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為什么說空調(diào)制冷的技術(shù)相當(dāng)糟糕？熱變冷在物理上是貢獻(xiàn)釋放能量的過程,，但空調(diào)卻需要能量,！ 大喵看到一個視頻非常神奇,，解釋急速冷凍管只需空氣瞬間變冷,。 研究這些現(xiàn)象的物理學(xué)領(lǐng)域被稱為流體力學(xué)，其皇冠上的明珠無疑是納維-斯托克斯方程,。但是,，納維-斯托克斯方程背后的直覺究竟是什么，為什么它們?nèi)绱酥匾?/span>介紹
粗略地說,，納維-斯托克斯方程是一組方程,，可以描述你能想到的任何流體的流動。 但在我們開始解開這些方程式之前,，讓我們花點時間提醒自己一些定義和概念,，這些定義和概念將在以后對我們有所幫助。 納維-斯托克斯方程背后的直覺 對流體力學(xué)基石的直觀介紹,。從管道中的洋流和水流到飛機機翼周圍的空氣和我們靜脈內(nèi)的血液,，流體在我們的世界中發(fā)揮著原始的作用。流體是一種沒有固定形狀的物質(zhì)，很容易屈服于外部壓力;氣體或（特別是）液體,。當(dāng)這種壓力（或通常正式表示的應(yīng)力）施加到流體上時,，隨著某些粒子相對于其余顆粒的位置發(fā)生變化，它的形狀會不斷變化,。這種不可逆的變化被稱為流動,。在這種情況下，我們將流體的粘度定義為流體流動阻力的量度,。例如,，蜂蜜和番茄醬等流體的粘度高于水和油，水和油是非常稀的物質(zhì),，往往容易流動,。粘度是任何流體的關(guān)鍵屬性，幾乎總是出現(xiàn)在我們用來模擬它們的基礎(chǔ)物理場中,。從左到右的低粘度到高粘度,，我們主要關(guān)注兩種類型的流程,。層流是流體的“平滑”流動，一種流動,，其中移動的顆粒被限制在不同的層中,。這些層平滑地穿過相鄰的層，很少或沒有像撲克牌那樣混合,。湍流與此相反,。它是一種流動類型，其特征是渦流,、渦流以及流體壓力和速度的許多混亂變化,。兩個主要假設(shè)。我們要處理的流體為牛頓流體,這意味著其粘度不管施加給它們的剪切應(yīng)力-壓強多少,其粘度保持不變;以及不可壓縮性,即在流動過程中其密度保持不變,。這已足夠我們掌握?，F(xiàn)在我們可以深入研究Navier-Stokes方程的精妙之處!u:流體的速度矢量 p:流體壓力 ρ:流體密度 μ:流體的粘度 ?2:拉普拉斯算子 (作用在它操作的矢量場的三個空間第二階導(dǎo)數(shù)的和)如我們所見,這兩個方程都與u有關(guān),即流體的速度矢量。簡單地說,當(dāng)我們將空間的每一點分配給一個矢量時,一個矢量場就是一個含有量綱和方向的箭頭,。矢量場可以用來描述許多東西,但是在我們的例子中,每個矢量代表流體在該確切點的速度,。
Navier-Stokes方程描述流體運動的三個因素:慣性、粘滯和壓強,。當(dāng)流體速度改變時,流體本身會產(chǎn)生慣性,。粘滯則描述流體粘稠性造成的阻力。壓強則起推動和抑制流體流動的作用,。這三個要素的復(fù)雜交互構(gòu)成了流體運動的基礎(chǔ),。我希望這能簡單地解釋Navier-Stokes方程及其概念。我們將分別處理兩個納維-斯托克斯方程,，從較小的方程開始,。上面兩個方程中的第一個是質(zhì)量守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)式。眾所周知,，向量場在特定點的發(fā)散度是向量場在該點傾向于“擴散”或發(fā)散的程度的度量,。具有正背離的點可以被認(rèn)為是“源”，因為流體似乎是無中生有的,。另一方面,，具有負(fù)背離的點往往被認(rèn)為是“下沉”，流體似乎完全消失為虛無,。矢量場的源和匯 — 歸功于 3Blue1Brown
