在 昨天的博文中談及了“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”,，明確指出：在實(shí)施應(yīng)用數(shù)學(xué)過程中,，數(shù)學(xué)建模起了核心作用。作為數(shù)理科學(xué)的科研工作者必須學(xué)會數(shù)學(xué)建模,，這是管用一輩 子的本領(lǐng),。建模方法千變?nèi)f化，我這里只能講一個(gè)梗概,，要學(xué)會建模本事,，需要再讀一些著述，更重要的是邊干邊學(xué),，在建模中學(xué)建模,。

本文概述數(shù)學(xué)建模的涵義、過程,、分類和一個(gè)著名例子,。

（1）數(shù)學(xué)建模的一般涵義

數(shù)學(xué)建模——根據(jù)需要針對實(shí)際問題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程,，亦即,，通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言對實(shí)際現(xiàn)象和實(shí)際問題進(jìn)行近似刻畫,，以便于更深刻地認(rèn)識所研究的對象,。

數(shù)學(xué)模型不是對現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的簡單的復(fù)制和模擬，而是經(jīng)過對現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象進(jìn)行分析、提煉,、歸納,、升華的結(jié)果，是以數(shù)學(xué)語言來正確地描繪現(xiàn)實(shí)對象的基本內(nèi)在特征,，從而通過數(shù)學(xué)上的演繹推理和分析,，運(yùn)用解析、實(shí)驗(yàn)（保持相似律成立）或數(shù)值求解,。

整 個(gè)建模過程要注意高瞻遠(yuǎn)矚,、抓大放小，把握問題的內(nèi)在本質(zhì),。當(dāng)研究問題有了正確的數(shù)學(xué)描述后,，尋找適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具分析求解。關(guān)于求解方法的改進(jìn)方面,，要盡 可能使所用的方法精確化,、細(xì)致化和全面化。必須結(jié)合實(shí)例,，就建模的正確性,、有效性、可用性和適用范圍進(jìn)行準(zhǔn)確的界定,；對所產(chǎn)生的誤差和不確定性進(jìn)行實(shí)事求 是的分析,；對所得的結(jié)果，必須從物理學(xué)視角和實(shí)際應(yīng)用角度進(jìn)行解讀,。

（2）數(shù)學(xué)建模的一般過程

首先,，基于一系列基本的簡化假設(shè)，把實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)描繪明確地表述出來,，也就是說,，通過對實(shí)際問題的分析、歸納,、簡化,，給出用以描述該問題的數(shù)學(xué)提法；然后采用數(shù)學(xué)的理論和方法進(jìn)行求解,，得出結(jié)論,；最后再返回去闡釋所研究的實(shí)際問題，總結(jié)一般規(guī)律,，即實(shí)現(xiàn)第一章中所述的“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”,，在數(shù)學(xué)理論和所要解決的實(shí)際問題之間構(gòu)建一座橋梁。

具體來說,，數(shù)學(xué)建模的步驟如下：

l        通過調(diào)研,，掌握實(shí)際問題的背景材料,。明確研究對象（如物理問題、工程問題）和研究目的,，了解相關(guān)的數(shù)據(jù)資料和基本事實(shí)（包括已有理論結(jié)果,、觀察結(jié)果、觀測數(shù)據(jù),、實(shí)驗(yàn)資料等）,，提出清晰的基本目標(biāo)，并在實(shí)際研究過程中隨時(shí)準(zhǔn)備不斷修正預(yù)期目標(biāo),；

l        辨識并列出與問題有關(guān)的各主要因素,。建立基本假設(shè)，簡化所研究的問題,。明確模型中必須考慮的主要因素,，預(yù)測、分析它們在問題中的作用,，以變量或參數(shù)的形式表示這些因素,。建模之初通常應(yīng)最大限度地簡化問題，建立最簡單的模型,，然后不斷調(diào)整假設(shè),，提出修正，使得模型盡可能接近實(shí)際,；

