前幾天我們談了一些科研入門的注意事項，從今天起,，我想與青年朋友一起探討自然科學(xué)研究中的常用方法和要領(lǐng),。就從闡述“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”開始，我認為這是從事理工科基礎(chǔ)研究的一種常規(guī)武器,，一把利劍,。文中對“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”作一般描述，并述及若干經(jīng)常出現(xiàn)的問題,。

1978年,，著名應(yīng)用數(shù)學(xué)家、力學(xué)家林家翹教授（中科院外籍院士）提出了解決實際問題的“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”,，我在1979年他到訪清華大學(xué)時第一次聽他詳細講述了相關(guān)內(nèi)容,。他指出，在研究數(shù)理科學(xué)的實際問題時,，經(jīng)常采用：

搜集實驗,、觀測資料→建立數(shù)學(xué)模型→發(fā)明數(shù)學(xué)工具或沿用已有方法解決模型中的問題→驗證所得到的結(jié)果→總結(jié)出普遍規(guī)律。

這就是所謂“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”,。自然科學(xué)中,，許多基本規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、解析和描述,，都或多或少地運用了應(yīng)用數(shù)學(xué)過程,。

后來，Brown大學(xué)的謝定裕教授到我所講學(xué),，談及治學(xué)之道時,，也講授了這一應(yīng)用數(shù)學(xué)過程。并用牛頓建立三大定律為例子加以闡釋,，牛頓搜集伽利略關(guān)于落體運動的實驗結(jié)果和行星運動的觀測數(shù)據(jù),，特別是了解了關(guān)于行星運動的開普勒定律，對物體的運動與作用力之間的關(guān)系有了清晰的認識,；在此基礎(chǔ)上建立了數(shù)學(xué)模型（物體運動方程）：F=ma等,；并發(fā)明了微積分，求得了運動方程的解,；這些解在實驗,、觀測中得到了驗證，最后總結(jié)出牛頓三大定律,。這是一個完美的“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”,。1987年，謝定裕先生把上述看法寫進了《流體力學(xué)》（南開大學(xué)出版社）的序言中了,。

在此后的研究生教學(xué)和本科生教學(xué)中,，我一再向?qū)W生們介紹了這一“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”,，在關(guān)于科研方法的講座中，也包含了這方面內(nèi)容,。例如,，在給研究生講授流體力學(xué)時，我花費很多時間來闡明納維-斯托克斯方程的導(dǎo)出過程,，強調(diào)這是在流體力學(xué)中實踐應(yīng)用數(shù)學(xué)過程的絕好例子,，特別是其中的數(shù)學(xué)建模的思路值得效仿。

在實施應(yīng)用數(shù)學(xué)過程中,，至關(guān)重要的是：掌握了足夠的實驗,、觀測數(shù)據(jù)后，從千頭萬緒的現(xiàn)象中進行梳理,、簡化,，掌握其中的本質(zhì)要旨，建立合理和可解的數(shù)學(xué)模型,，這是最為艱巨的工作,。因此，我們追溯牛頓的學(xué)術(shù)貢獻時,，經(jīng)常把他建立牛頓三大定律放在最重要的地位,。

經(jīng)我留意觀察，初涉科研的人們,，有不少人不自覺地實施了應(yīng)用數(shù)學(xué)過程,，而且做得相當(dāng)出色。如果說有不足之處,，主要問題是對應(yīng)用數(shù)學(xué)過程認識不清晰和執(zhí)行得不完整,。正如謝定裕教授所指出的，“現(xiàn)代科學(xué)的迅速發(fā)展,，已使一個人很難獨立完成某項有意義的工作的整個應(yīng)用數(shù)學(xué)過程,，……，所以,，一個人往往只能從事這一過程的一個或兩個環(huán)節(jié)的工作,，……。然而,，我們不應(yīng)忘記整個應(yīng)用數(shù)學(xué)過程，應(yīng)當(dāng)明了應(yīng)用數(shù)學(xué)過程各個環(huán)節(jié)的相對重要性,。”

人們在實施應(yīng)用數(shù)學(xué)過程中所出現(xiàn)的問題主要有：

1.      沒有充分掌握所研究的問題的實驗,、觀測數(shù)據(jù)。盡管由于分工不同,，我們不一定親歷親為地去作實驗觀測,，但必須通過各種調(diào)研掌握必要的實際觀測資料,，并進行仔細剖析，了解工程或科學(xué)問題的第一手材料,，抓住其中的本質(zhì)性的東西,，為數(shù)學(xué)建模奠定基礎(chǔ)；

2.      對于作沿用的數(shù)學(xué)模型不了解其源頭,。人們在科研中常利用現(xiàn)成的模型,，但不少年青人對所用模型的來龍去脈不甚了了。例如,，在流體力學(xué)研究中要用納維-斯托克斯方程,，但不了解這組方程賴以成立的基本假設(shè)（三個本質(zhì)的假設(shè)、三個重要的假設(shè)以及其它次要假設(shè)）,，不顧實際情況拿來就用,，往往會岀岔子；

3.      不善于獨立建模,。對有些問題,，沒有現(xiàn)成的模型可供借鑒，必須自己按實際問題來建模,。不少年青人的建模能力較差,，需要磨練（日后細談）；

4.      不重視結(jié)果的驗證,。有些年青人給出了問題的解后就“開小差”了,，沒有在結(jié)果的驗證上下功夫，也就是說,，忽視應(yīng)用數(shù)學(xué)過程的第四個環(huán)節(jié),。有些作理論分析的朋友認為，我已經(jīng)給你解答了,，結(jié)果的應(yīng)用和驗證是別人的事情,。這種想法很要不得，因為在求解過程中,，你引進了各種近似假設(shè),，結(jié)果是否成立？何時成立,？研究者必須責(zé)無旁貸地給出明確的說法,。

5.      不重視總結(jié)規(guī)律。我們不是牛頓,，也許總結(jié)不出牛頓定律那樣的大規(guī)律,，但總能發(fā)現(xiàn)一些小規(guī)律吧！經(jīng)常見到年青人的習(xí)作中,，把公式,、數(shù)據(jù),、圖表等一一列出后就“溜之乎也”，這實在是一個壞習(xí)慣,，也往往會糟蹋了好工作,、好結(jié)果。我在樂乎博客中已多次提及這一點,。最近重讀《李政道傳》,，我發(fā)現(xiàn)，他在得到重要問題一些基本結(jié)果后,，分析,、討論、總結(jié)規(guī)律的時間甚至長于演繹結(jié)果的時間,。

必須指出,，“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”是應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)界前輩學(xué)者總結(jié)出來的一種提法，實際上在其它學(xué)科門類中可能有類似的提法,。我們主要領(lǐng)會其中的精神實質(zhì),。

總而言之，應(yīng)用數(shù)學(xué)過程是理工科科學(xué)研究中的一種常規(guī)武器,，希望青年朋友門好好體會,、運用，而且在實踐中逐步形成良好的科研習(xí)慣,。

歡迎廣泛地進行討論,。