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擴(kuò)展性閱讀 本期專題欄目主持人：莊惠芬 數(shù)學(xué)建模與兒童發(fā)展 【主持人語】 數(shù)學(xué)建模：數(shù)學(xué)教育和兒童立場的美麗遭遇 成尚榮先生在《兒童立場：教育從這兒出發(fā)一文》中鮮明地指出：兒童的發(fā)展是現(xiàn)代教育核心價值的定位,，兒童立場應(yīng)是現(xiàn)代教育的立場,。江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室王林老師在總結(jié)江蘇小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)流派的思想內(nèi)核時也指出：兒童是數(shù)學(xué)教育的出發(fā)點(diǎn)與歸宿。從兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展出發(fā),，我們的數(shù)學(xué)教育首先應(yīng)該是為了兒童,、基于兒童并最終指向兒童的。 由此出發(fā),，很多數(shù)學(xué)教育工作者對著自己發(fā)問：我們的學(xué)生到底需要怎樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),？他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程到底應(yīng)該是怎樣的？通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),，能夠給他們在哪些方面得到別樣的發(fā)展,？回答或許會是模糊的，因為對于兒童我們還了解得不夠,，但是指向肯定是清晰的,，因為我們對于數(shù)學(xué)教育的思考和實踐已經(jīng)逐步回歸到對于兒童立場的關(guān)注之上。 為兒童的終生發(fā)展奠基,，基于這樣的目標(biāo),，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實施路徑也許會有很多條，每一條也許都會有其側(cè)重和關(guān)注的地方,。而數(shù)學(xué)建模教學(xué)也許就是其中寬敞的一條,。對于數(shù)學(xué)建模，很多老師聽說過,，但是對于其對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和兒童發(fā)展的意義還不是很清楚,，也有很多老師會自然地提出疑問：小學(xué)數(shù)學(xué)能夠?qū)嵤?shù)學(xué)建模教學(xué)嗎？如果能,，實施的方式和中學(xué)乃至大學(xué)的差別究竟在哪里,？當(dāng)我們理解了數(shù)學(xué)建模的內(nèi)在意義和具體過程以及對兒童發(fā)展的價值之后，就會對這樣的疑問報以肯定的回答,。這一點(diǎn)從我們在2010年4月進(jìn)行過“數(shù)學(xué)建模與兒童發(fā)展”專題研討活動之后,，老師們積極的態(tài)度中可以看出。而在研討活動之后,，我們約請了相關(guān)的專家,、名師和青年教師撰文形成了本期專題，對于小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的可行性進(jìn)行了初步的分析,，對小學(xué)階段實施建模教學(xué)進(jìn)行了較為明晰的定位,，也提出了相應(yīng)的實踐形式和方法。對于這樣的話題,，呈現(xiàn)的僅僅是個開始,，更多地還需要老師們的積極研究和實踐探索,。 小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的探索 王尚志1 胡鳳娟1 張丹2
由于像姜伯駒、李大潛院士等一批數(shù)學(xué)家自始至終的支持,，還有像肖樹鐵,、嚴(yán)士健、葉其孝,、姜啟源,、劉來福、楊守廉,、李尚志,、樂經(jīng)良等一大批數(shù)學(xué)家直接參與了“數(shù)學(xué)建模”實踐和推廣，“數(shù)學(xué)建模”的教學(xué)和實踐活動在中國開展得非常順利,，經(jīng)歷近30年的探索,，在研究生、大學(xué),、中學(xué)（特別是高中）階段,，“數(shù)學(xué)建模”在課程、教學(xué),、學(xué)習(xí)和實踐活動等方面已經(jīng)積累了一些很好的教材,、經(jīng)驗和資源。非?？上驳氖?，現(xiàn)在有一批初中數(shù)學(xué)教師正在致力于探索如何將“數(shù)學(xué)建模”滲透到教學(xué)活動中，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,。2009年，在國家骨干教師培訓(xùn)過程中,，莊惠芬老師告訴我們,，她和她的團(tuán)隊正在致力于小學(xué)數(shù)學(xué)建模的研究，我們很高興,，這是件非常好的事情,，也是很值得探索的方向。 在小學(xué),，開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動是一個新的事物,，為了使大家更好地這方面的探索，首先,，本文提供數(shù)學(xué)建模的一些背景材料,；其次，初步認(rèn)識“什么是數(shù)學(xué)建模”,；最后,，在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動探索過程中，需要探索和研究的一些問題,。 一,、 數(shù)學(xué)建模提出的背景 首先，我們要了解3個主要背景：綜合實踐活動,、科學(xué)教育的“做中學(xué)”和數(shù)學(xué)建模的發(fā)展歷程,。這樣有助于認(rèn)清研究在小學(xué)階段開展數(shù)學(xué)建模的價值和意義，同時有助于認(rèn)清在小學(xué)階段開展數(shù)學(xué)建?；顒訛槲覀儙淼膯栴}和挑戰(zhàn),。 1． 綜合實踐活動。 綜合實踐活動是現(xiàn)代教育中的個性內(nèi)容,、體驗內(nèi)容和反思內(nèi)容,，與傳統(tǒng)教育片面追求教育個體的發(fā)展、共性和知識有所不同,，綜合實踐活動提供了一個相對獨(dú)立的學(xué)習(xí)生態(tài)化空間,，學(xué)生是這個空間的主導(dǎo)者，學(xué)生具有整個活動絕對的支配權(quán)和主導(dǎo)權(quán),，能夠以自我和團(tuán)隊為中心,，推動活動的進(jìn)行。在這個過程中,，學(xué)生更謀求獨(dú)立完成整個活動,，而不是聆聽教誨和聽取指導(dǎo)。教師在綜合實踐活動這個生態(tài)化空間里,，只是一個絕對的引導(dǎo)者,、指導(dǎo)者和旁觀者。 《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》在規(guī)定新課程的結(jié)構(gòu)時, 進(jìn)行了如下闡述：從小學(xué)至高中設(shè)置綜合實踐活動并作為必修課程,，其內(nèi)容主要包括：信息技術(shù)教育,、研究性學(xué)習(xí)、社區(qū)服務(wù)與社會實踐以及勞動與技術(shù)教育,。強(qiáng)調(diào)學(xué)生通過實踐,，增強(qiáng)探究和創(chuàng)新意識，學(xué)習(xí)科學(xué)研究的方法,，發(fā)展綜合運(yùn)用知識的能力,。增進(jìn)學(xué)校與社會的密切聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的社會責(zé)任感,。在課程的實施過程中,，加強(qiáng)信息技術(shù)教育，培養(yǎng)學(xué)生利用信息技術(shù)的意識和能力,。了解必要的通用技術(shù)和職業(yè)分工, 形成初步技術(shù)能力,。 2． 科學(xué)教育的“做中學(xué)”,。 世紀(jì)之交，國際上一些有遠(yuǎn)見的科學(xué)家本著對未來的責(zé)任感,，根據(jù)他們自身的科學(xué)實踐經(jīng)驗,，和教育界一起共同倡導(dǎo)了一項名為“Hands-on Inquiry Based Learning”的科學(xué)改革計劃，旨在提高幼兒園和小學(xué)的科學(xué)教育水平,，培育科學(xué)的思維方式和生活方式,。 2001年，教育部和科學(xué)技術(shù)協(xié)會共同倡導(dǎo)和推動了這項有重大意義的科學(xué)教育改革在中國開展,，取名“做中學(xué)” “Learning by Doing”,，即在幼兒園和小學(xué)中進(jìn)行的基于動手做的探究式學(xué)習(xí)和教育（Hands On Inquiry Based Learning and Teaching ），此舉對促進(jìn)我國幼兒園,、小學(xué)科學(xué)教育發(fā)展,，實現(xiàn)素質(zhì)教育的目標(biāo)有著重要的推動作用。 “做中學(xué)”科學(xué)教育中讓兒童親自參與對物體和自然現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)（自然科學(xué)）,，讓他們通過觀察與實驗接觸現(xiàn)實,，以獲得重要的科學(xué)概念和科學(xué)概念之間的聯(lián)系：學(xué)會探究的技能;促進(jìn)語言和表達(dá)能力的發(fā)展;保護(hù)孩子的好奇心和激發(fā)學(xué)習(xí)科學(xué)的主動性；激發(fā)想象力,，擴(kuò)展思維,；改善合作和交往能力。 3． 數(shù)學(xué)建模的發(fā)展歷程,。 數(shù)學(xué)建模課程在大學(xué)開設(shè)的歷史并不長,，20世紀(jì)70年代末80年代初，英國劍橋大學(xué)專門為研究 生開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程,，并創(chuàng)設(shè)了牛津大學(xué)與工業(yè) 界研究合作的活動,。