濱遜的非標(biāo)準(zhǔn)分析，時(shí)間跨度有2200年,。順著歷史,，大家就會(huì)知道為什么數(shù)學(xué)家們會(huì)這樣想、這樣做,，這樣就不會(huì)顯得很突兀,。我很反感那種不加解釋，從天而降地拋出一個(gè)新概念,，那種只告訴你是什么,，不告訴你為什么的方式，這是對(duì)讀者和學(xué)生的不負(fù)責(zé)任,。如果大家想進(jìn)一步了解微積分發(fā)展中更詳細(xì)的歷史,，可以看看《微積分的歷程：從牛頓到勒貝格》（William Dunham）。這本書會(huì)列出微積分的發(fā)展過程中,，一些主要人物的主要貢獻(xiàn),，除了我上面提的那幾個(gè)，他還會(huì)介紹伯努利兄弟,、歐拉,、黎曼、劉維爾,、沃爾泰拉等人的工作,，對(duì)我文章里提到了的那些人的工作，也會(huì)有更深一步的介紹,。既有通俗的介紹,，又有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓酵茖?dǎo)，配合我的文章享用,，再合適不過了,。關(guān)于微積分的學(xué)習(xí)，日本,、美國和蘇俄的書籍各有特色,。
不得不承認(rèn),，在科普這一塊，我們跟日本還是有很大的距離,。日本有很多把高深數(shù)學(xué),、物理寫得非常通俗的科普書籍,，如果你覺得科普書還不夠通俗，他們給你畫成漫畫,，寫成小說,。在微積分這里，比較有代表性的就是神勇正博的《簡單微積分》,，簡直就是寫給小學(xué)生看的,。當(dāng)然，這種書你就不能要求它有多嚴(yán)密了,，這就是中小學(xué)生的微積分零基礎(chǔ)入門書,。 這里以《普林斯頓微積分讀本》（Adrian Banner）為代表,。這本書是正規(guī)教材，不是科普書了,，但是它的通俗度跟科普書也有得一拼,。美國的教材都很適合自學(xué)，因?yàn)樗鼈儠?huì)把問題都寫得非常清楚,。《普林斯頓微積分讀本》不僅把內(nèi)容寫得清楚,，還把你在學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常遇到的問題，容易犯的錯(cuò)誤,，甚至還有你的心理活動(dòng)都給寫進(jìn)去,，真正地細(xì)心體貼、關(guān)懷備至,。這跟我們國內(nèi)教材“字字珠璣”,，恨不得在短短篇幅里面把所有的“精華”的塞進(jìn)去，不要任何鋪墊形成了鮮明的對(duì)比,。如果沒有好老師教,，用國內(nèi)的教材會(huì)非常痛苦。 3,、嚴(yán)密到逆天卻又不失通俗的蘇俄教材,。
最讓我震撼的還是蘇俄的教材，當(dāng)然,，我這里說的就是菲赫金哥爾茨的《微積分學(xué)教程》,。在俄羅斯流傳著這樣一句話：只要莫斯科大學(xué)的數(shù)學(xué)系大樓不倒，俄羅斯就永遠(yuǎn)不會(huì)倒,。前段時(shí)間華為那個(gè)“只會(huì)做數(shù)學(xué),，不會(huì)談戀愛”的俄羅斯小伙還火了一把，2003年解決龐加萊猜想的佩雷爾曼也是俄羅斯人，說明俄羅斯的數(shù)學(xué)還是有兩把刷子的,。一般來說,，一本教材的嚴(yán)密性和通俗性是很難做到兩全的，但是就《微積分學(xué)教程》做到了,。這本宛如學(xué)術(shù)專著一般的教材,，在嚴(yán)密性上自然無可挑剔，邏輯層層鋪墊,、層層遞進(jìn)，自成體系,，就像《幾何原本》一樣,。然而，這本書里又有大量物理,、幾何等例子,，在解釋重要的數(shù)學(xué)思想時(shí)又會(huì)不惜筆墨用文字描述清楚，絕對(duì)不是“公式里來,，公式里去”,，這讓這本書又顯得非常通俗和實(shí)用。我在文章里寫的內(nèi)容,，最后也以這本書為準(zhǔn),，比如文章里微分的定義我就是用的此書174頁的定義。這本書是我最喜歡的微積分教材,，也是我心里一本理想教材該有的樣子,，通俗實(shí)用卻又不失嚴(yán)密性，對(duì)于在數(shù)學(xué)上有理想有抱負(fù)的同學(xué),，這套書,，力薦！（高等教育出版社只在這里有,，《微積分學(xué)教程》有三卷,，我這里只放第一卷，另外兩卷可以去書屋里查看）
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