在高等數學學習中,，有幾個經常會用到的特定的符號和幾個基本不等式,，其中相關不等式的結論一般只要有中學數學基礎就能夠理解；它們在我們高等數學等課程的學習中經常被用來描述與驗證相關的結論,。

相關的符號：

?：表示任一,，所有(All的第一個字母倒寫),。

?：表示存在有一個，至少一個(Exist的第一個字母反寫)

?|：表示存在且唯一

∑：連加符號

∏：連乘符號

?：定義,，記作

?：推導出

?：等價,，充要條件

s.t.：受限于，使得（subject to,，或such that)

例如,，符號描述：

它描述含義為：存在實數a，對于任給的正數ε,，存在正整數N,，當n>N時，使得|a_n-a|<ε恒成立,。

基本不等式相關命題：

命題1（算術-幾何平均值不等式）：若a_i(i=1,2,…,n)非負,，則

等號當且僅當a₁=a₂=…=a_n成立。

在兩個實數的情況下包含了中學數學三個基本不等式：

由算術幾何平均值不等式,，可得：

命題2：若a_i>0(i=1,2,…,n)且a₁·a₂·…·a_n=1,，則

等號當且僅當a₁=a₂=…=a_n時成立．

推廣：若a_i>0(i=1,2,…,n)且a₁·a₂·…·a_n=a，則

等號當且僅當a₁=a₂=…=a_n時成立．

命題2的意義：當n個正數的積一定時,，其和在各個數相等時其和最小,。

命題3（Bernoulli不等式）設x_i>-1(i=1,2,…,n)且x₁,x₂,…, x_n同號，則

特別地,，當x=x₁=x₂=…=x_n>-1時,，有

（這個簡單的不等式一般我們直接稱為Bernoulli不等式），其中當n>1時成立等號的充要條件是x=0.

令x=B/A,，其中A>0,，A+B>0，則條件x>-1成立,，將x代入上面的Bernoulli不等式,，有如下結論成立。

命題4：設A>0,A+B>0,，n為正整數,，則有不等式

其中當n>1時成立等號的充要條件是B=0.

命題3、命題2和命題1可以互相證明,。

命題5（三點不等式）：若a,b為實數,，則成立不等式

其中成立等號的充要條件是a和b同號（將數0看成和任何數同號）。

命題6（Cauchy-Schwarz不等式）：對實數a₁,，a₂,，…，a_n和b₁，b₂,，…,，b_n成立

成立等號的的充要條件是兩個序列{a_i}和{b_i}成比例。

該命題的證明可以歸結為非負二次三項式

展開式的關于x的判別式非正即得不等式結論,。

命題7：如果0<x<π/2,，則成立不等式

命題8(自然常數)：設e是自然常數，n為正整數,，則有

令

顯然a_n<b_n,。借助于命題1的算術-幾何平均值不等式可以直接驗證a_n單調遞增有上界，b_n單調遞減有下界,。

即數列{a_n}單調遞增,。

即有a_n<4，從而得數列{a_n}單調遞增有上界,。

即數列{b_n}單調遞減,。

對命題8的不等式兩端同時取自然常數為底的對數，則可以得如下的不等式,。

命題9：設n為正整數,，則有

借助這個不等式我們可以驗證下面的不等式結論。

命題10(歐拉常數)：記

利用差值法,，可以驗證c_n單調遞減有下界,，并且有

【注】：從上面的一些結論可以看到，只要乘積項可以構造成n項相乘,，對于不等式的證明可以考慮算術-平均值不等式,。在沒有特別要求的情況下，它們的結論可以直接使用,，尤其是帶有特定名稱的不等式,。