第六章  不定積分

    在數(shù)學(xué)上,，一種運算往往都伴隨著它的逆運算．例如：加法的逆運算是減法,，乘法的逆運算是除法．導(dǎo)數(shù)或微分運算也不例外，它們的逆運算就是本章講的不定積分．

6.1  不定積分的概念與性質(zhì)

    一,、原函數(shù)與不定積分

       定義6.1.1  設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義,，若存在函數(shù)，,，有

或,，

則稱函數(shù)是在區(qū)間的一個原函數(shù),，簡稱是的原函數(shù)．

例如：，因而的一個原函數(shù),；（arcsin）＇=,，因而是的一個原函數(shù)，由微分學(xué)還可知道,，當(dāng)C為任意一個常數(shù)時,，，即一切形如（C為任意的常數(shù)）的函數(shù)都是在（—∞,，+∞）上的原函數(shù)．于是,，讀者自然會提出如下兩個問題：

    問題1：什么樣的函數(shù)一定存在原函數(shù)？

    問題2：若函數(shù)存在原函數(shù),，的原函數(shù)有多少個,？

    下面的定理是問題1的一個部分回答，即原函數(shù)存在的充分條件：

    定理6.1.1  若在區(qū)間連續(xù),，則在必存在原函數(shù)．

    下面的定理完滿地回答了問題2．

    定理6.1.2  若是在區(qū)間的一個原函數(shù),，則是在區(qū)間的原函數(shù)的全體，其中C為任意常數(shù)．

    定義6.1.2  若在區(qū)間函數(shù)存在原函數(shù),，則原函數(shù)的全體,，其中，稱為的不定積分,，記為

其中稱為被積函數(shù),，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量,，稱為積分常數(shù)．

下面來說明不定積分的幾何意義,，若是的一個原函數(shù)，則稱的圖

形為的一條積分曲線．如圖6-1-1所示,，的不定積分的圖形是由的圖形沿Y軸平移所得到的所有積分曲線組成的曲線族,，這族曲線稱為的積分曲線族．由圖6-1-1可見，若在每一條積分曲線上相同橫坐標(biāo)的點處作切線,，則這些切線的斜率都相等,，即這些切線互相平行．

二． 基本積分表

    因為不定積分是導(dǎo)數(shù)（或微分）運算的逆運算，所以將基本求導(dǎo)公式反過來就是不定積分公式．于是,，我們列出如下的積分公式．

    (1) 

    (2) 

    (3) 

    (4) 

    (5) 

    (6) 

    (7) 

    (8) 

    (9) 

    (10) 

    (11) 

    (12) 

    (13) 

三．  不定積分的性質(zhì)

    (1) 

    (2)    或 

    (3)    其中是常數(shù),，且，