與此同時，歐洲,、美國等一些西方發(fā)達(dá)國家也開始把數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容正式列入研究生的課程中,。近三十年來，數(shù)學(xué)建模教學(xué)在一些西方國家,，諸如美國,、英國、荷蘭,、丹麥,、澳大利亞等國的數(shù)學(xué)教育界迅速普及，并在國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）中占有重要地位,。1988年召開的第六界國際數(shù)學(xué)教育大會就把“問題解決,、建模和應(yīng)用”列入大會七個主要研究的課題之一。認(rèn)為“問題解決、建模和應(yīng)用必須成為從中學(xué)到高中到大學(xué)——所有學(xué)生的數(shù)學(xué)課程的一部分,。” 20世紀(jì)80年代初,，清華大學(xué)首先在應(yīng)用數(shù)學(xué)系開設(shè)了數(shù)學(xué)模型課程，以后數(shù)學(xué)建模課程逐漸在普通院校理工科專業(yè)中得到普及,。經(jīng)過20多年的發(fā)展現(xiàn)在,，絕大多數(shù)本科院校和許多專科學(xué)校都開設(shè)了各種形式的數(shù)學(xué)建模課程和講座,，為培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法分析、解決實際問題的能力開辟了一條有效的途徑,。數(shù)學(xué)建模在大部分高校已經(jīng)成為數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課,，其他工科、金融,、社會學(xué)科的選修課程,。 我國中學(xué)的數(shù)學(xué)建模一開始是以數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽的形式出現(xiàn)，而后在教育較為發(fā)達(dá)地區(qū)的中學(xué)展開教學(xué)實踐,，積累一定的實踐經(jīng)驗后寫入《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》,，成為中學(xué)數(shù)學(xué)課程的一部分。 實際上,，無論是綜合實踐活動還是科學(xué)教育的“做中學(xué)”以及數(shù)學(xué)建模,，在不同地區(qū)、不同學(xué)段,、不同層面上展開了實驗,，取得了很好的經(jīng)驗，當(dāng)然也還存在不少問題,。但是,，這些同時也說明，我們可以在小學(xué)數(shù)學(xué)中探索數(shù)學(xué)建模,。 二,、 什么是數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)建模是建立數(shù)學(xué)模型并用它解決問題這一過程的簡稱?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》中認(rèn)為,，數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實際問題的過程,，已經(jīng)成為不同層次數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容和基本內(nèi)容.葉其孝在《數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動與大學(xué)數(shù)學(xué)教育改革》一書中認(rèn)為,，數(shù)學(xué)建模就是應(yīng)用建立數(shù)學(xué)模型來解決各種實際問題的方法，也就是通過對實際問題的抽象,、簡化,，確定變量和參數(shù)，并應(yīng)用某些“規(guī)律”建立起變量、參數(shù)間的確定的數(shù)學(xué)問題(也可稱為一個數(shù)學(xué)模型),，求解該數(shù)學(xué)問題,，解釋、驗證所得到的解,，從而確定能否用于解決實際問題的多次循環(huán),、不斷深化的過程。 根據(jù)徐利治先生在《數(shù)學(xué)方法論選講》一書中所談到,，所謂“數(shù)學(xué)模型”（Mathematic Model）是一個含義很廣的概念,，粗略地講，數(shù)學(xué)模型是指參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系,，采用形式化數(shù)學(xué)語言,，概括地或近似地表達(dá)出來的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。廣義地說,，一切數(shù)學(xué)概念,、數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)公式,、數(shù)學(xué)方程以及由之構(gòu)成的算法系統(tǒng)都可以稱為數(shù)學(xué)模型,；狹義地解釋，只有那些反應(yīng)特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才叫數(shù)學(xué)模型,。 這里,，沒有對和錯之分，對于數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識都是描述性的,，理解它的本質(zhì)是關(guān)鍵,。建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間,，有助于學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值和作用,，體驗數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗綜合運(yùn)用知識和方法解決實際問題的過程,，增強(qiáng)應(yīng)用意識,；有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力,。 三,、 小學(xué)“數(shù)學(xué)建模”面臨的挑戰(zhàn) 在小學(xué)階段，如何開展“數(shù)學(xué)建模”活動,？我們面臨很多挑戰(zhàn),。根據(jù)我們在開展數(shù)學(xué)建模活動的一些經(jīng)驗和體會,，提供幾個需要關(guān)注,、研究和探索的“問題”。 在開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動中，確定問題是關(guān)鍵,，問題的“來源”可以是多方面的,，可以有老師或教材（其他的讀物）給出的問題；也可以在確定的情境中,，老師引導(dǎo)學(xué)生提出,；也可以鼓勵學(xué)生或?qū)W生小組在他們熟悉生活情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識,，發(fā)現(xiàn),、提出問題是創(chuàng)新（創(chuàng)造）的基礎(chǔ)，這是數(shù)學(xué)建模需要特別關(guān)注的,。好的數(shù)學(xué)建模問題離不開實際情境,，離不開與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，有的問題與數(shù)學(xué)的聯(lián)系直接一些,，需要用到的數(shù)學(xué)多一些，當(dāng)然,，無論是情境也好,，與數(shù)學(xué)的聯(lián)系也好，不能脫離學(xué)生的實際和學(xué)生的認(rèn)知,。 在小學(xué)開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動需要關(guān)注另一個問題,，是模式行動研究。一種模式,，如何把數(shù)學(xué)建模思想融入日常教學(xué)的某些內(nèi)容,；一種模式，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想,，把課內(nèi)外結(jié)合起來,；還可以探索把數(shù)學(xué)建模與綜合實踐活動結(jié)合起來的模式，可以設(shè)計為幾天完成的“小課題”,。一個比較完整數(shù)學(xué)建模內(nèi)容,，應(yīng)該有情境，有問題,，有設(shè)計,、建模（數(shù)學(xué)化）的過程，有結(jié)果,，有交流展示,，有反思。在教學(xué)實際中,，也可以僅僅體現(xiàn)其中的一部分,。我們期待小學(xué)老師創(chuàng)造出不同的適合小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式。 在小學(xué)，還會遇到很多挑戰(zhàn)性的問題,，例如,，數(shù)學(xué)建模課與其他形式課的比較；數(shù)學(xué)建模課教學(xué)的基本要求,；教師的專業(yè)發(fā)展,；也包括評價問題，對數(shù)學(xué)建模課的評價,，對學(xué)生學(xué)習(xí)的評價,，對數(shù)學(xué)建模評價是否可以進(jìn)入紙筆評價，等等,。這些問題和挑戰(zhàn),，需要廣大的數(shù)學(xué)教育工作者和小學(xué)數(shù)學(xué)教師共同來思和考研究。我們在本文后面提供一些參考文獻(xiàn),，供大家參考,。 （作者單位：1. 首都師范大學(xué) 2. 北京教育學(xué)院） 【參考文獻(xiàn)】 [1]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制工作組.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[M].人民教育出版社.2004 [2]嚴(yán)士健,張奠宙,王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].江蘇教育出版社.2004 [3]余文森. 為學(xué)生發(fā)揮自主性開辟空間[J]. 小學(xué)與教育研究. [4]韋鈺.“做中學(xué)”科學(xué)教育項目簡介[J]. http://blog.ci123.com/weiyu/archive/2005-002?p=2 [5] 范良火.數(shù)學(xué)算術(shù)[M].北京：人民教育出版社. I 994.1 8 [6] 王尚志．“探索一條數(shù)學(xué)教育致革之路”[J].中學(xué)生數(shù)學(xué).1998.07 [7] 王尚志．研究性學(xué)習(xí)課挑戰(zhàn)教師[J].北京教育.2002.03 [8] 霍益萍,張人紅. 研究性學(xué)習(xí)的特點(diǎn)[J]. 課程· 教材· 教法.2000.11
