5.4不等式的應(yīng)用

一,、基礎(chǔ)知識導(dǎo)學(xué)

1.利用均值不等式求最值：如果a₁，a₂∈R⁺,，那么_.

2.求函數(shù)定義域,、值域、方程的有解性、判斷函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,，確定參數(shù)的取值范圍等.這些問題一般轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組,，或證明不等式.

3.涉及不等式知識解決的實際應(yīng)用問題，這些問題大體分為兩類：一是建立不等式解不等式,；二是建立函數(shù)式求最大值或最小值.

二,、疑難知識導(dǎo)析

不等式既屬數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，又是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具,，在解決函數(shù)定義域,、值域、單調(diào)性,、恒成立問題,、方程根的分布、參數(shù)范圍的確定,、曲線位置關(guān)系的討論,、解析幾何,、立體幾何中的最值等問題中有廣泛的應(yīng)用,，特別是近幾年來，高考試題帶動了一大批實際應(yīng)用題問世,，其特點是：

1．問題的背景是人們關(guān)心的社會熱點問題,，如“物價、稅收,、銷售收入,、市場信息”等，題目往往篇幅較長.

2．函數(shù)模型除了常見的“正比例函數(shù),、反比例函數(shù),、一次函數(shù)、二次函數(shù),、冪函數(shù),、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù),、三角函數(shù),、反三角函數(shù)”等標(biāo)準(zhǔn)形式外，又出現(xiàn)了以“函數(shù)”

為模型的新的形式.

三　經(jīng)典例題導(dǎo)講

[例1]求y=的最小值.

錯解： y=＝2

y的最小值為2.

錯因：等號取不到,，利用均值定理求最值時“正,、定、等”這三個條件缺一不可.

正解：令t=,則t,于是y=

由于當(dāng)t時,，y=是遞增的,，故當(dāng)t＝2即x=0時，y取最小值.

[例2]m為何值時，方程x²+(2m+1)x+m²－3=0有兩個正根.

錯解：由根與系數(shù)的關(guān)系得,，因此當(dāng)時,，原方程有兩個正根.

錯因：忽視了一元二次方程有實根的條件，即判別式大于等于0.

正解：由題意：

因此當(dāng)時,，原方程有兩個正根.

[例3]若正數(shù)x,，y滿足，求xy的最大值．

解：由于x,，y為正數(shù),，則6x，5y也是正數(shù),，所以

當(dāng)且僅當(dāng)6x=5y時,，取“=”號．

因，則,，即,，所以的最大值為.

[例4] 已知：長方體的全面積為定值S，試問這個長方體的長,、寬,、高各是多少時，它的體積最大,，求出這個最大值．

分析：經(jīng)過審題可以看出,，長方體的全面積S是定值．因此最大值一定要用S來表示．首要問題是列出函數(shù)關(guān)系式．設(shè)長方體體積為y，其長,、寬,、高分別為a，b,，c,，則y=abc．由于a+b+c不是定值，所以肯定要對函數(shù)式進(jìn)行變形．可以利用平均值定理先求出y²的最大值,，這樣y的最大值也就可以求出來了．

解：設(shè)長方體的體積為y,，長、寬,、高分別是為a,，b，c,，則

y=abc,，2ab+2bc+2ac=S．

而

y²=（abc）²=（ab）（bc）（ac）

當(dāng)且僅當(dāng)ab=bc=ac，即a=b=c時,，上式取“=”號,，y²有最小值

答：長方體的長,、寬、高都等于時體積的最大值為.

說明：對應(yīng)用問題的處理,，要把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,，列好函數(shù)關(guān)系式是求解問題的關(guān)健.

四、典型習(xí)題導(dǎo)練

1.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池,，其容積為4800m³,深為3m,，如果池底每1m²的造價為150元，池壁每1m²的造價為120元,，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低,，最低總造價是多少元？

2.證明：通過水管放水,，當(dāng)流速相同時,，如果水管截面的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.

3.在四面體P-ABC中,，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°,，各棱長的和為m，求這個四面體體積的最大值．

4. 設(shè)函數(shù)f(x)=ax²+bx+c的圖象與兩直線y=x,，y=-x,，均不相

交，試證明對一切R都有.

5．青工小李需制作一批容積為V的圓錐形漏斗,，欲使其用料最省,，問漏斗高與漏斗底面半徑應(yīng)具有怎樣的比例？

6．輪船每小時使用燃料費用(單位：元)和輪船速度(單位：海里／時)的立方成正比．已知某輪船的最大船速是18海里／時,，當(dāng)速度是10海里／時時，它的燃料費用是每小時30元,，其余費用(不論速度如何)都是每小時480元,，如果甲、乙兩地相距1000海里,，求輪船從甲地行駛到乙地,，所需的總費用與船速的函數(shù)關(guān)系，并問船速為多少時,，總費用最低,？

5.5  推理與證明

一、基礎(chǔ)知識導(dǎo)學(xué)

1.     推理一般包括合情推理和演繹推理.

