―孫曉天教授訪談

1． 問：新課程推進(jìn)以來，很多教師都發(fā)現(xiàn)，中小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材的數(shù)學(xué)味兒不濃了,，不那么“數(shù)學(xué)”了,，很多標(biāo)題，比如小學(xué)教材中的“暢游花果山”,、中學(xué)教材中的“我怎么胖了”等等,，咋一看都不像數(shù)學(xué)教材了，為什么要把教材寫成這樣,？

孫曉天：這是一個(gè)好問題,，我已經(jīng)被多次問到了，正好借你給我提供的機(jī)會(huì)談?wù)剛€(gè)人的一些看法,。先不說數(shù)學(xué)教材,，先說說數(shù)學(xué)教育大家弗蘭登塔爾，說他是“大家”,，是因?yàn)閲H數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的最高獎(jiǎng)－弗蘭登塔爾獎(jiǎng)就是以他的名字命名的,。他曾經(jīng)寫了一本名為《播種與除草》的書，如果不知道弗蘭登塔爾是何許人也,，讀者一定會(huì)認(rèn)為這是一本農(nóng)學(xué)方面的著作,。其實(shí)，這是一本分析數(shù)學(xué)教育基本理論的著作,。我想用這個(gè)例子說明,，一本書也好，一套教材也好,，標(biāo)題雖重要,，關(guān)鍵在內(nèi)容，進(jìn)入內(nèi)容之后再回頭看標(biāo)題,，才能辨出味道,。還說《播種與除草》，書里研究了皮亞杰的“認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論”,，和布盧姆的“教育目標(biāo)分類學(xué)”等教育學(xué)說,，對(duì)于這些學(xué)說的哪些部分可以在數(shù)學(xué)教育園地里“播種”，哪些部分要從數(shù)學(xué)教育園地里“除草”弗蘭登塔爾做了相當(dāng)深入的分析,，讀過書后再看標(biāo)題,，覺得真是再生動(dòng)貼切不過。所以,，諸如“我為什么胖了”有沒有數(shù)學(xué)味兒,，要通過具體內(nèi)容判斷。

圍繞這個(gè)問題我想多說幾句,。教材是課程的載體,，數(shù)學(xué)教材應(yīng)該什么樣子往往與課程的類型有關(guān),，其面貌大體上可由課程類型決定。而課程有學(xué)科課程與經(jīng)驗(yàn)課程之分,。

學(xué)科課程依托的是數(shù)學(xué)作為一個(gè)學(xué)科的科學(xué)體系,。所以學(xué)科課程的教材通常是由從定義出發(fā)的邏輯鏈條構(gòu)建而成，一般要分科,，且結(jié)構(gòu)清晰,，文字簡(jiǎn)煉，敘述清楚,，要點(diǎn)鮮明,，教師用起來比較順手。特別是,，使用這樣的教材比較容易實(shí)現(xiàn)教師在備課過程中預(yù)先設(shè)計(jì)的課堂教學(xué)目標(biāo),，短短一節(jié)數(shù)學(xué)課總能按計(jì)劃完成一個(gè)、兩個(gè),，甚至多個(gè)具體任務(wù),。另一方面。這種教材的面貌一般會(huì)比較抽象,，題材離學(xué)生熟悉的生活比較遠(yuǎn),，留給學(xué)生思考與想象的空間不大，教師雖然好教,，可能對(duì)學(xué)生有挑戰(zhàn)性,，未必好學(xué)。長期以來我國的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材比較接近這個(gè)樣式,。這個(gè)樣式也經(jīng)常成為人們衡量新教材的參照系,。