了解了所有這些之后,，納維-斯托克斯方程的第一個現(xiàn)在應(yīng)該相當(dāng)簡單。對于實際（不可壓縮）流體,，速度矢量場的發(fā)散度必須為零,。如果發(fā)散度不為零，則意味著在某些點上,，流體要么壓縮要么膨脹（創(chuàng)建其密度的非零時間導(dǎo)數(shù)）,，這在假設(shè)中是不可能的,。動量守恒
誠然,，第二個等式在第一次出現(xiàn)時看起來有點可怕。讓我們一步一步地分解它,。首先,，這個方程只不過是牛頓第二定律對流體的應(yīng)用。牛頓第二定律
左側(cè) — 質(zhì)量乘以加速度
納維-斯托克斯方程的左側(cè)可以重寫如下：現(xiàn)在,，與牛頓第二定律的比較變得更加明顯,。我們使用了流體的密度而不是質(zhì)量（當(dāng)體積恒定時，它們在數(shù)學(xué)上可以互換）,，并且我們將加速度寫為速度的導(dǎo)數(shù),。更具體地說,，這實際上稱為材料導(dǎo)數(shù),，可以使用鏈?zhǔn)揭?guī)則編寫如下：我們不會討論材料衍生品代表什么，但您可以在互聯(lián)網(wǎng)上輕松找到許多資源,。右側(cè) — 力的總和
第二個納維-斯托克斯方程的右側(cè)是作用在流體上的所有力的代數(shù)和,。我們不會在這里正式推導(dǎo)出方程，因為它無助于我們的理解,，盡管您可以在線找到推導(dǎo),。?p：我們考慮的第一個內(nèi)力是壓力,。這個術(shù)語是壓力梯度,，它基本上表示包含流體的空間中的壓力差。就像我們從吸管中吸出空氣以使果汁到達(dá)我們的嘴巴一樣,，液體傾向于從高壓區(qū)域移動到低壓區(qū)域,。這種趨勢被封裝在這個術(shù)語中，即壓力的梯度,。μ?2u：我們考慮的第二個內(nèi)力是摩擦力,，它與流體的粘度有關(guān)。與低粘度流體相比,，高粘度流體分子之間的摩擦更大,。這個術(shù)語使我們能夠以緊湊的數(shù)學(xué)方式表達(dá)這個概念。ρf：最后,，該術(shù)語考慮了可能作用在液體上的所有潛在外力,。大多數(shù)時候，重力是我們系統(tǒng)中唯一的外力,，因此我們將“f”替換為g,，得到乘積ρg,。在其他情況下，我們可以變得非?；ㄉ?，我們將“ρf”替換為洛倫茲力，將納維-斯托克斯方程與麥克斯韋方程組相結(jié)合,。這個數(shù)字通常與納維-斯托克斯方程并駕齊驅(qū),。雷諾數(shù)，稱為Re,，用于確定流體流動是層流還是湍流,。管道中的雷諾數(shù)
請注意，D 稱為特征長度,，它將取決于我們正在分析的流動類型,。在上圖中，我們假設(shè)流動發(fā)生在管道內(nèi),，因此 D 等于該管道的直徑,。直觀地說，雷諾數(shù)是慣性力與粘性力的比值,。如果慣性力(導(dǎo)致流體移動的力),，比粘性力(與流體流動相反的力)大得多，那么流動將是湍流的,。如果粘性力占主導(dǎo)地位,，則流動將是層流。但“更大”到底是什么意思,？好吧,，對于小于 2000 的管道中的雷諾數(shù)，流量通常是層流的,。對于大于4000的Re,，流動將是湍流，而對于2000到4000之間的Re,，將存在一種過渡流,，層流和湍流之間的混合體。在許多實際應(yīng)用中廣泛使用納維-斯托克斯方程,。然而,，為了使用這些方程，他們幾乎總是根據(jù)手頭的問題做出某些假設(shè)和簡化,。他們這樣做的原因是,，在沒有任何近似的情況下，這些方程很難以原始形式求解。