本題不難，但是非常典型,，綜合全等三角形,、相似、三角函數(shù),、等腰三角形的性質(zhì),，圓的性質(zhì)等知識點，考察的方法知識點非常的重要,，所用到的解題方法也是非常的典型,，特別適合作為例題進行訓(xùn)練．

【題目】

（2018·深圳）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O,，BC＝2，AB＝AC,，點D為(AC)?上的動點,，且cos∠ABC=√10/10．

（1）求AB的長度；

（2）在點D的運動過程中,，弦AD的延長線交BC延長線于點E,，問AD·AE的值是否變化？若不變,，請求出AD·AE的值,；若變化,，請說明理由；

（3）在點D的運動過程中,，過A點作AH⊥BD,，求證：BH＝CD+DH．

【答案】

解：（1）作AM⊥BC，

∵AB＝AC,，AM⊥BC,，BC＝2BM，

∴CM=1/2BC＝1,，

∵cosB=BM/AB=√10/10,，

在Rt△AMB中，BM＝1,，

∴AB=BM/cosB=√10,；

說明：本題的關(guān)鍵在于三線合一．

（2）連接DC，

∵AB＝AC,，

∴∠ACB＝∠ABC,，

∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，

∴∠ADC+∠ABC＝180°,，

∵∠ACE+∠ACB＝180°,，

∴∠ADC＝∠ACE，

∵∠CAE公共角,，

∴△EAC∽△CAD,，

∴AC/AD=AE/AC，

∴AD·AE＝AC2＝10,；

說明：亦可證明△EAB∽△BAD,，得AD·AE＝AB2＝10．

（3）

【方法一】截長補短

在BD上取一點N，使得BN＝CD,，

在△ABN和△ACD中

AB=AC,，∠3=∠1，BN=CD,，

∴△ABN≌△ACD（SAS）,，

∴AN＝AD，

∵AN＝AD,，AH⊥BD,，

∴NH＝HD，

∵BN＝CD,，NH＝HD,，

∴BN+NH＝CD+HD＝BH．

【方法二】如圖，

延長過點A作AF⊥CD，垂足為點F．

或說延長CD至點F使得,，DF=DH,，

當然也可以說使得CF=BH．

【方法三】如圖，

延長BD至點F使得HF=BH．

【方法四】過點B作BF⊥CD,，垂足為F．

【總結(jié)】

題2的結(jié)論是線段成績?yōu)槎ㄖ?，想到的就是三角形相似．由于A、D,、E三點是共線的,，所以我們只需再找一個點即可，點B和點C恰好都可以,，比較巧．

題3的結(jié)論是線段的和差關(guān)系,，因為優(yōu)先考慮的就是截長補短，做輔助線的方法多樣,，同一個圖形可能會有不同的說法,，所以這道題目非常的典型，難度不大,，但是比較巧．越巧越適合作為例題．

抽象出來的圖形其實是兩個共邊的等腰三角形ABC和ABD,，組成一個等腰梯形．