經(jīng)驗(yàn)課程依托的是學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)。所以經(jīng)驗(yàn)課程的教材通常是從具體的情景出發(fā),，這些情景有的是學(xué)生生活中熟知的真情實(shí)景，有的可能是學(xué)生喜歡的童話,、傳說,、科幻故事中的現(xiàn)成題材，有的就是學(xué)生自己已有的數(shù)學(xué)知識(shí)積累,。從情景出發(fā)的教材通常把新的數(shù)學(xué)內(nèi)容隱含在情景后面,，把原本在學(xué)科課程里條理清晰的不同學(xué)科方向和盤托出。在這樣的教材里,，幾何,、代數(shù)和統(tǒng)計(jì)往往相互交織在一起出現(xiàn)。用這樣的教材教學(xué),，往往是情景中蘊(yùn)涵著什么內(nèi)容,，就講什么內(nèi)容,，教學(xué)過程也是在幾何、代數(shù)和統(tǒng)計(jì)相互交織的情況下進(jìn)行的,。這樣的教材一般都題材豐富,，讀起來引人入勝。由于教學(xué)的空間主要依賴于學(xué)生對(duì)情景問題的理解和分析,，離不開學(xué)生自己的新發(fā)現(xiàn),，所以教起來的難度實(shí)在是大，灌輸式的教學(xué)方法基本無效,，就連啟發(fā)式往往也不起作用,。迄今為止，我國還沒有純粹的經(jīng)驗(yàn)課程教材出現(xiàn),，廣大教師,、甚至許多從事數(shù)學(xué)教育研究的專業(yè)人員對(duì)這種類型的教材也很生疏。我曾經(jīng)系統(tǒng)的研究過一套美國教育百科全書出版社98年出版的名為《情景數(shù)學(xué)》的教材,，這是一套為美國10－14歲（介于我國小學(xué)高年紀(jì)和初中低年級(jí)之間）學(xué)生編寫的,、徹頭徹尾的經(jīng)驗(yàn)課程教材。整個(gè)教材的標(biāo)題系統(tǒng)沒有一點(diǎn)數(shù)學(xué)的味道,，都是諸如“上上下下”,、“影子的故事”、“干和濕”等等,，從標(biāo)題幾乎看不出這是一套數(shù)學(xué)教材,，如果不深入進(jìn)去，也無法判斷這些標(biāo)題下面講的是什么數(shù)學(xué)內(nèi)容,，只有看完讀懂了才為其中設(shè)計(jì)的精巧而折服,。這套教材從頭至尾是用一串串的問題組成的，通過一個(gè)接一個(gè)的提出問題,。一步一步引導(dǎo)學(xué)生走入由代數(shù),、幾何、統(tǒng)計(jì)構(gòu)成的數(shù)學(xué)世界,。我通過網(wǎng)上查詢,，知道了在美國用這套教材的學(xué)校還真不少?？上]有機(jī)會(huì)親眼看看他們是怎么用這套教材開展課堂教學(xué)的,。雖然沒有身臨其境，可以想象出使用這套教材的教學(xué)進(jìn)度一定很慢,，課堂秩序一定有點(diǎn)亂,，學(xué)生思維可能很活躍，但數(shù)學(xué)的基本功可能很一般,，想在一節(jié)課里實(shí)現(xiàn)一個(gè)具體目標(biāo),，大概基本做不到,。