2.     合情推理：根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義,、公理,、定理等）、實驗和實踐的結(jié)果,，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程.歸納,、類比是合情推理常用的思維方法.

3.     歸納推理：根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì),，推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理.

4.     歸納推理的一般步驟：⑴通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；⑵從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題（猜想）.

5.     類比推理：根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似性,，推出其中一類事物具有另一類事物類似的性質(zhì)的推理.

6.     類比推理的一般步驟：⑴找出兩類事物之間的相似性或一致性,；⑵從一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）.

7.     演繹推理：根據(jù)一般性的真命題導(dǎo)出特殊性命題為真的推理.

8.     直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法,；間接證明的一種基本方法──反證法.

9.     分析法：從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法.                                                                           

10.  綜合法：從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的思維方法. 

11.  反證法：判定非q為假,，推出q為真的方法.

12.  應(yīng)用反證法證明命題的一般步驟：⑴分清命題的條件和結(jié)論；⑵做出與命題結(jié)論相矛盾的假定,；⑶由假定出發(fā),，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果,；⑷間接證明命題為真.

13.  數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)｛p_n｝是一個與自然數(shù)相關(guān)的命題集合,，如果⑴證明起始命題p₁成立；⑵在假設(shè)p_k成立的前提上,，推出p_k＋1也成立,，那么可以斷定，｛p_n｝對一切正整數(shù)成立.

14.  數(shù)學(xué)歸納法的步驟：

    （1）證明當(dāng) （如 或2等）時,，結(jié)論正確,；

（2）假設(shè) 時結(jié)論正確，證明 時結(jié)論也正確．

二,、疑難知識導(dǎo)析

1.歸納推理是根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì),，推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理.

而類比推理是根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似性，推出其中一類事物具有另一類事物類似的性質(zhì)的推理.

2. 應(yīng)用反證法證明命題的邏輯依據(jù)：做出與命題結(jié)論相矛盾的假定,，由假定出發(fā),，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果

3. 數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法,，歸納推理是一種推理方法.

三,、經(jīng)典例題導(dǎo)講

[例1] {}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項和為,并且對于所有的自然數(shù),與2的等差中項等于與2的等比中項.

(1)寫出數(shù)列{}的前3項;

(2)求數(shù)列{}的通項公式(寫出推證過程);

錯解：由(1)猜想數(shù)列{}有通項公式=4-2.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{}的通項公式是

=4-2.  (∈N).

①當(dāng)=1時,因為4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述結(jié)論成立.

②假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即有=4-2.由題意,有

將=4-2代入上式，得,，解得

由題意,有

將代入,，化簡得

解得.∴

這就是說,當(dāng)n=k+1時,上述結(jié)論成立.

根據(jù)①、②,上述結(jié)論對所有的自然數(shù)n成立.

錯因在于解題過程中忽視了取值的取舍.　

正解：由(1)猜想數(shù)列{an}有通項公式a_n=4n-2.

猜想數(shù)列{}有通項公式=4-2.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{}的通項公式是

=4-2.  (∈N).

①當(dāng)=1時,因為4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述結(jié)論成立.

②假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即有=4-2.由題意,有

將=4-2代入上式,，得,，解得

由題意,有

將代入，化簡得

解得.由∴

這就是說,當(dāng)n=k+1時,上述結(jié)論成立.

根據(jù)①,、②,上述結(jié)論對所有的自然數(shù)n成立.

