用來探討與正整數(shù)有關(guān)的一系列數(shù)學(xué)問題,其過程基本要分兩個步驟：第一步是驗證當(dāng)取第一個初始值n0

時所要證明的不等式成立,第二步是對于任意的正整數(shù)k,假設(shè)當(dāng)n=k時不等式能夠成立,以此來證明當(dāng)n=k+1時所要證明的不等式是否成立,如果第一步和第二步都能成立,那么可以得出結(jié)論,即對于所有大于或等于n0的正整數(shù)不等式成立.

新課標(biāo)中提出著重考查學(xué)生的探索和歸納能力,利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,在近幾年各地的高考和?？荚囶}中已成為一個新的熱點和亮點,并且基本上都以主觀題的方式出現(xiàn),大多數(shù)出現(xiàn)在最后三道大題中.因此,高考中我們想要得高分就要將它當(dāng)成必須掌握的問題.

一、證明與正整數(shù)相關(guān)的不等式

【點評】應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題

(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時,若用其他辦法不容易證,則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法．

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立,推證n＝k＋1時也成立,證明時用上歸納假設(shè)后,可采用分析法,、綜合法,、求差(求商)比較法、放縮法等證明．運用放縮法時,要注意放縮的“度”．

二,、證明與數(shù)列相關(guān)的不等式

數(shù)列可以看作一個定義域為自然數(shù)集N（或它的有限子集{1.2.3.L,，n}）的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值.用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于數(shù)列的不等式是一種順理成章的思路和方法.在歷年的高考數(shù)列試題中大都會設(shè)置一問用數(shù)學(xué)歸納法證明某個結(jié)論或不等式問題,往往是先計算前幾項,再變形（可拆可補）,進(jìn)而猜想結(jié)論,最后用數(shù)學(xué)歸納法證明,此即“觀察----歸納----猜想---證明”很常見的問題模式.

用數(shù)學(xué)歸納法證明與n(n∈N*)有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式,按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個式子,按要求比較它們的大?。畬Φ诙愋问酵葘取前k個值的情況分別驗證比較,以免出現(xiàn)判斷失誤,最后猜出從某個k值開始都成立的結(jié)論,常用數(shù)學(xué)歸納法證明,即先猜(歸納推理)后證(數(shù)學(xué)歸納法)．

【點評】數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意：(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時,應(yīng)用其他辦法不容易證,則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法,；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立,推證n＝k＋1時也成立,證明時用上歸納假設(shè)后,可采用分析法、綜合法,、作差(作商)比較法,、放縮法等證明．

三、放縮技在數(shù)學(xué)歸納法中的運用

其實應(yīng)數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,看起來很容易,但往往做起來有時會很難,其難點在于由n=k成立,推證n=k+1成立的過程中,不容易實現(xiàn)轉(zhuǎn)化,這里可能要用到一些常的證明方法,如作差法,、作商法,、分析法、綜合法,、反證法,、放縮法等,這也是數(shù)學(xué)歸納法的核心和關(guān)鍵所在,也是最困難的一步,往往要多種方法相結(jié)合,而最為常見的方法和技巧是與放縮法相結(jié)合.

點評：本題考查學(xué)生的推理能力，數(shù)學(xué)歸納法和放縮法在證明不等式中應(yīng)用,。在運用舒徐歸納法證明不等式時,，第二點是難點關(guān)鍵。

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