合理把握小學(xué)數(shù)學(xué)建模的定位 莊惠芬
在我國,，數(shù)學(xué)建模及教學(xué)研究在大學(xué)開展得較多,，在中學(xué)中開展數(shù)學(xué)建模還處于探索階段。在小學(xué)階段來研究數(shù)學(xué)建模是否可行,？小學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模教學(xué)與中學(xué),、大學(xué)的數(shù)學(xué)建模有什么不同？基于建模思想的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與日常的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)又有何不同,？ 我想數(shù)學(xué)建模的本質(zhì),，在于它更突出地表現(xiàn)了原始問題的分析、假設(shè),、抽象的數(shù)學(xué)加工過程,；數(shù)學(xué)工具、方法和模型的選擇,、分析過程,；模型的求解、驗證,、再分析,、修改假設(shè)、再求解的迭代過程,，它更完整地表現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的關(guān)系,。這樣的一個過程給學(xué)生再現(xiàn)了一種“微型的科研過程”，不僅促進(jìn)了孩子數(shù)學(xué)眼光,、數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升,，關(guān)鍵還促進(jìn)了一種數(shù)學(xué)品質(zhì)的提升,。所以無論站在大學(xué)的視野、還是中學(xué)的視野,、小學(xué)的視野,，這樣的價值這對學(xué)生當(dāng)下以及今后的學(xué)習(xí)和工作無疑會有著很好的影響。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中研究數(shù)學(xué)建模還是很有價值的,，關(guān)鍵是如何把握內(nèi)涵,、如何展開過程、如何確立定位,？我想不妨從數(shù)學(xué)建模的對象,、目標(biāo)、途徑等幾個方面做一個闡述,。 一,、對象的兒童性 小學(xué)數(shù)學(xué)建模的主體是學(xué)生，其特點(diǎn)是運(yùn)用的知識為兒童數(shù)學(xué),，因此在小學(xué)中開展數(shù)學(xué)建模,，提供問題要注意掌握復(fù)雜性的適度,，從兒童的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā),。以“跳一跳,，夠得著”為原則,，抵達(dá)兒童的“最優(yōu)發(fā)展區(qū)”，既有難度和深度,，又有溫度和適度，需要學(xué)生深入思考，認(rèn)真探索,，又要使學(xué)生經(jīng)過探索，運(yùn)用所學(xué)知識可以解決的,。 1.基于兒童的生活經(jīng)驗,。數(shù)學(xué)建模要為學(xué)生提供一個完整、真實的問題背景,，要將現(xiàn)實生活中發(fā)生的與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的素材及時引入課堂,，教材中的內(nèi)容可結(jié)合社會生活實際、熱點(diǎn)問題,、自然社會,、科技等與數(shù)學(xué)問題有關(guān)的各種因素，要將教材上的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為兒童日常生活數(shù)學(xué)問題的火熱思考,，以此為支撐物啟動教學(xué),，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的需要；從身邊具體的情境中提出問題,，讓學(xué)生認(rèn)識到問題的價值性,。抓住問題的錨樁,，激發(fā)學(xué)生的探索興趣，激活兒童頭腦中已有的生活經(jīng)驗,，使學(xué)生用積累的經(jīng)驗來感受其中隱含的數(shù)學(xué)問題,，從而促使學(xué)生將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題，感知數(shù)學(xué)模型的存在,。 2.基于兒童的認(rèn)知水平,。小學(xué)數(shù)學(xué)建模，要因材施教,，循序漸進(jìn),。一要適合學(xué)生的年齡特征，要有挑戰(zhàn)性,，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,；二要適合兒童的認(rèn)知水平，問題的難易要有適切性,；三要適合兒童發(fā)展的差異性,，尊重兒童的個性，促進(jìn)每一個學(xué)生的原有的基礎(chǔ)上得到發(fā)展,；結(jié)合學(xué)生的實際水平,、分層次逐步推進(jìn)。注意把握數(shù)學(xué)建模中兒童的認(rèn)知起點(diǎn),、情感起點(diǎn)和思維起點(diǎn),，有利于兒童的主動參與，調(diào)動學(xué)生主動思考的積極性,，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)取精神和創(chuàng)造意識,。 3.基于兒童的思維方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動中,，教師應(yīng)采取有效措施,，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模思想的滲透，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)意識以及分析和解決實際問題的能力,。如大家熟悉的蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)“平均數(shù)的認(rèn)識”這一抽象的知識隱藏在具體的問題情境中，學(xué)生在兩次評判中解讀,、整理數(shù)據(jù),，產(chǎn)生思維沖突，從而推進(jìn)數(shù)學(xué)思考的有序進(jìn)行,。學(xué)生從具體的問題情境中抽出平均數(shù)這一數(shù)的學(xué)問題的過程就是一次建模的過程,。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)滲透適合兒童水平的數(shù)學(xué)建模過程與方法,，并通過系統(tǒng)體驗和學(xué)習(xí),，形成一個良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu),。 二、目標(biāo)的指向性 與中學(xué),、高中相比,，在小學(xué)階段，我們的“數(shù)學(xué)建模”教學(xué)不是要培養(yǎng)拔尖的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)工作者,，培養(yǎng)的數(shù)學(xué)建模競賽的尖子生,、不是為了僅僅與初高中銜接進(jìn)行純粹的數(shù)學(xué)建模方法的訓(xùn)練。而更重要的是目標(biāo)指向兒童數(shù)學(xué)能力,、數(shù)學(xué)思維等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升,。讓兒童在生活中能自覺、主動,、迫切地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想,，提出問題、分析問題,、解決問題,，讓我們把“數(shù)學(xué)建模”的教學(xué)作為突破口，讓兒童培育建模意識,，體驗建模過程,、形成建模思想。 1.培育建模意識,。在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過引入貼近現(xiàn)實生活,、生產(chǎn)和其他學(xué)科為實際背景的探索性例題，使學(xué)生明確了數(shù)學(xué)是怎樣應(yīng)用于解決這些實際問題上去的,，并能利用有關(guān)方法進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,，從而解決這些實際問題的，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值和數(shù)學(xué)的社會功能,。主要是提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的興趣，體會到數(shù)學(xué)的價值,，享受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣,，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)建模的信心。要站在提高學(xué)生素質(zhì)的高度,，把滲透數(shù)學(xué)建模的意識作為首要任務(wù),，并注重培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換能力。 2.體驗建模過程,。