除了學(xué)科型和經(jīng)驗(yàn)型的課程外，大多數(shù)課程介于兩者之間,。有的是在抽象的學(xué)科主線中不斷閃現(xiàn)出內(nèi)容豐富的情景問題,，有的把豐富的情景問題沿?cái)?shù)學(xué)學(xué)科的主線鑲嵌與展開，我稱這樣的課程為“學(xué)科為主的經(jīng)驗(yàn)課程”或“經(jīng)驗(yàn)為主的學(xué)科課程”,，“學(xué)科”與“經(jīng)驗(yàn)”哪個(gè)在前,，依據(jù)各自的份量而定。我認(rèn)為我國數(shù)學(xué)新課程實(shí)驗(yàn)教材基本應(yīng)當(dāng)屬于這樣的類型,。由于這種教材與我們習(xí)慣上對(duì)數(shù)學(xué)教材的認(rèn)識(shí)有較大出入,，咋一接觸可能就覺得難以接受。從課程的角度,，前面提到的“我為什么胖了”等等還是符合課程要求的,，教材編寫者之所以在這里插入經(jīng)驗(yàn)的成分，是試圖揭示數(shù)學(xué)就在學(xué)生周邊的生活中,，是努力引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的新嘗試,。至于教材本身做的質(zhì)量怎么樣做的好不好要當(dāng)別論了。我想,，即便做的不那么好,，這個(gè)方向當(dāng)提倡，這樣的嘗試當(dāng)鼓勵(lì),。就我個(gè)人而言,，我真的希望我們的教材中多一些經(jīng)驗(yàn)，多一些情景,，少一點(diǎn)枯燥,，淡化一些體系，因?yàn)?，?duì)中小學(xué)生來講,，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的精巧和體系的美他們尚難體味，喜歡和好奇應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本動(dòng)力,，而包含經(jīng)驗(yàn)的課程恰與這一點(diǎn)契合,。我們目前在數(shù)學(xué)教材方面遇到的問題不是經(jīng)驗(yàn)多了，情景多了濫了,，而是在這方面研究不足、缺少積累,、情景單薄,、運(yùn)用的也不夠貼切，淺嘗輒止,。特別是有的時(shí)候標(biāo)題雖然十分引人,，內(nèi)容處理卻未必那么入勝,，多少讓人失望。這些都說明,，方向雖然沒問題,，可我們對(duì)什么是經(jīng)驗(yàn)類課程理解的還不夠，對(duì)如何構(gòu)建“學(xué)科為主的經(jīng)驗(yàn)課程”或“經(jīng)驗(yàn)為主的學(xué)科課程”無論是研究,、理解和準(zhǔn)備等方面都不足,。這是今后無論課程設(shè)計(jì)者、研究者,、教材編者和廣大教師都要共同思考,、積極探索的大問題。

說的不少了,，我想就這個(gè)問題最后明確一下我的觀點(diǎn)：

學(xué)科課程有利于學(xué)生比較迅速的得到結(jié)果,、介入前沿，對(duì)有數(shù)學(xué)潛質(zhì),、天賦的學(xué)生來說,，確實(shí)可能通過它感受到數(shù)學(xué)內(nèi)在的美和感受數(shù)學(xué)的力量，有助于蘊(yùn)育數(shù)學(xué)精英,。無論到什么時(shí)候,，這種課程我們都是需要的。但學(xué)科課程結(jié)構(gòu)清晰的體系,，有時(shí)候和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),、發(fā)展的過程不搭界。學(xué)生學(xué)了不少數(shù)學(xué),，可除了考試不知道怎么用,，也不知道往哪兒用，多少與這種課程類型本身有關(guān)系,。所以這種課程需要的批量不會(huì),、也不應(yīng)該太大。

“學(xué)科為主的經(jīng)驗(yàn)課程”或“經(jīng)驗(yàn)為主的學(xué)科課程”是學(xué)科課程與經(jīng)驗(yàn)課程的良性嫁接,，恰好使他們互為補(bǔ)充,，應(yīng)該是我國數(shù)學(xué)課程的主流。廣大教師長期以來積累的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)施新課程以來所作的探索在這種類型的數(shù)學(xué)課程中都有發(fā)揮的空間,，都可能在傳承中凸顯新意,。對(duì)于絕大多數(shù)未必以數(shù)學(xué)或科學(xué)為職業(yè)目標(biāo)的學(xué)生來說，在保持學(xué)科主線的背景下,，讓教材里多幾分經(jīng)驗(yàn),，多幾分情景，時(shí)而有不同學(xué)科交織在一起出現(xiàn),，時(shí)而又交織在一起解決現(xiàn)實(shí)中遇到的大,、中,、小問題，將對(duì)他們未來從事什么事業(yè)都有用,。我們應(yīng)該鼓勵(lì)教材編寫者多做點(diǎn)這方面的嘗試,，教師要為如何教好這樣內(nèi)容多做一些思考，努力摸索出經(jīng)驗(yàn),，這雖然會(huì)給教師增加一些負(fù)擔(dān),，可在教學(xué)生涯里同樣也會(huì)留下創(chuàng)新的印記。

