一. 教學(xué)內(nèi)容：

高三復(fù)習(xí)專題：數(shù)學(xué)歸納法

二. 教學(xué)目的

掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用

三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用

四. 知識(shí)分析

【知識(shí)梳理】

數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法,，在高等數(shù)學(xué)中有著重要的用途,，因而成為高考的熱點(diǎn)之一。近幾年的高考試題,，不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)代的結(jié)論,，而且加強(qiáng)了對(duì)于不完全歸納法應(yīng)用的考查，既要求歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論,，又要求能證明結(jié)論的正確性,，因此,，初步形成“觀察—－歸納—－猜想—－證明”的思維模式，就顯得特別重要,。

    一般地,，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：

    （1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n = n ₀時(shí)命題成立,；

    （2）（歸納遞推）假設(shè)n = k（）時(shí)命題成立,，證明當(dāng)時(shí)命題也成立。

    只要完成這兩個(gè)步驟,，就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)n都成立,。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。

    數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯,，它的第一步稱為奠基步驟,，是論證的基礎(chǔ)保證，即通過驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn),，這個(gè)基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠,；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有后繼傳遞性的保證,，即只要命題對(duì)某個(gè)正整數(shù)成立，就能保證該命題對(duì)后繼正整數(shù)都成立,，兩步合在一起為完全歸納步驟,，稱為數(shù)學(xué)歸納法,，這兩步各司其職,，缺一不可，特別指出的是，第二步不是判斷命題的真?zhèn)危亲C明命題是否具有傳遞性,，如果沒有第一步，而僅有第二步成立，命題也可能是假命題,。

【要點(diǎn)解析】

  1、用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題的關(guān)鍵在第二步,，即n＝k＋1時(shí)為什么成立,，n＝k＋1時(shí)成立是利用假設(shè)n＝k時(shí)成立,，根據(jù)有關(guān)的定理,、定義,、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出n＝k＋1時(shí)成立,，而不是直接代入,，否則n＝k＋1時(shí)也成假設(shè)了，命題并沒有得到證明,。

    用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題,，但并不是所有的正整數(shù)問題都是用數(shù)學(xué)歸納法證明的，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問題具體分析,。

  2,、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)易犯的錯(cuò)誤

    （1）對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤，特別是尋找n＝k與n＝k＋1的關(guān)系時(shí),，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯(cuò),。

    （2）沒有利用歸納假設(shè)：歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的,，橋梁斷了就通不過去了,。

    （3）關(guān)鍵步驟含糊不清，“假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立,，利用此假設(shè)證明n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立”,，是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié),，對(duì)推導(dǎo)的過程要把步驟寫完整,，注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性,、規(guī)范性。

【典型例題】

  例1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí),，,。

解析：①當(dāng)時(shí)，左邊,，右邊,，左邊=右邊，所以等式成立,。

②假設(shè)時(shí)等式成立,，即有，則當(dāng)時(shí),，

,，

所以當(dāng)時(shí)，等式也成立,。

由①,，②可知，對(duì)一切等式都成立,。

點(diǎn)評(píng)：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式,，命題關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,，等式的兩邊各有多少項(xiàng),，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由到時(shí)等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng),，增加怎樣的項(xiàng),。

（2）在本例證明過程中，（I）考慮“n取第一個(gè)值的命題形式”時(shí),，需認(rèn)真對(duì)待,，一般情況是把第一個(gè)值代入通項(xiàng)，考察命題的真假,，（II）步驟②在由到的遞推過程中，必須用歸納假設(shè),，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法,。

本題證明時(shí)若利用數(shù)列求和中的拆項(xiàng)相消法，即

,，則這不是歸納假設(shè),，這是套用數(shù)學(xué)歸納法的一種偽證。

（3）在步驟②的證明過程中,，突出了兩個(gè)湊字,，一“湊”假設(shè),，二“湊”結(jié)論，關(guān)鍵是明確時(shí)證明的目標(biāo),，充分考慮由到時(shí),，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系。