數(shù)學(xué)建模就是要把現(xiàn)實生活中具體實體內(nèi)所包含的數(shù)學(xué)知識,、數(shù)學(xué)規(guī)律抽象出來，構(gòu)成數(shù)學(xué)模型,，根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行推理求解,，得出數(shù)學(xué)上的結(jié)論,，返回解釋驗證，以求得實際問題的合理解決,。我認(rèn)為小學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模主要讓學(xué)生重在體驗建模的過程,，通過一定的實際情境，讓學(xué)生在形成一些簡單數(shù)學(xué)模型的過程中,，感受數(shù)學(xué)的形成,，并能以此模型進(jìn)行一些簡單的解讀與應(yīng)用。個人覺得這個探究的過程的是最重要的,。將培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識貫徹在“從實際問題出發(fā),，進(jìn)行觀察、比較,、分析,、綜合、抽象,、概括和必要的邏輯推理,，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問題,，從而解決實際問題”的全過程之中,。 3.形成建模思想。讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識,，觀察,、分析、測量,、討論,、建模、解決實際問題,，使學(xué)生能夠透過紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象抽象,、概括其本質(zhì)，嘗試將具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,，建立了一個問題解決的數(shù)學(xué)模型,，通過對實際問題的信息進(jìn)行分析處理，提出必要的假設(shè),，并進(jìn)行數(shù)學(xué)的抽象與概括,，從而建立起某種特定的數(shù)量關(guān)系，利用相關(guān)的知識使問題得到解決,，形成數(shù)學(xué)建模思想,。通過數(shù)學(xué)建模能使學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣,，使學(xué)生真正了解數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程,，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力,。 數(shù)學(xué)模型的建立不是最終目的,，而讓學(xué)生形成一種模型意識，建立思維方法,，反過來再去解決問題,，讓學(xué)生理解并形成數(shù)學(xué)的思維、促進(jìn)數(shù)學(xué)的理解,、促進(jìn)自我的數(shù)學(xué)建構(gòu),，這種數(shù)學(xué)化的思想才是根本的目的。 三,、途徑的滲透性 數(shù)學(xué)建模是把現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學(xué)問題,，使復(fù)雜問題簡潔化的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)建模的教學(xué),，在日常的教學(xué)中,，我們要有意識地創(chuàng)設(shè)問題情景，滲透建模思想,，還要在實踐,、探索、運(yùn)用中形成建模能力,，使學(xué)生所學(xué)知識更系統(tǒng),、更完整，從而應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實際中的復(fù)雜問題,。我們還可以通過小課題學(xué)習(xí)和活動,，讓學(xué)生加深理解建模的過程和重要性，使他們學(xué)會學(xué)習(xí),，創(chuàng)造性學(xué)習(xí),。 1.教材中選取。首先可從建模的角度解讀教材,。不同版本的數(shù)學(xué)教材中的大部分內(nèi)容已經(jīng)按照建模的思路編排,，“生活情境——抽象模型 ——模型驗證——模型解釋與應(yīng)用。”教師要多從建模的角度解讀教材,，充分挖掘教材中蘊(yùn)含的建模思想，精心設(shè)計和選擇列入教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實問題情境,，將實際問題數(shù)學(xué)化,，建立模型，從而解決問題,。其次,，要梳理出適合用建模思想來展開教學(xué)的內(nèi)容,。用建模的思想解讀教材，并不意味著所有的內(nèi)容都適合數(shù)學(xué)建模,，小學(xué)數(shù)學(xué)建模的研究中,，要系統(tǒng)梳理教材中哪些內(nèi)容適合數(shù)學(xué)建模？可以怎樣數(shù)學(xué)建模,？運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想如何展開教學(xué),？ 2．課題中延伸。我覺得基于建模的課堂教學(xué)更應(yīng)體現(xiàn)出探究性,，發(fā)展性,，與情境性，重在學(xué)生建模能力的發(fā)展,，思想的熏陶,，思維的激發(fā)。學(xué)科綜合實踐活動課程設(shè)置是課改的一個亮點(diǎn),，借以打通學(xué)科界限,，促進(jìn)相互的整合及融通。如六數(shù)教材安排的探索與實踐主要有： 動手操作——畫指定面積和高的三角形,、選擇小棒做長方體或正方體框架（選料單填寫）,、長方形紙不同方法卷圓柱體（計算、比較,、發(fā)現(xiàn)和思考）,； 調(diào)查分析——調(diào)查一些家電包裝箱尺寸并計算表面積和體積、尋找生活中百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用,、測圓柱形飲料罐容積并與標(biāo)示比較,； 拓展應(yīng)用——了解計算器的使用、根據(jù)公式計算家庭恩格爾系數(shù),、根據(jù)公式計算家庭成員的標(biāo)準(zhǔn)體重,； 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)——找規(guī)律等。畫三角形,，兩條平行線之間距離為高,，可以畫出無數(shù)個形狀各異符合要求的三角形，讓學(xué)生在畫后比較中發(fā)現(xiàn)其開放的價值,，使所學(xué)知識能夠靈活應(yīng)用,。長方形紙卷成圓柱體，就是玩,，但要在玩中明白兩種卷法的同與不同,，并遷移到生活中，同樣的材料圍糧囤如何圍容積大？ 結(jié)合教材中的某些內(nèi)容,，和相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行整合,，提出建模的問題，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)知識,，訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力,。也可以配合教材，制作教,、學(xué)具或進(jìn)行實際操作測量活動,。如六年級學(xué)生利用比例的知識，組織學(xué)生在活動課上測量學(xué)校旗桿的高度,、了解古埃及金字塔的測量,；利用求長方體的知識，組織學(xué)生在設(shè)計制作洗衣機(jī)保護(hù)套等等,。 3.實踐中拓展,。不同版本的教材中除了增設(shè)了“實踐與綜合運(yùn)用”的內(nèi)容，還增設(shè)了“你知道嗎,？”可以利用實踐活動課,，進(jìn)行建模指導(dǎo)。 結(jié)合教材內(nèi)容,，整合各知識點(diǎn),，使之融進(jìn)生活背景，產(chǎn)生好的“建模問題”作為實踐活動課的內(nèi)容,。如教材中安排了“奇妙的圖形密鋪”這一內(nèi)容,，可以拓展為家庭房間裝修提供出合理美觀的密鋪方案。這樣的建模拓展激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,，體現(xiàn)認(rèn)識規(guī)律,；展示探究過程（理性地再現(xiàn)知識生成過程，通過循序漸進(jìn)的思維階梯使知識,、情感,、意志相互結(jié)合，幫助學(xué)生形成自學(xué)能力）,；實施活動方法（使經(jīng)驗,、思維、方法融為一體,，讓學(xué)生獲取終身受益的精神文化力量和實踐能力）,；內(nèi)化教學(xué)功能，要學(xué)會把復(fù)雜問題納入已有模式之中,，使原有模型成為構(gòu)建和解決新問題的工具,。 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)建模的教學(xué),，在日常的教學(xué)中，我們要有意識地創(chuàng)設(shè)問題情景,，滲透建模思想，還要在實踐,、探索,、運(yùn)用中形成建模能力，使學(xué)生所學(xué)知識更系統(tǒng),、更完整,，從而應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實際中的復(fù)雜問題。我們還可以通過小課題學(xué)習(xí)和活動,，讓學(xué)生加深理解建模的過程和重要性,，使他們學(xué)會學(xué)習(xí)，創(chuàng)造性學(xué)習(xí),。 （作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘橋中心小學(xué)）
磨·模·魔 ——小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的程序思考 許衛(wèi)兵