2．  不少幾何圖形的性質(zhì)在現(xiàn)在的教材里都是用折紙或者其他借助生活經(jīng)驗(yàn)和動(dòng)手的方式導(dǎo)入和解釋了,，減弱了證明的份量,，使數(shù)學(xué)新課程的數(shù)學(xué)味道降低了很多，數(shù)學(xué)的難度,、深度也隨之下降,，這會(huì)不會(huì)造成學(xué)生整體的數(shù)學(xué)水準(zhǔn)，特別是基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的下降,？

孫曉天：你說得是幾何,，其實(shí)問的是新課程會(huì)不會(huì)影響“雙基”這么一個(gè)敏感問題。“雙基”的概念太模糊,，很少有人能把它說清楚,。我想我們還是說“數(shù)學(xué)的基本功”吧。說得簡(jiǎn)單一點(diǎn),，數(shù)學(xué)的基本功包括一個(gè)字－“算”,！當(dāng)然這個(gè)“算”不僅僅是指數(shù)值計(jì)算，還包括式的推導(dǎo)和演繹推理,。在“算”的方面功夫扎實(shí)的學(xué)生通常在各方面都不錯(cuò),，這也能從另一個(gè)角度說明“算”的確是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本功。通過“算”產(chǎn)生過不少有名的數(shù)學(xué)家,，哪怕是中小學(xué)生通過“算”也可以做出一些不錯(cuò)的結(jié)果來,。不會(huì)“算”，在科學(xué)上不會(huì)有什么成就,，在如何“算”,、如何教學(xué)生“算”的問題上，我國的數(shù)學(xué)教育積累了不少經(jīng)驗(yàn),，廣大教師在實(shí)際教學(xué)工作中也摸索出不少方法,，這些都應(yīng)肯定，都沒有疑義,。問題是前面所說的“算”不是數(shù)學(xué)基本功的全部,。學(xué)數(shù)學(xué)還需要有眼光，有想法，要有從現(xiàn)實(shí)問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的能力,，有找到解決問題方法的思路，不然,，我們“算”什么呢,？都是“算”現(xiàn)成的問題，發(fā)現(xiàn)的能力就無論如何也沒辦法形成了,。而現(xiàn)實(shí)問題中的數(shù)學(xué)信息很多時(shí)候是以圖形,、圖表、數(shù)據(jù)的形式存在的,，所以,，把握?qǐng)D形，收集數(shù)據(jù),、整理信息,，就成了“算”所必須的前期準(zhǔn)備。把上面這些和“算”結(jié)合在一起,，數(shù)學(xué)的基本功就比較完整了,。我們過去抓“算”沒有錯(cuò)，但留給學(xué)生思考的空間小,，比較忽視提問題,、想點(diǎn)子，也不大關(guān)注數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系,，這就是缺陷了,。新課程就在試圖彌補(bǔ)這一缺陷。

現(xiàn)在再說幾何,，數(shù)學(xué)新課程對(duì)幾何是這樣處理的：首先是直觀和經(jīng)驗(yàn),，接著是抽象，最后是演繹,。例如,，用折紙的辦法歸納出幾何圖形的一些特征性質(zhì)，這帶有發(fā)現(xiàn)的意義,；再用演繹推理的方法證明這些性質(zhì),，練的就是“算”的基本功了。在這里直觀和推理兩者都很重要,，而且兩者之間互為支撐,，有互逆的性質(zhì)。說比較容易,，如何在教材層面銜接的自然，使教者和學(xué)者都認(rèn)識(shí)到這兩種形式之間的聯(lián)系與區(qū)別及其一致性，就不那么容易了,。把某種直線形或圓的同一個(gè)性質(zhì),，在經(jīng)驗(yàn),、直觀和證明的過程中反復(fù)出現(xiàn)這件事呈現(xiàn)的自然,，分出層次，使學(xué)生理解既要折紙又要論證,，是在通過兩種功夫?qū)崿F(xiàn)同一個(gè)目的,，的確是我們?cè)诮滩木帉懞徒虒W(xué)實(shí)踐中面臨的一個(gè)難題。在教學(xué)過程中?？吹剑赫奂埦拖袷窃谧鍪止?，證明就像依樣畫葫蘆，兩者都不解渴,，都形不成基本功,，因此產(chǎn)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)弱化了的想法也就不足為怪。現(xiàn)在不同版本實(shí)驗(yàn)教材在這方面都做出一些嘗試,，尚在實(shí)驗(yàn)之中,，“硬骨頭”還沒有啃下來。