  例2. ,。

解析：（1）當(dāng)時(shí),，左邊，右邊,，命題成立,。

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即

,，

那么當(dāng)時(shí),，

左邊

。

上式表明當(dāng)時(shí)命題也成立,。

由（1）（2）知,，命題對(duì)一切正整數(shù)均成立。

  例3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)n,，不等式

成立,。

解析：①當(dāng)時(shí)，左=,，右,，左>右，∴不等式成立,。

②假設(shè)時(shí),，不等式成立，即

,，

那么當(dāng)時(shí),，

，

∴時(shí),，不等式也成立,。

由①，②知,，對(duì)一切大于1的自然數(shù)n,，不等式都成立。

點(diǎn)評(píng)：（1）本題證明命題成立時(shí),，利用歸納假設(shè),，并對(duì)照目標(biāo)式進(jìn)行了恰當(dāng)?shù)目s小來實(shí)現(xiàn)，也可以用上歸納假設(shè)后，證明不等式成立,。

（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與非零自然數(shù)有關(guān)的命題時(shí)要注意兩個(gè)步驟缺一不可,，第①步成立是推理的基礎(chǔ)，第②步是推理的依據(jù)（即成立,，則成立,，成立，……,，從而斷定命題對(duì)所有的自然數(shù)均成立）,。另一方面，第①步中,，驗(yàn)證中的未必是1,，根據(jù)題目要求，有時(shí)可為2,，3等,；第②步中，證明時(shí)命題也成立的過程中,，要作適當(dāng)?shù)淖冃?，設(shè)法用上歸納假設(shè)。

  例4. 若不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立,，求正整數(shù)a的最大值,，并證明你的結(jié)論。

解析：取,，,。

令，得,，而,，

所以取，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明,，

,，

（1）時(shí)，已證結(jié)論正確

（2）假設(shè)時(shí),，

則當(dāng)時(shí),，有

，

因?yàn)?/span>,，

所以,，

所以，

即時(shí),，結(jié)論也成立,，

由（1）（2）可知,，對(duì)一切,，

都有,，

故a的最大值為25。

  例5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被9整除,。

解析：方法一：令,，

（1）能被9整除。

（2）假設(shè)能被9整除,，則

∴能被9整除,。

由（1）（2）知，對(duì)一切,，命題均成立,。

方法二：（1），原式能被9整除,，

（2）若,，能被9整除，則時(shí)

∴時(shí)也能被9整除,。

由（1）,，（2）可知，對(duì)任何,，能被9整除,。

點(diǎn)評(píng)：證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，而采用增項(xiàng),、減項(xiàng),、拆項(xiàng)和因式分解等手段湊出時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證,。

  例6. 求證：能被整除,，。

解析：（1）當(dāng)時(shí),，,，命題顯然成立。

（2）設(shè)時(shí),，能被整除,，

則當(dāng)時(shí)，

,。

由歸納假設(shè),，上式中的兩項(xiàng)均能被整除，

故時(shí)命題成立,。

由（1）（2）可知,，對(duì)，命題成立。

  例7. 平面內(nèi)有n個(gè)圓,，其中每兩個(gè)圓都交于兩點(diǎn),，且無三個(gè)圓交于一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成個(gè)部分,。

解析：①時(shí),，1個(gè)圓將平面分成2部分，顯然命題成立,。

②假設(shè)時(shí),，個(gè)圓將平面分成個(gè)部分，

當(dāng)時(shí),，

第k+1個(gè)圓交前面k個(gè)圓于2k個(gè)點(diǎn),，這2k個(gè)點(diǎn)將圓分成2k段，每段將各自所在區(qū)域一分為二,，于是增加了2k個(gè)區(qū)域,，所以這k+1個(gè)圓將平面分成個(gè)部分，即個(gè)部分,。

故時(shí),，命題成立 。

由①,，②可知,，對(duì)命題成立。

點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”,，即幾何元素從k個(gè)變成k+1個(gè)時(shí),，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來分析,，在實(shí)在分析不出來的情況下,，將n=k+1和n=k分別代入所證的式子，然后作差,，即可求出增加量,，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧,。