數(shù)學(xué)在本質(zhì)上就是在不斷的抽象,、概括、模式化的過程中發(fā)展和豐富起來的,。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入到“模型”,、“建模”的意義上，才是一種真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),。這種“深入”,，就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，更多地是指用數(shù)學(xué)建模的思想和精神來指導(dǎo)著數(shù)學(xué)教學(xué),，不斷讓學(xué)生經(jīng)歷從具體事例或現(xiàn)實原型出發(fā)逐步抽象,、概括建立起某種模型并進(jìn)行解釋和運(yùn)用，從而加深對數(shù)學(xué)的理解和感受,，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力,。 用數(shù)學(xué)建模的思想來指導(dǎo)著數(shù)學(xué)教學(xué)，不同的年級,、內(nèi)容,、學(xué)習(xí)對象應(yīng)該體現(xiàn)出一定的差異，但也存在著很大的關(guān)聯(lián)性,。就教學(xué)實施的一般程序來看,，可以歸結(jié)到三個字：“磨”、“模”,、“魔”,。 一、“磨” 所謂“磨”,，即“琢磨”,。也就是教師首先要反復(fù)琢磨每一具體的教學(xué)內(nèi)容中隱藏著怎樣的“模”？需要幫助學(xué)生建立怎樣的“模”？如何來建“模”,？在多大的程度上來建“模”,？所建的“模”和建模的過程對于兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有怎樣的影響？……在基于建模思想的數(shù)學(xué)教學(xué)中,，這些問題都是一些本原性的問題,。一個老師如果從來不曾在這些方面作過思考的話，可以肯定,，他的數(shù)學(xué)課堂上數(shù)學(xué)知識概念,、命題、問題和方法等很難見到“數(shù)學(xué)模型”的影子,，他的學(xué)生也可能從未感受過“數(shù)學(xué)模型”的力量,。 眾所周知，“雞兔同籠”問題的數(shù)學(xué)模型是二元一次整數(shù)方程,，然而,，在小學(xué)里學(xué)生并不學(xué)習(xí)二元一次整數(shù)方程?？墒?，“雞兔同籠”卻被廣泛地運(yùn)用到小學(xué)教材中：北師大版五年級上冊“嘗試與猜測”中用它來讓學(xué)生學(xué)會表格列舉；蘇教版六年級上冊將之作為一道練習(xí)題來鞏固“假設(shè)和替換”的策略,；而人教版則是濃墨重彩,，在六年級上冊“數(shù)學(xué)廣角”中詳細(xì)介紹了“雞兔同籠”問題的出處、多種解法及實際應(yīng)用,。教學(xué)這些內(nèi)容時,，如果僅是就題講題，就課本講課本,，難免顯得過于簡單和淺薄,。那么，對小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言,，“雞兔同籠”是否還隱藏著其他的“模型”因素呢,？我想至少有三方面是值得關(guān)注的：一是內(nèi)容層面的，即“雞兔同籠”這類題本身的題型結(jié)構(gòu)特征（告知兩個未知量的和以及兩個未知量之間一定的量值關(guān)系,，求未知量）,；二是方法層面的，即“假設(shè)法”的一般解題思路（畫圖,、列舉,、替換等在某種意義上都是“假設(shè)”）；三是思想層面的,，即從一個具體的“雞兔同籠”數(shù)學(xué)問題出發(fā),，在經(jīng)歷了對其解答的過程之后,，能將解決它的方法和思路進(jìn)行擴(kuò)展運(yùn)用（學(xué)習(xí)“雞兔同籠”，最終的目標(biāo)并不僅僅是會解答一道“雞兔同籠”,，更有其他）,。有了這樣的理解，在教學(xué)中,，我們就會引導(dǎo)學(xué)生在關(guān)注教材中所編排內(nèi)容的同時,，注意把握題目的類型、結(jié)構(gòu)和類比運(yùn)用,，用系統(tǒng)的眼光來看待它的教學(xué)價值。這些,，恰恰是學(xué)生到了中學(xué)后真正建立二元一次整數(shù)方程數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ),。 眼界決定境界。一個老師是否具有“模型”眼光和“模型”意識,，往往會決定著他的教學(xué)深刻性和數(shù)學(xué)課堂的品質(zhì),。 二、“模” 所謂“模”,，即“建模”,。也就是在教學(xué)中要幫助學(xué)生不斷經(jīng)歷將現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和運(yùn)用。對小學(xué)數(shù)學(xué)而言,，“建模”的過程,，實際上就是“數(shù)學(xué)化”的過程，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程,。 【教學(xué)片段】減法 出示情境圖,。 師：請同學(xué)們認(rèn)真觀察這兩幅圖，說一說從圖上你看到了什么,？ 生：有5個小朋友在澆花,，走了2個，剩下3個,。 師：你真棒!誰再來說一說,。 生：原來有5個小朋友在澆花，走了2個小朋友,，還剩下3個小朋友,。 師：很好！你知道怎樣列式嗎,？ 生：5-2=3,。 教師聽了滿意地點(diǎn)點(diǎn)頭，板書5-2=3,。 接著教學(xué)減號及其讀法,。 【教學(xué)片段2】 出示情境圖,。（同上） 師：誰來說一說第一幅圖，你看到了什么,？ 生：從圖中我看到了有5個小朋友在澆花,。 師：第二幅圖呢？ 生：第二幅圖中有2個小朋友去提水了,，剩下3個小朋友,。 師：你能把兩幅圖的意思連起來說嗎？ 生：有5個小朋友在澆花,，走了2個,，還剩下3個。 師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì),，也說得很好,。你們能根據(jù)這兩幅圖的意思提一個數(shù)學(xué)問題嗎？ 生：有5個小朋友在澆花,，走了2個,，還剩幾個？ 生（齊）：3個,。 師：對,，大家能不能用圓片代替小朋友，將這一過程擺一擺呢,？ （教師在行間指導(dǎo)學(xué)生擺圓片,，并請一生將圓片擺在情境圖的下面。） 師：（結(jié)合情境圖和圓片說明）5個小朋友在澆花,，走了2個,，還剩3個；從5個圓片中拿走2個,，還剩3個,，都可以用同一個算式（學(xué)生齊接話：5-2=3）來表示。（在圓片下板書：5-2=3） 生齊讀：5減2等于3,。 師：誰來說一說這里的5表示什么,？2、3又表示什么呢,？ …… 師：同學(xué)們說得真好,！在生活中存在著許許多多這樣的數(shù)學(xué)問題，5-2=3還可以表示什么呢,？請同桌互相說一說,。 生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶,，還剩3瓶,。 生2：樹上有5只小鳥,，飛走2只，還剩3只,。 …… 上述教學(xué)片段,，擺脫了“就事論事”式的簡單教學(xué)，除了教學(xué)充分展開外,，更主要的是滲透了初步的數(shù)學(xué)建模思想,，訓(xùn)練的是學(xué)生抽象、概括,、舉一反三的學(xué)習(xí)能力,。且這種訓(xùn)練并不是簡單、生硬地進(jìn)行,，而是和低年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)相貼切——由具體,、形象的實例開始，借助于操作予以內(nèi)化和強(qiáng)化,，最后通過思維發(fā)散和聯(lián)想加以擴(kuò)展和推廣，賦予“5-2=3”以更多的“模型”意義,。 運(yùn)用建模思想來指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),，在很大程度上是要在學(xué)生的認(rèn)知過程中建立起一種統(tǒng)攝性、符號化的具有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征的“模型”載體,，通過這樣的具有“模型”功能的載體,，幫助學(xué)生實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供強(qiáng)有力的基礎(chǔ)支持,。當(dāng)然,，對學(xué)生“模型”意識的培養(yǎng)和“建模”方法的指導(dǎo)，要根據(jù)具體內(nèi)容和具體年級而有層次不同的要求,，低年級要恰到好處地結(jié)合日常實例和常規(guī)教學(xué)對學(xué)生進(jìn)行“模型”及“模型意識”的滲透,、點(diǎn)化，高年級則可以更明確地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“模型”的存在,，培養(yǎng)初步的建模能力,。 三、“魔” 所謂“魔”,，即“著魔”,，也就是學(xué)生對“模型”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用有著深切的體驗和感悟，并對之產(chǎn)生好奇,，從而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能主動地構(gòu)想模型,、建立模型、運(yùn)用模型,。兒童數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo),，應(yīng)該是讓學(xué)生都懂?dāng)?shù)學(xué),、愛數(shù)學(xué)，對數(shù)學(xué)懷有敬畏之心和熱愛之情,。要實現(xiàn)這樣的目標(biāo),，數(shù)學(xué)教學(xué)就不能只停留在知識和方法層面，而是要深入到數(shù)學(xué)的“腹地”,，用數(shù)學(xué)自身的魅力來吸引學(xué)生,。正如日本數(shù)學(xué)家米山國藏所說：“作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神,、數(shù)學(xué)的思想,、研究的方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時隨地地發(fā)生作用,，使人終身受益”,。 