問題歸問題,，真正需要考量的是新課程對(duì)幾何課程的設(shè)計(jì)有沒有問題,，因?yàn)檫@關(guān)系到我們推進(jìn)新課程的信心。說到這兒,，明確一下我的觀點(diǎn)：新一輪數(shù)學(xué)課程改革對(duì)幾何的重視程度是在加強(qiáng),，絲毫沒有減弱。在國家的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)里,，采取直觀幾何和推理幾何并重的方針,，其中直觀部分的觸角已經(jīng)伸向了小學(xué)低年級(jí)，同時(shí)歐氏幾何的體系和內(nèi)容差不多還是完整呈現(xiàn),。如果說有所弱化,，就是具體要求降低了，這種降低主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面,，一個(gè)是對(duì)推理幾何的難度要求有所限制,；另外是大大的弱化了圓（包括圓與直線之間的關(guān)系）這塊內(nèi)容，希望把相關(guān)內(nèi)容挪到高中去,。這個(gè)思路,，兼顧了數(shù)學(xué)基本功應(yīng)當(dāng)包括的各個(gè)方面，我認(rèn)為是對(duì)頭的,。從你提到的問題看,，至少目前這個(gè)思路的落實(shí)情況不夠理想,。這其中牽涉到教材應(yīng)該怎么編、素材應(yīng)該怎么選,、教師應(yīng)該怎么教等等一系列問題,，又是一篇大文章，以后有機(jī)會(huì)可以再細(xì)談,。

3．在公眾的眼里一般都認(rèn)為數(shù)學(xué)很難,、很抽象，那么大眾數(shù)學(xué)的提法現(xiàn)實(shí)么,？在我們國家能行得通么？

孫曉天：你的問題是越來越尖銳了,。大眾數(shù)學(xué)首先是一個(gè)國際化的提法,，不是我們中國人發(fā)明的。1984年的國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME5）的主題就是,意思是“為了每一個(gè)人的數(shù)學(xué)”,，這大概是我國大眾數(shù)學(xué)的源頭,。在我們的腦海里，數(shù)學(xué)似乎需要一點(diǎn)天賦,，的確不是每一個(gè)人都能學(xué)好的,，為什么還要提for all呢？這就要提到些背景了,。那時(shí)在西方尤其是在美國,，如果數(shù)學(xué)學(xué)的不好或數(shù)學(xué)學(xué)分修的少，上大學(xué)的可能性和選擇專業(yè)及學(xué)校的空間就會(huì)大大縮小,，從而今后謀職的競(jìng)爭(zhēng)力就連帶大受影響,，數(shù)學(xué)在某種程度上成了職業(yè)的篩子。特別是有人把美國的少數(shù)族裔升學(xué)難,、就業(yè)難與數(shù)學(xué)聯(lián)系在了一起，不for all的話數(shù)學(xué)就失去了教育的公平性,，這可就不是小問題了。所以,，“Mathematics for all”這一理念的提出,，首先考慮的是人的社會(huì)生活和職業(yè)的需要,，強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)和人的生存質(zhì)量之間的關(guān)系,，所以數(shù)學(xué)教育應(yīng)該for all，一個(gè)都不能少,。后來我國的學(xué)者結(jié)合中國的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)實(shí),、社會(huì)現(xiàn)狀，根據(jù)中國數(shù)學(xué)教育發(fā)展的需要，開展了具有一定規(guī)模的,，比較深入,、系統(tǒng)的研究，提出了在中國實(shí)行區(qū)別于精英數(shù)學(xué)的大眾數(shù)學(xué)的概念,。這一研究,，也成了今天數(shù)學(xué)新課程的起點(diǎn)。數(shù)學(xué)新課程主張,，數(shù)學(xué)教育不僅要為學(xué)生接受進(jìn)一步的教育做準(zhǔn)備,，更重要的是要與每一個(gè)學(xué)生的生活和職業(yè)相關(guān)聯(lián)，要從數(shù)學(xué)的角度為學(xué)生提供成為一個(gè)好公民的價(jià)值觀基礎(chǔ),。這樣看來,，一方面大眾數(shù)學(xué)的提法是有根據(jù)有道理的；另一方面,，你提到的這個(gè)問題確實(shí)可能存在：如果我們的數(shù)學(xué)課程是每一個(gè)人都能應(yīng)付的數(shù)學(xué)課程,，勢(shì)必導(dǎo)致整水平降低，無人冒尖,，潛在的專家級(jí)人物缺少了成長的沃土,，怎么辦？,！

