知識點：

1,、數(shù)學歸納法的原理

（1）數(shù)學歸納法的定義：數(shù)學歸納法是證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題,，一般是先證明n=時命題成立，然后假設時命題成立,。并證明時命題成立,。此時命題對所有的正整數(shù)n都成立。這種方法叫數(shù)學歸納法,。

（2）數(shù)學歸納法的證題步驟：

①證明時命題正確,。

②假設時命題正確,，然后證明n=k+1時命題正確。從而斷定對一切的正整數(shù)n命題都正確,。

（3）運用數(shù)學歸納法應注意的幾個問題：

①第一步驗證是基礎,，在此過程中是要證明命題對象的最小的正整數(shù)，不一定是1,。

②第二步是在證明時命題正確要充分利用歸納假設,，否則不是數(shù)學歸納法。即要把假設作為已知條件導出n=k+1時命題正確,，當然歸納假設可以用幾次,。

2、用數(shù)學歸納法證明常見的類型

（1）證明正整數(shù)有關的等式,，弄清等式兩邊規(guī)律,，注意由n=k證明n=k+1時等式兩邊會增加多少項、哪些項等,。

（2）證明與正整數(shù)有關的不等式,，在證明n=k+1時會應用到不等式證明的分析法、綜合法,、放縮法等,。

（3）證明整除問題，在證明n=k+1時要注意“湊項”即增項,、減項,、因式分解等手段。

典型例題：

1,、數(shù)學歸納法證明整除問題

例1,、對任意的正整數(shù)n,能被13整除。

證明：當n=1時,，=,。命題成立

假設n=k時，命題成立,，即能被13整除,。

當n=k+1時，

=27,。

由于能被13整除,。

故當n=k+1時，命題成立,。

2,、利用數(shù)學歸納法證明關于正整數(shù)n的不等式問題

例2、已知函數(shù)數(shù)列{a_n}滿足：，數(shù)列{b_n}滿足：

（1）用數(shù)學歸納法證明

（2）證明：

證明：（1）由已知得：,。

當n=1時,，，此時命題成立,。

假設n=k時命題成立,，即，當n=k+1時,，

下面只要能證明對任意的正整數(shù)n, 就可以證明,，用數(shù)學歸納法證明：

當n=1時，,命題成立,。

假設n=k時,，命題成立，即,，當n=k+1時,，

即對任意的正整數(shù)n,，

,。

故對任意的正整數(shù)n，原不等式成立,。

（2）

例3,、設數(shù)列滿足：

（1）證明：對一切正整數(shù)n成立。

（2）令

證明（1）：當n=1時,，

假設n=k時,，結論成立，即,，（

當n=k+1時,,由于函數(shù)

而,，故

=

即命題對任意的正整數(shù)都成立。

（2）

說明：這一問可以利用歸納－猜想—證明的方法解決：,，,，，同理：可求

故猜想：對任意的正整數(shù)n,，都有,，下面利用數(shù)學歸納法證明猜想的結論，同學們可以嘗試一下,。

3,、利用數(shù)學歸納法證明歸納猜想的結論

例4、已知數(shù)列,，

（1）求,。

（2）猜想數(shù)列

（1）解析：當n=1時，，

當n=2時,，

同理可求

（2）證明：由此猜想：,，下面利用數(shù)學歸納法證明猜想的結論：

當n=1時，猜想成立

假設n=k時,，猜想成立,，即

當n=k+1時，

=

整理得：

故n=k+1時,，猜想成立,，即所求數(shù)列的通項公式是。

例5,、問是否存在a,b,c使得等式：

,

對一切的正整數(shù)n成立,？

解析：假設存在a,b,c滿足已知條件即：

對一切的正整數(shù)n成立。

故n=1,2,3時等式也成立,，即有：由（1）（2）（3）

解得：a=3,，b=11，c=10

所以對n=1,2,3時都有：成立―――（*）

下面利用數(shù)學歸納法證明（*）對一切的正整數(shù)n成立,。

當n=1時,，等式成立

假設n=k時，等式成立即：

當n=k+1時,，

=

=

所以n=k+1時,，等式成立。即對任意的正整數(shù)n等式成立,。

綜合上述：當a=3,b=11,c=10時,，等式對任意的正整數(shù)n成立。