要讓學(xué)生能充分感受到數(shù)學(xué)模型和建模教學(xué)所產(chǎn)生的“魔力”，實際教學(xué)中,，一方面要結(jié)合日常教學(xué)給學(xué)生以充分的體驗和感受,。比如，在二年級教學(xué)“確定位置”時,，設(shè)定觀察的規(guī)則（觀察順序）非常重要——“從左向右數(shù)是第幾排”,、“從前往后數(shù)是第幾列”、“從下往上數(shù)是第幾層”……如果我們結(jié)合這樣的觀察順序在直觀圖上分別添加“橫向帶箭頭的直線→”（坐標(biāo)系中的“橫軸”原型）和“縱向帶箭頭的直線↑”（坐標(biāo)系中的“縱軸”原型）,，既將觀察順序形象表達(dá),，又蘊(yùn)含了二維坐標(biāo)（第一象限）的基本原理。如果學(xué)生在獨(dú)立練習(xí)中也能模仿著使用,，那感受會更加深刻,。而在六年級學(xué)習(xí)“確定位置”（用方向、角度,、距離來確定平面圖中任意一個位置）時,，如果讓學(xué)生試著總是以觀測點(diǎn)為中心先畫出一個“十字”坐標(biāo)圖然后再確定位置，那學(xué)生的觀察不僅變得有序,，而且準(zhǔn)確性很高,。在此基礎(chǔ)上，老師再對學(xué)生進(jìn)行“建模”,、“用模”的學(xué)習(xí)水平進(jìn)行適當(dāng)評價和鼓勵,，教學(xué)的境界就會大大提升。另一方面,，也可以在中高年級進(jìn)行一些專題性的訓(xùn)練,。 這樣的訓(xùn)練所產(chǎn)生的體驗，將會使學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)建模的“魔力”，并將深刻而持久地影響著他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活,。 這是數(shù)學(xué)教學(xué)的崇高境界,。 （作者單位：江蘇省海安縣實驗小學(xué)）
數(shù)學(xué)建模：是一種方法，更是一種意識 ——基于建模思想的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)舉隅 儲冬生
數(shù)學(xué)模型一般地說,，是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系,，采用形式化的數(shù)學(xué)符號和語言，概括地或近似地表述出來的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（張奠宙語）,，一般可分為三類：概念型數(shù)學(xué)模型,、方法型數(shù)學(xué)模型、結(jié)構(gòu)型數(shù)學(xué)模型（顧泠沅語）,。談起數(shù)學(xué)建模,，有不少一線老師都覺得很不自信，這好像只是高校專家們的語匯,，距離我們的教學(xué)實踐似乎挺遙遠(yuǎn)的,，小學(xué)老師似乎還沒有提建模的“功力”。我倒覺得數(shù)學(xué)建模其實離我們的實踐并不遙遠(yuǎn),，因為數(shù)學(xué)本就是模式的科學(xué),。《譯林》雜志曾刊載過這樣一則笑話： 父：如果你有一個桔子,，我再給你兩個,，那你數(shù)數(shù)看一共有幾個桔子？ 子：我不知道,，因為在學(xué)校里,，我們是用蘋果數(shù)的,。 這只是一則笑話而已,，在我們的現(xiàn)實生活中應(yīng)該不會存在，老師在教學(xué)生時,，一定是這樣教的：1個桔子+2個桔子=3個桔子,，1個蘋果+2個蘋果=3個蘋果，1個人+2個人=3個人,，1顆樹+2顆樹=3顆樹,，…，直至抽象出1+2=3,。數(shù)學(xué)抽象本就是一種概括,，一種建模的過程，即是集中地表明了一類事物或現(xiàn)象在數(shù)量等方面的共同特性,。據(jù)此,，1+2=3，也是一個模式的,、模型的存在,。從這個意義上看,，我們的每堂數(shù)學(xué)課可能都是在建立數(shù)學(xué)模型。概念教學(xué),、計算教學(xué),、解決問題構(gòu)成了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主體部分，下面我結(jié)合自身的實踐就以上三個方面各截取一個片段,，談?wù)勎覍诮Ｋ枷氲臄?shù)學(xué)教學(xué)的理解與探索,。 概念型數(shù)學(xué)模型：建模與生活原型 “認(rèn)識方程”教學(xué)片段： 師：老師帶來一個謎語，請同學(xué)們猜猜看,。 課件呈現(xiàn)：一個瘦高個,，肩上挑副擔(dān)，如果擔(dān)不平,，頭偏心不甘,。 生：天平。 課件呈現(xiàn)： 天平由平衡（空天平）——不平衡（一端有物品）——平衡（兩端都有物品）,。 生：指針指在刻度的中間,，天平是平衡的。 師：天平平衡又說明什么,？ 生：說明天平兩邊的物品質(zhì)量相等,。 師：相等用什么數(shù)學(xué)符號表示？ 生：用等于號,。 師：小明在天平的兩邊放上砝碼,，你能用式子表示左右兩邊的質(zhì)量關(guān)系嗎？（天平的左邊放兩個50克的砝碼,，右邊放一個100克的砝碼,。） （50＋50＝100，50×2＝100） 師：像這樣左右兩邊相等的式子,，我們把它叫做等式,。 師：如果從天平的左邊拿走一個砝碼，這時候還能用等式表示兩邊的質(zhì)量關(guān)系嗎,？ 生：天平不平衡,，不能用等式表示，可以表示為50＜100,，或者100＞50,。 師：為了讓天平達(dá)到平衡，小宇準(zhǔn)備在天平的左邊放這樣一個物體,，這個物體的質(zhì)量不知道怎么辦呢,？ （出示一個物體） 生：咱們就用x來表示。 師：以前學(xué)的用字母表示數(shù)，這里就能應(yīng)用了,！這里的x代表的數(shù)咱們事先不知道,，這樣的數(shù)我們就把它叫做未知數(shù)。 師：如果把這個物體放下來,，猜一猜,，天平兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系又會是怎樣的呢？把你的猜測用式子表示出來,。 （X +50＜100,，X +50＞100，X +50＝100） 師：請看大屏幕,，現(xiàn)在你也能用式子表示天平兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系嗎,？ （左邊放兩個一樣的砝碼，右邊放一個200克的砝碼天平平衡,。） 生：2X＝200,。 （學(xué)生交流的過程中,，老師在黑板上呈現(xiàn)相應(yīng)的算式： 50＋50=100,、50×2=100、50﹤100,、100﹥50 X+50＞100,、X+50＜100,、X+50＝100、2X＝200 ） 師：你能將這些式子分分類嗎,？ （學(xué)生活動,，匯報交流。） 師：實際上就是這樣的四類：①沒有未知數(shù)也不是等式,；②有未知數(shù)但不是等式,；③沒有未知數(shù)但是等式；④含有未知數(shù)而且是等式,。像50＜100,、100＞50 和50+50=100,、50×2=100這兩類式子大家都比較熟悉,，而X +50>100、X+50﹤100這類式子比較復(fù)雜,，我們到中學(xué)會更深入地了解它,。像X+50=100、2X=200這樣含有未知數(shù)的等式就是我們今天要重點(diǎn)研究的方程,。 隨感： 在這個片段的教學(xué)中我借助天平幫助學(xué)生體悟等式和方程的含義,，為抽象的方程找到了直觀的生活原型：天平。天平兩邊平衡，表示兩邊的物體質(zhì)量相等,；兩邊不平衡,，表示兩邊物體的質(zhì)量不相等，讓學(xué)生在天平平衡的已有經(jīng)驗中體悟等式的含義,，既突出了教學(xué)的重點(diǎn),，又克服了學(xué)生已有的“算術(shù)思想”對方程概念的建立所帶來的干擾。引導(dǎo)學(xué)生將舊知進(jìn)行遷移和提升,，很自然地解決了“代數(shù)思想”的第一個關(guān)鍵問題——用字母代替不知道的量（未知數(shù)）,，幫助學(xué)生積累了鮮活的方程的表象。方程其實就是一種模型,，是一種概念型數(shù)學(xué)模型,，很多這樣的模型都是基于現(xiàn)實的生活情境作出適度抽象后的產(chǎn)物，在小學(xué)許多數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容本身就是一種模型：分?jǐn)?shù)是平均分派物品的數(shù)學(xué)模型,；小數(shù)的生活原型就可以看作是元,、角、分,；自然數(shù)是表述有限集合“數(shù)數(shù)”過程的數(shù)學(xué)模型,；400人的工廠里一定有兩個人同一天過生日，其數(shù)學(xué)模型就叫抽屜原理,。 方法型數(shù)學(xué)模型：建模與符號化思想 “簡單的分?jǐn)?shù)加減法”教學(xué)片段： 師：咱們今天要研究的都是同分母的分?jǐn)?shù)加減法,。你們會計算這樣的同分母分?jǐn)?shù)加法嗎？接下來咱們再來一組搶答題：看誰算得又對又快,！ 課件逐個呈現(xiàn)：
