在△ABC中,，AB=AC,，∠BAC=90°，點D在射線AB上,，連接CD,，過點A作AE⊥CD，交CB于點F,，交CD于點E

(1)如圖1,，∠BCD=15°，AF=4,，求BD的長,；

(2)如圖2，點G在射線BA上,，滿足AG=BD,，連接FG,，探究線段FG、AF,、DC之間的數(shù)量關(guān)系并證明,；

(3)如圖3，在(1)的條件下,，點P為平面內(nèi)一動點,，滿足∠CPD=135°，當(dāng)AP最小時,，在射線BA,、射線BC上分別有點M、點N,，使得

BM=BN+CP,，當(dāng)MN+PN取最小值時，請直接寫出△MBN的面積.

解：(1)過點A作AH⊥BC交BC于點I,，交CD于點H,，連接BH

易知△ABH≌△ACH，得CH=BH,，∠ABH=∠ACH=60°,，得∠DBH=120°，而∠BDH=30°,，得∠BHD=30°,，故BD=BH；

同時△AFI≌△CHI,，AF=CH,，得BD=AF=4

(2)CD=GF+AF

過點A作AH⊥BC交BC于點I，交CD于點H,，

易知△ABH≌△ACH,，得∠ABH=∠ACH，BH=CH,，同時△AFI≌△CHI得AF=CH,，得AF=BH

∠DBH=180°-∠ABH=180°-∠ACH，而∠GAF=∠GAC+∠CAE=90°+90°-∠ACH=180°-∠ACH,，得∠DBH=∠GAF,；

而BD=AG，故△DBH≌△GAF,，得GF=DH,，而CD=DH+CH=GF+AF，即CD=GF+AF

(1)第一步：求AB的長,，設(shè)AB=m,則AC=m,，AB=AC得得m=6+2,，CD=12+4，AI=IC=3+,；ADOC(鄰邊相等對角互補模型)知AD+AC=AO₂,，得AO2=6+4，

第二步：點P在平面內(nèi)且∠CPD=135°,，故點P在圓弧上運動,，如圖所示，∠COD=90°,，O為圓心,，當(dāng)A、P,、O2共線時,，AP取最小值，此時OP=2+6,，得AP=2,，PI=3-，得PC=4

第三步：過點N作NQ⊥BC交AB于點Q,BQ=BN,而BM=BN+CP得BM=BQ+CP得QM=CP,，而CP=BD得BD=QM,，同時BN=QN，∠NQM=∠NBD得△BND≌△QNM,，DN=MN,，MN+PN=PN+DN，當(dāng)D,、N、P共線時,，取最小值,；

∠DCP=30°，即PC平分∠ACD,，而AP平分∠BAC,，得DP平分∠ADC，故∠BDN=15°,，故△BDN~△BCD,，得得BN=6-2，得BQ=12-4得BM=12,，NV=6-2,，故S_△MBN=36-12

點評：整體上題目有一定的難度，第二問輔助線及推導(dǎo),，對學(xué)生要求較高.而壓軸一問略顯繁瑣,，尤其是計算和畫圖,，沒有一定的功底實難拿分.要注意P點軌跡有兩段.

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