簡單來說，標準差是一組數(shù)值自平均值分散程度的一種測量觀念,。一個較大的標準差,，代表大部分的數(shù)值和其平均值之間差異較大，一個較小的標準差,，代表這些數(shù)值較接近平均值,。

例如：

兩組數(shù)的集合 {0， 5,， 9,， 14} 和 {5， 6,， 8,， 9} 其平均值都是7，但第二個集合具有較小的標準差

• 標準差公式：

• 公式描述：公式中數(shù)值為X1,X2,X3,……XN（皆為實數(shù)）,，其平均值（算數(shù)平均值）μ,，標準差為σ

標準差可以當作不確定性的一種測量。在物理科學中,，做重復性測量時,，測量數(shù)值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值,，測量值的標準差占有決定性重要角色,。如果測量平均值與預測值相差太遠(同時與標準差數(shù)值做比較)，則認為測量值與預測值互相矛盾,。這很容易理解,，因為如果測量值都落在一定數(shù)值范圍之外，可以合理推論預測值是否正確,。

標準差應用于投資上,，可作為量度回報穩(wěn)定性的指標。標準差數(shù)值越大,，代表回報遠離過去平均數(shù)值,，回報較不穩(wěn)定故風險越高,。相反，標準差數(shù)值越小,，代表回報較為穩(wěn)定,，風險亦較小。

例如：

A,，B兩組各有6位學生參加同一次語文測驗,，A組的分數(shù)為95，85,，75,，65，55,，45　　

B組的分數(shù)為73,，72，71,，69,，68，67

這兩組的平均數(shù)都是70,，但A組的標準差為17.078分,，B組的標準差為2.160分，說明A組學生之間的差距要比B組學生之間的差距大得多

兩人的5次測驗成績?nèi)缦拢?/span>

A：50,，100,，100，60,，50　　-->Average(A) = 72

B：73,，70，75,，72,，70　　    -->Average(B) = 72

平均成績相同，但A不穩(wěn)定,，對平均值偏大

方差描述隨機變量對于數(shù)學期望的偏離程度

• 方差公式：

• 公式描述：公式中x為平均數(shù),，n為這組數(shù)據(jù)個數(shù)，x1,x2,x3……xn為這組數(shù)據(jù)具體數(shù)值,。

可以看到方差是標準差的平方

除了期望,，方差(variance)是另一個常見的分布描述量。如果說期望表示的是分布的中心位置,，那么方差就是分布的離散程度,。方差越大，說明隨機變量取值越離散,。

比如射箭時,，一個優(yōu)秀的選手能保持自己的弓箭集中于目標點附近,，而一個經(jīng)驗不足的選手，他弓箭的落點會更容易散落許多地方,。

上面的靶上有兩套落點。盡管兩套落點的平均中心位置都在原點 (即期望相同）,，但兩套落點的離散程度明顯有區(qū)別,。藍色的點離散程度更小。

數(shù)學上,，我們用方差來代表一組數(shù)據(jù)或者某個概率分布的離散程度,。可見,，方差是獨立于期望的另一個對分布的度量,。兩個分布，完全可能有相同的期望,，而方差不同,，正如我們上面的箭靶。

對于一個隨機變量XX來說,，它的方差為：Var(X)=E[(X?μ)2]Var(X)=E[(X?μ)2]

其中,，μμ表示XX的期望值，即μ=E(X)μ=E(X)

我們可以代入期望的數(shù)學表達形式,。

比如連續(xù)隨機變量：Var(X)=E[(X?μ)2]=∫+∞?∞(x?μ)2f(x)dxVar(X)=E[(X?μ)2]=∫?∞+∞(x?μ)2f(x)dx

方差概念背后的邏輯很簡單：一個取值與期望值的“距離”用兩者差的平方表示,。該平方值表示取值與分布中心的偏差程度，平方的最小取值為0,，當取值與期望值相同時,，此時不離散，平方為0,，即“距離”最?。划旊S機變量偏離期望值時,，平方增大,。由于取值是隨機的，不同取值的概率不同,，我們根據(jù)概率對該平方進行加權平均,，也就獲得整體的離散程度——方差。

方差的平方根稱為標準差(standard deviation,， 簡寫std),。我們常用σσ表示標準差。σ=Var(X)??????√σ=Var(X)