1/△+3/△ ○/5+□/5 ○/△+□/△ （直至 師：數(shù)據(jù)這么大,，也能算得又對又快，你們一定有自己的“絕招”,。 生：分母不動,，分子相加作分子就行了！ 師：繼續(xù)搶答：1/△+3/△ 生：4/△,。 師：你們還會嗎,？ 生：○/5+□/5=（○+□）/5 生：○/△+□/△=（○+□）/△ 師：其實這不就是用符號把大家剛才發(fā)明的“絕招”給表示出來了嗎？ ○/△+□/△=（○+□）/△ 師：看著大家發(fā)明的這個絕招,，老師真的很佩服大家,。可是我還有個疑問：為什么“分母就不要變,，分子卻必須相加”呢,？有同學(xué)已經(jīng)明白了,，更多的同學(xué)還在思考。咱們帶著這個問題再看一組練習(xí),，邊練邊想,。第一題： 生： 師：能說說你是怎么想的嗎,？ 學(xué)生闡述，課件同時呈現(xiàn)：2個 師：第二題： 生： 課件同時呈現(xiàn)：2個（ ）加上3個（ ）等于5個（ ）,，學(xué)生填空,。 師：幾個 師：第三題： 課件呈現(xiàn)：2個（ 生：是2個加上3個所以等于5個,，分子必須得加起來,。 師：這些分?jǐn)?shù)加法其實都是在計算2個幾分之一加上3個幾分之一等于5個幾分之一。學(xué)習(xí)就得學(xué)會聯(lián)系,，如果我們聯(lián)系過去學(xué)過的整數(shù)加法來想20+30=50,，不也是在計算2個加3個嗎？ 課件呈現(xiàn)：2個（10）加上3個（10）等于5個（10）,，學(xué)生填空,。 師：2+3=5，不就是2個1加上3個1等于5個1嗎,？ 課件呈現(xiàn)：2個（1）加上3個（1）等于5個（1）,，學(xué)生填空。 師：由此可見咱們的分?jǐn)?shù)加法和整數(shù)加法,，其實都是在計算幾個加上幾個等于幾個,，只是咱們過去學(xué)的加法是幾個一加幾個一，幾個十加幾個十,，而今天學(xué)的是幾個幾分之一加幾個幾分之一罷了,。 隨感： 歸納同分母分?jǐn)?shù)加法的共同特點(diǎn)，誘導(dǎo)學(xué)生用數(shù)據(jù)較大的同分母分?jǐn)?shù)加法題進(jìn)行快速搶答,，其間由分母而至分?jǐn)?shù)漸次抽象,，用符號表達(dá)數(shù)量關(guān)系,，演繹同分母分?jǐn)?shù)加法的算法模型,，促使學(xué)生生成和體悟“分母不變,，分子相加”的算法“絕招”。這里的計算法則其實就可以看作是一種算法模型,，借助符號化的方法將模型進(jìn)行抽象的建構(gòu),。悟出算法后，教學(xué)并不能滿足于“知其然”,，繼續(xù)帶領(lǐng)學(xué)生由算法而探究算理,，追究其中的“所以然”。把分?jǐn)?shù)單位與整數(shù)中的“一”,、“十”的計數(shù)單位建立起有機(jī)的聯(lián)系,，讓學(xué)生悟出同分母加法的法則，實質(zhì)上就像“幾個十”加“幾個十”,，“幾個一”加“幾個一”一樣,，也是“幾個幾分之一”加“幾個幾分之一”，從而一步步地躍升思考的跨度,。算法作為一種方法型數(shù)學(xué)模型不能僅僅滿足于形式化地將它揭示出來,，更要知曉其背后的原理，這也許就是大家常說的算法與算理的統(tǒng)一吧,。 結(jié)構(gòu)型數(shù)學(xué)模型：建模與變式理論 “雞兔同籠問題”教學(xué)片段： 師：日本人對雞兔同籠問題也有研究,，日本人又稱它叫“龜鶴問題”。日本人說的“龜鶴”和我們說的“雞兔”有聯(lián)系嗎,？ 生：是一樣的意思：龜就相當(dāng)于兔,，都是四只腳；鶴就相當(dāng)于雞,，都是兩只腳,。 師：假如我們不叫它雞兔同籠，也不叫龜鶴問題,，是不是還可以給它取個其他的名字呢,？ （鴨貓問題、豬鵝問題……） 師：看來雞兔同籠問題中的雞不僅僅代表雞,，兔也不僅僅是指兔,！這兒還有一首民謠，我們一起來讀一讀： （課件出示： 一隊獵人一隊狗,，兩隊并成一隊走,。數(shù)頭一共是十二，數(shù)腳一共四十二,。 ） 師：讀了這則民謠,，你有沒有什么話想說? 生：我覺得這還是雞兔同籠問題。這里的獵人有兩只腳其實就是雞,，而狗就是兔,。 （課件出示：獵人——雞 兩條腿 狗——兔 四條腿 ） 師：你能算出獵人和狗各有多少嗎,？用你喜歡的方法自己去試一試。 （學(xué)生練習(xí),，老師巡視指導(dǎo)） 師：看來雞兔同籠不僅僅可以解決“雞兔”同籠的問題,，換成烏龜和仙鶴，換成人和狗,，仍然是雞兔同籠問題,，“雞”“兔”同籠其實只是這類問題的一個模型！ 師：以前我們就接觸過雞兔同籠問題,，今天又進(jìn)一步研究了這類問題,，可現(xiàn)在老師突然想到一個問題：生活中誰會將雞和兔放在一個籠子里？即使放在一個籠子里又有誰會去數(shù)他們的腳呢?直接數(shù)頭不就行了,？生活中有類似雞兔同籠的問題嗎,？ （學(xué)生感覺有些困惑。） 師：接下來咱們再做一個“猜一猜”的游戲,，大家可以邊猜邊想,。老師這兒有一個信封，這信封里放了7張紙幣,，有5元的和2元的,，共29元，你們能猜出信封里放了幾張2元紙幣,，幾張5元紙幣嗎,？ 生：假設(shè)全是2元的就是14元，而現(xiàn)在有29元,，還多15元,，我們就把2元的換成5元的，每換一張就多3元,，這樣就要換5張5元的,，還剩2張2元的。 師：是這個意思嗎,？ （課件動態(tài)演示：換紙幣的過程） 師：這個游戲和我們研究的雞兔同籠問題有聯(lián)系嗎,？ 生：其實這也是雞兔同籠問題，這里的2元紙幣就相當(dāng)于雞有兩只腳,，而5元紙幣就相當(dāng)于兔,，也就是五只腳的“怪兔”！ 師：（故作神秘狀）是這個意思,？ （課件動態(tài)演示：將二元紙幣換成雞,，將五元紙幣換成五只腳的“怪兔”） （大家一看“怪兔”的模樣，都樂了） 師：看來我們的雞兔同籠問題不僅包括4只腳的兔子,，還可以是5只腳的怪兔,，又進(jìn)一步逼近了問題的本質(zhì),！ 隨感： 通過“雞兔”、“龜鶴”,、“人狗”等不同變式的呈現(xiàn),，使學(xué)生初步感知雞兔同籠問題只是一個 “模型”,，雖然問題的情境在變化,，但問題的本質(zhì)----數(shù)量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系是不變的。學(xué)生在解決這些問題的過程中逐漸形成雞兔同籠問題的“數(shù)學(xué)形式”及其解題策略體系,，初步建構(gòu)關(guān)于雞兔同籠問題的數(shù)學(xué)模型,。“猜一猜”的游戲以及課件中“怪兔”夸張變形的演示，用“數(shù)形結(jié)合”的策略把雞兔同籠問題作進(jìn)一步的概括,、抽象,、提煉。指導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程是循序漸進(jìn)的：由“雞兔”到“龜鶴”再到“人狗”,，這一演變的過程只是換了個“包裝”,，是對問題原型表象的概括；由“四腳兔”變?yōu)?#8220;五腳兔”,，則是對問題本質(zhì)的類推與抽象,。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)系、對比,、分析,，學(xué)生的思維在不斷的內(nèi)省、自悟中得到提升,，自主建構(gòu)雞兔同籠問題的模型也便水到渠成了,。雞兔同籠可以看作是這一類問題的結(jié)構(gòu)型模型，模型只有與變式相伴才顯活力和魅力,，也才能彰顯其意義,。 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程,，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時,，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展,。在小學(xué)階段滲透數(shù)學(xué)建模思想已顯得越來越重要,。數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實世界的某一特定研究對象，在作了必要的簡化和假設(shè)之后,，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,，并通過數(shù)學(xué)語言提煉、表達(dá)出來的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),，如數(shù)學(xué)公式,、數(shù)學(xué)概念,、解題方法及某類知識的特征等。有了建模意識可以讓我們對數(shù)學(xué)問題的把握更貼近本原,，目光更長遠(yuǎn),，人們在批評數(shù)學(xué)教育時總喜歡用上這個工程問題的例子： 有一水池，打開進(jìn)水管注滿全池要3小時,，打開出水管放完整池水要2小時,，現(xiàn)在兩管齊開，要多長時間才能把一池水放完,？ 有人質(zhì)疑：日常生活中,，有誰會同時打開進(jìn)水管和出水管呢？于是,，它便成了被批判的對象,。其實用一種模型的觀念來審視：草場上草的生長和割去、家庭的收入和支出,、人體的新陳代謝等等不就和水池的進(jìn)水出水是同一個模型嗎,？如果你把它題當(dāng)作一個反映動態(tài)平衡問題的模型，也許它就具有價值了,。之所以有人自以為高明的批評它,，那時因為他們還缺乏一種建模的眼界，情境,、素材只是表面的,，模型才是最為根本的。數(shù)學(xué)建模,，是一種方法,，是一種思想，更是一種觀念,，一種意識,。 （作者單位：江蘇省海安縣實驗小學(xué)）
從意義建模到能力生成 ——以“平均數(shù)”教學(xué)為例
于榮華
數(shù)學(xué)模型正是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的橋梁。引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程,，就是數(shù)學(xué)化的過程,，也是思維訓(xùn)練的過程，這將有助于提高他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué),、“創(chuàng)造”數(shù)學(xué),、運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。作為小學(xué)來講,，數(shù)學(xué)建模是遙不可及,，還是揠苗助長；是無意插花，還是有意栽樹,；我們需要從數(shù)學(xué)學(xué)科的價值和本質(zhì)入手,，進(jìn)行深度的思考和剖析。 在數(shù)學(xué)教學(xué)中,，我們應(yīng)該讓建模成為構(gòu)通數(shù)學(xué)與生活應(yīng)用之間的橋梁,。學(xué)生通過熟悉的現(xiàn)實生活，自己逐步抽象出數(shù)學(xué)模型,，從中學(xué)生能體會到從實際情景中發(fā)展數(shù)學(xué)是獲得再創(chuàng)造數(shù)學(xué)的絕好機(jī)會,，在建立模型形成新的數(shù)學(xué)知識的過程中，學(xué)生能更好體會到數(shù)學(xué)與大自然和社會的天然聯(lián)系,。