[例2]　用數(shù)學(xué)歸納法證明對于任意自然數(shù),，

錯解：證明：假設(shè)當(dāng)（N）時，等式成立,，

　　　　　即,，

　　　　　那么當(dāng)時,，

　　　　　這就是說，當(dāng)時,，等式成立．

　　　　可知等式對任意N成立．

錯因在于推理不嚴(yán)密,，沒有證明當(dāng)的情況．

正解：證明：（1）當(dāng)時，左式,，右式,，所以等式成立．

　　　　　（2）假設(shè)當(dāng)（）時,，等式成立,，

　　　　　即，

　　　　　那么當(dāng)時,，

　　　　　這就是說,，當(dāng)時，等式成立．

　　　　　由（1）,、（2）,，可知等式對任意N成立．

[例3]　是否存在自然數(shù)，使得對任意自然數(shù),，都能被整除,，若存在，求出的最大值,，并證明你的結(jié)論,；若不存在，說明理由．

　分析　本題是開放性題型,，先求出,，，…再歸納,、猜想,、證明．

解：，

,，

，

　　　　……

　　　　猜想,， 能被36整除,，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

　　　　（1）當(dāng)時,，,，能被36整除．

　　　　（2）假設(shè)當(dāng),，（N）時,，能被36整除．

　　　　那么,，當(dāng)時，

　　　　由歸納假設(shè),，能被36整除,，

　　　　當(dāng)為自然數(shù)時，為偶數(shù),，則能被36整除．

　　　　∴ 能被36整除,，

　　　　這就是說當(dāng)時命題成立．

　　　　由（1）、（2）對任意,，都能被36整除．

　　　　當(dāng)取大于36的自然數(shù)時,，不能被整除，所以36為最大．

　[例4] 設(shè)點是曲線C：與直線的交點,，過點作直線的垂線交軸于,，過點作直線的平行線交曲線C于，再過點作的垂線作交X軸于,，如此繼續(xù)下去可得到一系列的點,，，…,，,，…如圖，試求的橫坐標(biāo)的通項公式．

　分析 本題并沒有指明求通項公式的方法,，可用歸納——猜想——證明的方法,，也可以通過尋求與的遞推關(guān)系式求的通項公式．

解：解法一　 與（，）聯(lián)立,，解得

　　直線的方程為,，　令，得,，所以點

　直線的方程為與聯(lián)立,，消元得（），解得,，　所以點（,，）．

直線的方程為，

　令,，得,，所以點　同樣可求得點（，0）

　　　　　　……

　　由此推測（,，0）,，即

　　　用數(shù)學(xué)歸納法證明

　　　（1）當(dāng)時,，由點的坐標(biāo)為（,，0）,，

　　　　即，所以命題成立．

　　?。?）假設(shè)當(dāng)時命題成立,，

　　　　　即，0）,，則當(dāng)時,，

　　　　　由于直線的方程為，

　　　　　把它與（,，）聯(lián)立,，

　　　　　消去可得（），

　　　　　∴

　　　　　于是

　　　　　　即點的坐標(biāo)為（,，）．

　　　　　　∴ 直線的方程為

　　　　　　令得,，

　　　　　　即點的坐標(biāo)為（，0）

　　　　　　∴ 當(dāng)時,，命題成立．

　　解法二　設(shè)點,，的坐標(biāo)分別為（，0）,、（,，0），

　　　　　　建立與的遞推關(guān)系,，即,，

　　　　　　由數(shù)列是等差數(shù)列，且,，公差

　　　　　　可求得（）,，．

用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的幾何命題，由k過渡到k＋1常利用幾何圖形來分析圖形前后演變情況．

[例5] 有n個圓,，其中每兩個圓都相交于兩點,，并且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成f(n)＝n²-n＋2個部分．

證明①當(dāng)n＝1時,，即一個圓把平面分成二個部分f(1)=2

又n＝1時,，n²-n＋2＝2，∴命題成立

②假設(shè)n＝k時,，命題成立,，即k個圓把平面分成f(k)＝k²-k＋2個

部分，那么設(shè)第k＋1個圓記⊙O,，由題意，它與k個圓中每個圓

交于兩點,，又無三圓交于同一點,，于是它與其它k個圓相交于2k

個點．把⊙O分成2k條弧而每條弧把原區(qū)域分成2塊,，因此這平

面的總區(qū)域增加2k塊，即f(k＋1)＝k²-k＋2＋2k=(k＋1)²-(k＋1)＋2

即n＝k＋1時命題成立．

由①②可知對任何n∈N命題均成立．

說明:  本題如何應(yīng)用歸納假設(shè)及已知條件,，其關(guān)鍵是分析k增加“1”時,，研究第k＋1個圓與其它k個圓的交點個數(shù)問題．

 [例6] 已知n≥2，n∈N

②假設(shè)n=k時,，原不等式成立．

由①②可知,，對任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立．

四,、典型習(xí)題導(dǎo)練

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1＋2＋3＋…＋（＋3）= (N)”,，

當(dāng)=1時，左邊應(yīng)為____________.

2.已知數(shù)列{ }的前n項和,，則{}的前四項依次為_______,猜想=__________.

3.已知數(shù)列

證明.

4.已知不等式為大于2的整數(shù),，表示不超過的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項為正，且滿足證明.

     5. 自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源,，為持續(xù)利用這一資源,，需從宏觀上考察其再生能

力及捕撈強度對魚群總量的影響. 用x_n表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N^*,，且x₁＞0.

不考慮其它因素,，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與x_n成正比，死亡量與x_n²成正比,，

這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a,，b，c.

（1）求x_n+1與x_n的關(guān)系式,；

（2）猜測：當(dāng)且僅當(dāng)x₁,，a，b,，c滿足什么條件時,，每年年初魚群的總量保持不變？

（3）設(shè)a＝2,，c＝1,，為保證對任意x₁∈（0,2），都有x_n＞0,，n∈N^*,，則捕撈強度b的

最大允許值是多少？證明你的結(jié)論.