在很多文章里,，吳老師經(jīng)常強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的重要性。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),，學(xué)好數(shù)學(xué),，我們要掌握的不僅僅是一些知識(shí)點(diǎn)、公式,、定理等等,，更要學(xué)會(huì)運(yùn)用知識(shí)去解決問(wèn)題，深刻理解數(shù)學(xué)思想方法,，從問(wèn)題本質(zhì)上看到數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用等等,。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)中奠基性成分，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)能力必不可少的成分,。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂,，若把思想方法從數(shù)學(xué)當(dāng)中脫離出來(lái)，那么數(shù)學(xué)就失去美,，失去哲學(xué)，失去它的偉大等等,。數(shù)學(xué)思想方法是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí),，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。

數(shù)學(xué)思想方法廣泛存在于數(shù)學(xué)的概念,、方法和過(guò)程之中,，具有奠基性、總結(jié)性和廣泛性的特征,。

從數(shù)學(xué)和思想的含義去理解,，所謂數(shù)學(xué)思想方法，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中,，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果,。

數(shù)學(xué)思想方法是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果,，它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí),，而數(shù)學(xué)方法是以數(shù)學(xué)為工具進(jìn)行科學(xué)研究的方法。因此,，高考作為選拔人才的考試,，自然會(huì)加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查,，突出大家運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題能力的考查等等。

中學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法很多,，如常見(jiàn)的有：轉(zhuǎn)化的思想方法,、數(shù)形結(jié)合的思想方法、分類(lèi)討論的思想方法,、函數(shù)與方程的思想方法,、歸納總結(jié)思想方法等等。

 歸納思想方法是高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中經(jīng)常運(yùn)用到的一種科學(xué)的證明方法,對(duì)于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也非常重要,解決問(wèn)題具有實(shí)效快速等優(yōu)點(diǎn),。一般地,數(shù)學(xué)歸納法有兩個(gè)步驟：

1,、證明當(dāng)n取第1個(gè)值時(shí)，命題成立,。

2,、邏輯推理過(guò)程

假設(shè)n=k成立,作為可以運(yùn)用的條件,再結(jié)合n=k＋1時(shí)的情況,利用已知條件和假設(shè)條件,通過(guò)相關(guān)的定理、公理等加以證明,從而推導(dǎo)出n=k＋1時(shí)結(jié)論也成立,。

以上是第一歸納法的證明步驟,還有第二數(shù)學(xué)歸納法,、倒推歸納法等。

數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法,，它們的表述嚴(yán)格而且規(guī)范,，兩個(gè)步驟缺一不可。第一步是遞推的基礎(chǔ),，第二步是遞推的依據(jù),，第二步中，歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用,，在n＝k＋1時(shí)一定要運(yùn)用它,，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法。第二步的關(guān)鍵是“一湊假設(shè),，二湊結(jié)論”,。

典型例題分析1：

在用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的過(guò)程中，要注意從k到k＋1時(shí)命題中的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的變化,，防止對(duì)項(xiàng)數(shù)估算錯(cuò)誤,。

直白來(lái)說(shuō)，對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法,，一般地證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,，可按下列步驟進(jìn)行：

(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立；

(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0,，k∈N*)時(shí)命題成立,，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．

只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立,。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法,。

我們運(yùn)用“歸納——猜想——證明”的模式解決問(wèn)題,，一定要認(rèn)識(shí)到是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式。其一般思路是：通過(guò)觀察有限個(gè)特例,，猜想出一般性的結(jié)論,，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明。這種方法在解決探索性問(wèn)題,、存在性問(wèn)題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用,。其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式,。

如要弄清楚運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的規(guī)則：

1,、數(shù)學(xué)歸納法證明等式要充分利用定義，其中兩個(gè)步驟缺一不可,，缺第一步,，則失去了遞推基礎(chǔ)，缺第二步,，則失去了遞推依據(jù),。

2、證明等式時(shí)要注意等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,，兩邊各有多少項(xiàng),，并注意初始值n0是多少，同時(shí)第二步由n＝k到n＝k＋1時(shí)要充分利用假設(shè),，不利用n＝k時(shí)的假設(shè)去證明,，就不是數(shù)學(xué)歸納法。

典型例題分析2：

這是一道運(yùn)用歸納數(shù)學(xué)思想方法解決不等式問(wèn)題,，不等關(guān)系和等量關(guān)系是數(shù)學(xué)當(dāng)中非常重要兩種數(shù)量關(guān)系,。我們?cè)谶\(yùn)用歸納數(shù)學(xué)思想方法解決不等式相關(guān)問(wèn)題時(shí)候，應(yīng)注意以下兩個(gè)方面的問(wèn)題：

1,、當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，若用其他辦法不容易證,，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法,。

2、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立,，推證n＝k＋1時(shí)也成立,，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法,、綜合法,、求差(求商)比較法、放縮法等證明,。

典型例題分析3：

用數(shù)學(xué)歸納法證明an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被a2＋a＋1整除．

證明： (1)當(dāng)n＝1時(shí),，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1可被a2＋a＋1整除．

(2)假設(shè)n＝k(k≥1,，k∈N*)時(shí)，

ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除,，

則當(dāng)n＝k＋1時(shí),，

ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1

＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1

＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1

由假設(shè)可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，

(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除,，

∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除,，

即n＝k＋1時(shí)命題也成立，

由(1)(2)知,，對(duì)任意n∈N*原命題成立．

比起具體的數(shù)學(xué)知識(shí),，數(shù)學(xué)思想方法具有更高的概括抽象水平，更本質(zhì),、更深刻,。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)與理論基礎(chǔ)，我們一定要認(rèn)真消化和理解,。

本文轉(zhuǎn)載自【吳國(guó)平數(shù)學(xué)教育】

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