只有這樣,，數(shù)學(xué)教學(xué)中的“建模”才有了相應(yīng)的環(huán)境與氛圍,。 下面我們以“平均數(shù)”為例進(jìn)行建模教學(xué)的實踐： 1．原型喚醒,，提供貼近生活的背景。 要建模首先必須對實際原形有充分的了解,，明確原型的特征,，只有做到這一點(diǎn)，才能使建模者對實際問題進(jìn)行簡化,。由于小學(xué)生的生活經(jīng)歷有限,，對一些實際問題的了解比較含糊，這不利于學(xué)生對實際問題的簡化和抽象,，所以條件許可的話可以組織學(xué)生參與一些相關(guān)的社會調(diào)查和實踐活動,，讓學(xué)生親身體驗生活，親自經(jīng)歷事情的發(fā)生和發(fā)展過程,，讓學(xué)生主動獲取相關(guān)的信息和數(shù)學(xué)材料,，從而培養(yǎng)學(xué)生對事物的觀察和分辨能力，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識,。為此,，我們認(rèn)為教師在提供問題的背景時，首先必須考慮這些背景材料學(xué)生是否熟悉,，學(xué)生是否對這些背景材料感興趣,。我們可以創(chuàng)造性地使用教材，根據(jù)目前教材所提供的教學(xué)內(nèi)容,，結(jié)合學(xué)生的生活實際,，把學(xué)生所熟悉的或了解的一些生活實例作為應(yīng)用題教學(xué)的問題背景，這樣可以克服教材的不足,，使學(xué)生對問題背景有一個詳實的了解,，這不但有利于學(xué)生對實際問題的簡化，而且能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。 【片段一】 金壇市實驗小學(xué)建造新校園,，甲乙兩個學(xué)生小隊參加義務(wù)勞動,，并進(jìn)行1分鐘搬磚比賽：
2．哪隊搬磚快,？你評判的標(biāo)準(zhǔn)是什么？（甲隊一共15塊,，乙隊一共12塊,，甲隊搬磚的總數(shù)多，就說明甲隊勝利,，我們對甲隊表示祝賀,。）
4．（有些學(xué)生舉手表示反對）你們有什么想法,？假如你是甲隊的隊員，你有意見嗎,？為什么,？ 5．“哎呀，看來人數(shù)不相等,，用比總數(shù)的辦法決定勝負(fù)不公平,。” 6．在人數(shù)不相等的情況下，難道就沒有更好的辦法來比較搬磚的快慢,？
8．你認(rèn)為這兩種評判標(biāo)準(zhǔn)在適用范圍上有什么不同,？ 【解讀】本課所設(shè)計的“問題情景”是生活中比賽場景和平均數(shù)意義的自然融合，這個比賽場景隱含著平均數(shù)意義的本質(zhì),，具備情景的開放性和模糊性兩個特點(diǎn),，學(xué)生在自由地解讀中整理兩組數(shù)據(jù)，而情景的呈現(xiàn)和解讀并不是一步到位的,，情景分兩次呈現(xiàn),，從而激起學(xué)生思維沖突，思考更好的評判標(biāo)準(zhǔn),，從而有序地推進(jìn)數(shù)學(xué)問題的深入,。這樣，從一個生活比賽場景中抽取出平均數(shù)意義的過程，反映出從一個生活問題（哪隊搬得快）到數(shù)學(xué)問題（什么是平均數(shù)）的抽取過程,，是學(xué)生一次建模的過程,，也是學(xué)生對平均數(shù)意義初步感知的過程。 2．意義賦予,，實現(xiàn)問題簡化的過程,。 兒童有無限的創(chuàng)造力，雖然他們所掌握的數(shù)學(xué)知識是有限的,，但他們的想象力是無限的,，他們敢想敢做善于異想天開，這對簡化實際問題,，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是十分有利的,。因此，在數(shù)學(xué)建模過程中教師要善于調(diào)動學(xué)生主動建模的積極性,，千萬不能對學(xué)生的不合理的歸納或不恰當(dāng)?shù)某橄?，以及不合常情的假設(shè)加以批評和指責(zé)，恰恰相反要抓住他們閃光的地方加以表揚(yáng),、鼓勵,，并通過適度的引導(dǎo)和點(diǎn)撥使學(xué)生對實際問題的簡化更加恰當(dāng),。這需要教師進(jìn)行有機(jī)地進(jìn)行引導(dǎo),，沒有相應(yīng)地進(jìn)行指導(dǎo)與引導(dǎo)，那么情境活動則會變?yōu)橹щx破碎的學(xué)生經(jīng)驗,，反而在學(xué)生的學(xué)習(xí)中起到消極的作用,。因為并非學(xué)生所有的經(jīng)驗都有同等的教育價值，有些經(jīng)驗不在弄清它們之間相互聯(lián)系的基礎(chǔ)上組織起來,，它們在教學(xué)方面就要起消極作用,。 【片段二】 1．怎么求出兩隊的平均數(shù)？四人小組討論,，推選一位介紹學(xué)習(xí)成果,。 2．反饋：哪個小組來匯報一下？ ①估算：我們組估計一下,，如果要使他們同樣多,，甲隊大概在5塊左右，乙隊大概在4塊左右…… 平均數(shù)的范圍：最小數(shù)＜平均數(shù)＜最大數(shù) ②移多補(bǔ)少方法：對估算方法的驗證延伸出來,。電腦呈現(xiàn)：我們一起來估算一下,，（把一根水平線移到7的位置），平均數(shù)會是7嗎,？為什么,？…… ③計算。甲隊：（7+6+5）÷3=5（塊） 乙隊（2+7+3+4）÷4=4（塊） 1）你是怎么想的？5代表什么,？4代表什么,？ 2）和小李的5一樣嗎？和小風(fēng)的4塊一樣嗎,？（這種數(shù)字相同純屬巧合） 3）平均數(shù)跟以前學(xué)過的每份數(shù)一樣嗎,？（實質(zhì)不同：呈現(xiàn)每份數(shù)的條形圖和平均數(shù)的條形作對比。） 4）總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù) 【解讀】平均數(shù)的意義是代表一組數(shù)據(jù)整體的一般情況,，它并不代表具體的數(shù),。這種意義只能是讓學(xué)生在協(xié)作探索中意會而不能言傳，通過協(xié)作學(xué)習(xí)和教師有力度問題的追問,，有機(jī)地呈現(xiàn)出估算,、移多補(bǔ)少、計算等三種相互聯(lián)系的方法,，在對比中達(dá)到清晰概念,、深刻理解概念的目的，也為學(xué)生合理建模奠定堅實的基礎(chǔ),。 3．經(jīng)歷創(chuàng)造,，構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型。 學(xué)生掌握了某項數(shù)學(xué)知識后,，可以有意識地創(chuàng)設(shè)一些把所學(xué)知識運(yùn)用到生活實際的環(huán)境,，來幫助學(xué)生把數(shù)學(xué)模型建立地更好、更深,。通過這些把數(shù)學(xué)知識與生活實際相聯(lián)系的活動,，即能有效的鞏固所學(xué)知識，又培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力和實踐能力,，讓數(shù)學(xué)回到了現(xiàn)實生活中,，同時，學(xué)生建立的這些數(shù)學(xué)模型更加深入,、明確,。 【片段三】 1．小結(jié)：當(dāng)人數(shù)不相等時，比總數(shù)不公平,，是誰出現(xiàn)在我們的課堂里,？此時此刻，你不想對平均數(shù)發(fā)自內(nèi)心的說兩句嗎,？ 2．溝通平均數(shù)與生活的聯(lián)系：你在生活中見過哪些平均數(shù),？ 出示：實驗小學(xué)老校區(qū)人均占地面積是4平方米，新校區(qū)人均占地面積是15平方米,。 【解讀】將平均數(shù)概念和學(xué)生身邊符與具體含義的平均數(shù)相鏈接,，學(xué)生試圖用平構(gòu)數(shù)概念去解釋其具體的含義時,，這就是數(shù)學(xué)概念與生活表征兩者在學(xué)生心中融合的過程，是學(xué)生深刻地理解過程,，是物理模型到化學(xué)模型的轉(zhuǎn)變過程,。 4．協(xié)作會話，評價應(yīng)用數(shù)學(xué)模型,。 數(shù)學(xué)模型來自生活實際,，數(shù)學(xué)建模的目的是解決實際問題。因此,，每個數(shù)學(xué)模型都應(yīng)有其本身的應(yīng)用價值,，如果一個數(shù)學(xué)模型只能解決當(dāng)前的一個實際問題，那么這樣的數(shù)學(xué)模型就失去了應(yīng)用價值,，同時也就失了去數(shù)學(xué)建模的意義,。當(dāng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模完成后，要讓學(xué)生展示自己的建模思維過程,，充分暴露學(xué)生的思維過程,。同時也要鼓勵學(xué)生對別人的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行評價，在展示,、評價中比較每個數(shù)學(xué)模型的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn),。 【片段四】 小王前去應(yīng)聘，1個月后卻只得到500元……小王和老板打官司,，誰會贏,？ 【解讀】數(shù)模在生活中能得到靈活的應(yīng)用，才是達(dá)到深刻理解和把握數(shù)學(xué)模型的目的,，而此題招工廣告是為培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)模,、解決實際問題的一個好素材。 通過以上平均數(shù)的教學(xué)例子我們可以發(fā)現(xiàn),，通過數(shù)學(xué)建模能使學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣,，使學(xué)生真正了解數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力,。 （作者單位：江蘇省金壇市華城實驗小學(xué)） |
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