標準差也表示分布的離散程度,。

 正態(tài)分布的方差 

根據(jù)上面的定義,，可以算出正態(tài)分布：

E(X)=1σ2π??√∫+∞?∞xe?(x?μ)2/2σ2dxE(X)=1σ2π∫?∞+∞xe?(x?μ)2/2σ2dx的

方差為：Var(X)=σ2Var(X)=σ2

正態(tài)分布的標準差正等于正態(tài)分布中的參數(shù)σσ,。這正是我們使用字母σσ來表示標準差的原因！

可以預期到,，正態(tài)分布的σσ越大,，分布離散越大，正如我們從下面的分布曲線中看到的：

當方差小時,，曲線下的面積更加集中于期望值0附近,。當方差大時，隨機變量更加離散,。此時分布曲線的“尾部”很厚,，即使在取值很偏離0時，比如x=4x=4時,，依然有很大的概率可以取到,。

 指數(shù)分布的方差 

指數(shù)分布的表達式為：f(x)={λe?λx0ififx≥0x<0f(x)={λe?λxifx≥00ifx<0

它的方差為：Var(X)=1λ2Var(X)=1λ2

如下圖所示：

 Chebyshev不等式 

我們一直在強調(diào),，標準差(和方差)表示分布的離散程度,。標準差越大，隨機變量取值偏離平均值的可能性越大,。如何定量的說明這一點呢,？我們可以計算一個隨機變量與期望偏離超過某個量的可能性,。比如偏離超過2個標準差的可能性。即P(|X?μ|>2σ)P(|X?μ|>2σ)

這個概率依賴于分布本身的類型,。比如正態(tài)分布N(0,，1)N(0，1),，這一概率即為x大于2,，或者x小于-2的部分對應的曲線下面積：

實際上，無論μμ和σσ如何取值,，對于正態(tài)分布來說，偏離期望超過兩個標準差的概率都相同,，約等于0.0455 (可以根據(jù)正態(tài)分布的表達式計算),。隨機變量的取值有約95.545%的可能性落在正負兩個標準差的區(qū)間內(nèi)，即從-2到2,。如果我們放大區(qū)間,，比如正負三個標準差，這一概率超過99%,。我們可以相當有把握的說,，隨機變量會落正負三個標準差之內(nèi)。上面的論述并不依賴于標準差的具體值,。這里可以看到標準差所衡量的“離散”的真正含義：如果取相同概率的極端值區(qū)間,，比如上面的0.0455，標準差越大,，該極端值區(qū)間距離中心值越遠,。

然而，上面的計算和表述依賴于分布的類型（正態(tài)分布）,。如何將相似的方差含義套用在其它隨機變量身上呢,？

Chebyshev不等式讓我們擺脫了對分布類型的依賴。它的敘述如下：

也就是說,，X的取值超過兩個正負標準差的可能性最多為25%。換句話說,，隨機變量至少有75%的概率落在正負兩個標準差的范圍內(nèi),。（顯然這是最“壞”的情況下,。正態(tài)分布顯然不是”最壞“的）

from scipy.stats import normimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt

# Note the difference in 'scale'， which is stdrv1 = norm(loc=0,， scale = 1)

x1 = np.linspace(-5,， -1， 100)x2 = np.linspace(1,， 5,， 100)x = np.linspace(-5， 5,， 200)plt.fill_between(x1,， rv1.pdf(x1)， y2=0.0,， color='coral')plt.fill_between(x2,， rv1.pdf(x2)， y2=0.0,， color='coral')plt.plot(x,， rv1.pdf(x)， color='black',， linewidth=2.0,， label='N(0，1)')

plt.legend()plt.grid(True)

plt.xlim([-5,， 5])plt.ylim([-0.0,， 0.5])

plt.title('normal distribution')plt.xlabel('RV')plt.ylabel('f(x)')

plt.show()

中位數(shù)：統(tǒng)計學名詞，是指將統(tǒng)計總體中的各個變量值按大小順序排列起來形成一個數(shù)列,，處于變量數(shù)列中間位置的變量值就稱為中位數(shù),。

MAD：就是先求出給定數(shù)據(jù)的中位數(shù)(注意并非均值)然后原數(shù)列的每個值與這個中位數(shù)求出絕對差，然后新數(shù)列的中位值就是MAD

例如：

數(shù)據(jù)A：8,，5,，9，6,，3,，2，4,，9　　2,，3，4,，5,，6，8，9

中位數(shù) = 5

A - 5 = 3,，0,，4，1,，2,，3，1,，4　　0,，1，1,，2,，3，3,，4

MAD = 2

我們引入了一個新的分布描述量：方差-->它用于表示分布的離散程度：

• 標準差為方差的平方根

• 方差越大,，“極端區(qū)間”偏離中心越遠