l        運(yùn)用物理和數(shù)學(xué)知識和技巧建立問題中變量之間的關(guān)系,。 通常可以用離散的或連續(xù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述,，例如,，比例關(guān)系（如：牛頓粘性定律）、線性關(guān)系（如：廣義牛頓粘性定律,、胡克定律等）,、非線性關(guān)系（如：非牛 頓流體的本構(gòu)關(guān)系、物理非線性材料的本構(gòu)方程）,、經(jīng)驗(yàn)關(guān)系（如：反映非光滑管的阻力系數(shù)的尼古拉捷規(guī)律,、水動力學(xué)摩阻的Manning公式等）、輸入輸出原理（如：元胞自動機(jī)模型的演進(jìn)規(guī)則）,、平衡原理（如：熱動平衡規(guī)律,、捕食者和獵物之間的關(guān)系等）、守恒原理（如：能量守恒,、質(zhì)量守恒,、動量守恒、KdV守 恒律等）,、牛頓運(yùn)動定律,、微分方程或差分方程、矩陣關(guān)系,、概率關(guān)系,、統(tǒng)計(jì)分布等等（變量之間的關(guān)系不一定非要用方程來描述，只要能解決問題,，可用各種方法 確定問題的物理量之間的關(guān)系,，例如離散映射關(guān)系），從而建立問題的數(shù)學(xué)模型,。常見的表述各物理量之間的關(guān)系的有：代數(shù)方程,，映射關(guān)系，差分方程,，常微分方 程,，偏微分方程，積分方程,，積分-微分方程等等,；

l        進(jìn)行參數(shù)辨識或參數(shù)標(biāo)定。使用觀測數(shù)據(jù)或問題的相關(guān)背景知識,，辨識出問題中的參數(shù)的估計(jì)值,；設(shè)計(jì)專門實(shí)驗(yàn)，標(biāo)定參數(shù),。參數(shù)識辨和標(biāo)定經(jīng)常采用實(shí)測方法和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法,。由于問題的參數(shù)識辨較為困難，所以成功的模型應(yīng)該是簡單的,，所涉及參數(shù)盡可能地少且容易識辨,；

l        運(yùn)用所得的模型，進(jìn)行分析求解,。采用各種有效的數(shù)學(xué)工具求解所得到的數(shù)學(xué)方程等,，然后，分析,、解釋模型的結(jié)果或把模型運(yùn)行的結(jié)果與實(shí)際觀測進(jìn)行比較,，開展進(jìn)一步的案例分析，驗(yàn)證模型的正確性,；

l        總結(jié)一般規(guī)律,。對驗(yàn)證成立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行總結(jié)歸納，盡可能上升到新的理論高度,。

圖3.1 數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用數(shù)學(xué)過程（見附件）

運(yùn)作要點(diǎn)：a. 掌握第一手資料,；

b. 抓住問題的主要因素,；

c. 建立真實(shí)合適的模型；

d. 比照實(shí)際,。

（3）數(shù)學(xué)模型的分類

按數(shù)學(xué)表述的形式分：連續(xù)模型；離散模型,；

按表述的確定性分：確定性模型；非確定性模型（隨機(jī)模型）；混合模型,；

按問題的求解步驟分：正問題模型；反問題模型,；

按數(shù)學(xué)物理工具分：基于量綱分析的輪廓模型,；

基于數(shù)據(jù)擬合的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停?/span>

基于守恒原理的方程模型；

基于平衡原理的機(jī)理模型,；

基于運(yùn)籌優(yōu)化的規(guī)劃模型,；

基于網(wǎng)絡(luò)分析的圖論模型；

基于復(fù)雜性研究的層次分析模型等等,。

（4）數(shù)學(xué)建模的經(jīng)典范例

哥尼斯堡七橋問題——圖論模型的典范

問題：哥尼斯堡城有一條河,，現(xiàn)在用七座橋來連接河的兩岸A、B和河中兩島C,、D（如圖3.2所示）,，試問：可否一次性不重復(fù)地走過這七座橋？

模型：1734年,，Euler解決了這個(gè)問題,。他把問題抽象簡化為圖論中的一筆劃問題：數(shù)學(xué)上可證明：一筆劃的基本要求是各點(diǎn)要有偶數(shù)條起迄路徑，但是本題四點(diǎn)起迄路徑均為奇數(shù)條,，從而不可實(shí)現(xiàn)一筆劃,。即不能一次性不重復(fù)走過這七座橋。

    以上對數(shù)學(xué)建模給出了一個(gè)概論,，日后將繼續(xù)予以深化敘述,。

寫于2010年10月3日