事實上,，克萊數(shù)學(xué)研究所已經(jīng)向任何設(shè)法解決這個問題的人提供了一百萬美元的賞金,。簡單地說——你可以在這里看到問題的官方聲明——你必須回答以下問題才能獲得一百萬美元：對于三維流體，您能否確定空間中的每個點是否存在平滑解,？納維-斯托克斯方程很容易成為所有物理學(xué)中最重要和應(yīng)用最廣泛的方程之一,。他們幫助我們設(shè)計飛機和汽車，研究血液流動,，設(shè)計發(fā)電站,，分析污染等等。然而,，由于它們固有的數(shù)學(xué)復(fù)雜性,，它們只能通過近似來解決，而平滑解決方案的理論證明將獲得一百萬美元的獎勵,。“當(dāng)我遇到上帝時,，我要問他兩個問題：為什么是相對論？為什么是湍流,？我真的相信他會得到第一個答案,。——維爾納·海森堡臨終前 在我們的日常生活中,，流體力學(xué)有許多很酷的應(yīng)用,。冰箱和空調(diào)：冰箱和空調(diào)中使用的液體被稱為制冷劑。制冷劑從處于低溫的蒸發(fā)器中吸收熱量,，并將這些熱量散發(fā)到高溫的大氣中。液壓系統(tǒng)：液壓系統(tǒng)使用流體來傳輸動力,。它們被用于許多應(yīng)用中,，如汽車剎車、飛機起落架和重型機械,。血液流動：流體力學(xué)在理解人體的血液流動方面起著重要作用,。它幫助我們了解血液如何在動脈和靜脈中流動，以及它如何與這些血管的壁相互作用,。Summary1.飛機翼:螺旋槳和噴氣飛機的飛機翼是依賴于流體力學(xué)來實現(xiàn)高效飛行的,。它們的形狀被精心設(shè)計,以有效地切割和導(dǎo)引空氣流。2.潛水艇:潛水艇的流線型外殼也是根據(jù)流體力學(xué)來設(shè)計的,。它可以幫助潛水艇伴隨水流平穩(wěn)前進(jìn),。3.空調(diào):空調(diào)的熱交換器利用管道和通風(fēng)口來有效地切割和導(dǎo)引空氣流,實現(xiàn)高效的制冷和制熱。4.渦輪引擎:渦輪引擎依賴于高壓空氣流來驅(qū)動渦輪葉片,產(chǎn)生動力,。它展示了流體的驚人能量,。5.高空噴射:高空超音速噴氣飛機完全依賴于流體力學(xué)的復(fù)雜模型來實現(xiàn)。流體力學(xué)確保了在高速空氣流下飛機能夠穩(wěn)定飛行,。6.水力發(fā)電:水力發(fā)電利用水流的動能來產(chǎn)生電能,。發(fā)電廠的水壩和渦輪葉片都是根據(jù)流體力學(xué)來設(shè)計的,。7.風(fēng)力發(fā)電:風(fēng)力發(fā)電也是類似的道理。渦輪葉片高效地切割空氣流,產(chǎn)生動能,。8.液壓系統(tǒng):在許多汽車,、飛機和機器人中,液壓系統(tǒng)依賴于流體力學(xué)以實現(xiàn)大力臂杖子。9.洗滌系統(tǒng):洗衣機的水管系統(tǒng)利用流體力學(xué)進(jìn)行優(yōu)化,以最大限度地利用水資源,。 如果您曾經(jīng)認(rèn)為流入下水道的水類似于黑洞,，模擬重力研究人員會同意您的觀點。物理學(xué)家試圖利用流體動力學(xué)和遙不可及的宇宙物體之間的數(shù)學(xué)相似性,。謹(jǐn)慎地贊成在天體物理學(xué)中使用類比,。類比并不是從第一原理構(gòu)建物理理論的可靠基礎(chǔ)。相反,，我們應(yīng)該依靠嚴(yán)格的實驗,、假設(shè)和觀察。但毋庸置疑的是,，在面對Chaoes混沌系統(tǒng)時,，流體力學(xué)賦予我們起飛的踏板和想象的翅膀。
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