  例8. 設(shè),，是否存在關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)，使等式對(duì)于的一切自然數(shù)都成立,？并證明你的結(jié)論,。

解析：當(dāng)時(shí)，由,，

得,，

當(dāng)時(shí),，由，

得,，

猜想,。

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)時(shí)，等式恒成立,。

①當(dāng)時(shí)，由上面計(jì)算知,，等式成立,。

②假設(shè)成立，

那么當(dāng)時(shí),，

∴當(dāng)時(shí),，等式也成立。

由①②知,，對(duì)一切的自然數(shù)n,，等式都成立。

故存在函數(shù),，使等式成立,。

點(diǎn)評(píng)：（1）歸納、猜想時(shí),，關(guān)鍵是尋找滿足條件的與n的關(guān)系式,，猜想的關(guān)系未必對(duì)任意的都滿足條件，故需用數(shù)學(xué)歸納法證明,。

（2）通過解答歸納的過程提供了一種思路：可直接解出,，即

。

【模擬試題】

  1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),，能被整除”時(shí),，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成

       A. 假設(shè)時(shí)，命題成立

B. 假設(shè)時(shí),，命題成立

C. 假設(shè)時(shí),，命題成立

D. 假設(shè)時(shí)，命題成立

  2. 證明,，假設(shè)時(shí)成立,，當(dāng)1時(shí)，左端增加的項(xiàng)數(shù)是

       A. 1項(xiàng)    B. 項(xiàng)     C. k項(xiàng)    D. 項(xiàng)

  3. 記凸k邊形的內(nèi)角和為,，則凸邊形的內(nèi)角和（  ）

       A.      B.       C.   D.

  4. 某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān),，若時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)該命題也成立,，現(xiàn)已知當(dāng)時(shí),，該命題不成立,，那么可推得

       A. 當(dāng)時(shí)，該命題不成立

B. 當(dāng)時(shí),，該命題成立

C. 當(dāng)n=4時(shí),，該命題不成立

D. 當(dāng)n=4時(shí)，該命題成立

  5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),，由到時(shí),，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是

       A.    B.       C.  

D.

  6. （5分）在數(shù)列中，,，且,，，2成等差數(shù)列（表示數(shù)列的前n項(xiàng)和）,，則,，，分別為__________,；由此猜想___________,。

  7. （5分）已知對(duì)一切都成立，那么a=_____________,，b=_____________,，c=_____________。

  8. （14分）由下列各式：

,，,，，,，……你能得出怎樣的結(jié)論,？并進(jìn)行證明。

  9. （16分）設(shè)數(shù)列滿足,，,。

（1）證明：對(duì)一切正整數(shù)n均成立；

（2）令,，判斷與的大小,，并說明理由。

  10. （14分）已知函數(shù),，設(shè)數(shù)列滿足,，，數(shù)列滿足,，,。

（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明

（2）證明：。

  11. （16分）（2006年,，江西）已知數(shù)列滿足：,，且

,。

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)n,，不等式恒成立,。

【試題答案】

  1. B     2. D        3. B        4. C        5. C

  6. ，,，,，

  7. ，,，

  8. 解：對(duì)所給各式進(jìn)行觀察比較,，注意各不等式左邊最后一項(xiàng)的分母特點(diǎn)：，,，，,，…,，猜想為，對(duì)應(yīng)各式右端為,。

歸納得一般結(jié)論

①當(dāng)時(shí),，結(jié)論顯然成立。

②假設(shè)當(dāng)時(shí),，結(jié)論成立,，

即成立，

則當(dāng)時(shí),，

,，即當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立。

由①②可知對(duì)任意,，結(jié)論都成立,。

  9. 解：（1）證明略。

（2）方法一：

,，

∴,。

方法二：

（由（1）的結(jié)論）

=

，

∴,。

方法三：

,，

故，因此,。