對(duì)這個(gè)問題,，我倒沒那么擔(dān)心。我的觀點(diǎn)是,，如果把數(shù)學(xué)教育比作一間房屋,，大眾數(shù)學(xué)就像這間房屋的地板,，是“地板上”的數(shù)學(xué),。每個(gè)人都要先學(xué)會(huì)在地板上站立，站穩(wěn),、站牢。每一個(gè)都要掌握讓自己“站得住”的數(shù)學(xué),。而地板到天花板之間還有一大塊空間,。不妨把天花板比作精英數(shù)學(xué)，只有在地板上站的結(jié)實(shí),、加之有愿望,、有潛力,、有天賦,、有條件的，才有可能跳起來觸摸到天花板,。人人都摸天花板辦不到,，有人想摸并且能模到，就一定要為他留出足夠的空間和可能性,。如果這樣思考,，大眾數(shù)學(xué)與精英數(shù)學(xué)之間的關(guān)系就和諧了：大眾數(shù)學(xué)實(shí)際是精英數(shù)學(xué)的沃土，大眾在滿足生存需要的基礎(chǔ)上都是未來數(shù)學(xué)家,、科學(xué)家的龐大后備軍,。所以，數(shù)學(xué)越大眾,，學(xué)數(shù)學(xué)的人越多,，才越有可能有尖子冒出來，在“地板”上站功最好的那撥兒,，才有可能一躍而起去摘取那女王皇冠上的明珠?？磥?，基礎(chǔ)是大眾數(shù)學(xué)，然后才有精英數(shù)學(xué),。當(dāng)然在大眾數(shù)學(xué)與精英數(shù)學(xué)的和諧共進(jìn)方面,，我們?nèi)匀皇侨沃氐肋h(yuǎn)。現(xiàn)在似乎大眾數(shù)學(xué)的空間已經(jīng)拓展開了,，精英數(shù)學(xué)的空間尚待拓展,，只須在機(jī)制上稍做調(diào)整，其實(shí)不難,。

總之,，無論數(shù)學(xué)也好，物理也好,，推而廣之,，無論國家的政策也好，法規(guī)也好,，都應(yīng)該是為大眾的,，都應(yīng)該首先考慮大眾而不是小眾的利益和基本需要。我們不能指望每個(gè)適齡青年都升入高中,、大學(xué),，但我們希望那些從初中、高中畢業(yè)回家務(wù)工,、務(wù)農(nóng),、哪怕是作放牛娃的孩子,，他們?cè)趯W(xué)校的數(shù)學(xué)也沒有白學(xué)！這一點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的底線,。

你的問題都是好問題,，每個(gè)問題都值得寫一本書，但這樣的書最好不是由理論家去寫,，而是由廣大教師通過自己的親身實(shí)踐,，用自己的體會(huì)去寫。我希望廣大數(shù)學(xué)教師對(duì)實(shí)施數(shù)學(xué)新課程中遇到的問題,，多想想為什么,，多思考該怎么辦，多關(guān)注學(xué)生的反應(yīng)和取得的進(jìn)步,，可能有些問題的答案也就明了了,。

我說的這些純粹是個(gè)人的看法，目的是與大家交流,，僅供參考吧,。