流體流動(dòng)描述如今，我們可以使用各種數(shù)學(xué)模型來描述流體運(yùn)動(dòng)，不僅如此,，還可以使用許多工程相關(guān)模型來分析一些特殊情況,。然而，最完整,、最準(zhǔn)確的描述方法當(dāng)屬偏微分方程（PDE）,。舉例來說，流場(chǎng)可以通過質(zhì)量,、動(dòng)量和總能量的平衡來表征,，這種平衡用連續(xù)性方程、納維-斯托克斯方程以及總能量方程進(jìn)行描述：（1） 這些數(shù)學(xué)模型方程的解可以給出建模域中流體的速度場(chǎng)  ,、壓力 p 以及溫度 T,。一般來說，這一方程組能夠描述微流體裝置中的蠕動(dòng)流,、換熱器中的湍流,，甚至是噴氣式戰(zhàn)斗機(jī)周圍的超聲速流等各種流動(dòng)。但是,，針對(duì)下圖中的噴氣式飛機(jī)等情況求解方程（1）并不可行,；另一方面，盡管可以對(duì)微流體裝置求解整個(gè)方程（1）,，但工作量非常大,。鑒于此,，計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（CFD）的主要研究方向是如何恰當(dāng)?shù)剡x擇方程（1）的近似方程,，實(shí)現(xiàn)以合理的計(jì)算成本得到精確的分析結(jié)果。
SR71 超音速噴氣機(jī),。噴出的氣體形成鉆石型激波,，這是超音速流動(dòng)的典型特征。圖片來自美國國家航空航天局（NASA）德萊頓飛行研究中心（Dryden Flight Research Center）的公共領(lǐng)域,。連續(xù)介質(zhì)假設(shè)和稀薄氣體流動(dòng)流動(dòng)方程（方程（1））基于連續(xù)介質(zhì)假設(shè),，即：流體可以看作連續(xù)體，而不是單個(gè)分子的集合,。分子效應(yīng)顯著的流動(dòng)則稱為稀薄氣體流動(dòng),，其稀薄程度用克努森數(shù)來度量：(2)  其中， 是分子平均自由程,，L 是流動(dòng)幾何的典型長度尺度,，如通道寬度。克努森數(shù)小于 10-3 的流動(dòng)均可視為連續(xù)流,。液體和一般情況下的氣體一樣,，幾乎總是可以看作連續(xù)體。對(duì)于低壓下的氣體或限制在狹小域中的氣流,，分子間相互作用的頻率可能和分子與壁（限制流動(dòng)）相互作用的頻率相同,，對(duì)于此類系統(tǒng),，我們必須使用稀薄氣體流動(dòng)方程（或者至少使用克努森邊界條件）來描述流體流動(dòng)。牛頓流體和非牛頓流體流體的一大特點(diǎn)在于其具有黏度,，這種黏性效應(yīng)通過黏性應(yīng)力張量  來表征,。我們生活中最常見的流體（例如水、氣體和酒精等）都是牛頓流體,，其特點(diǎn)是流體中的黏性應(yīng)力與偏應(yīng)力張量成正比：(3)  不過,，也有許多流體并不遵守方程（3）中的簡(jiǎn)單關(guān)系。這種流體稱為非牛頓流體,，可以表現(xiàn)出各種特性,。非牛頓流體的例子包括血液、涂料,、某些潤滑劑,、化妝品、食品（比如蜂蜜,、番茄醬,、果汁和酸奶等），以及水中的沙子或懸浮在水中的淀粉等各種懸浮液,。不可壓縮流體流動(dòng)如果一種流體的密度變化非常小，即  ,，那么該流體可視為不可壓縮 流體,。液體（溫度變化明顯的情況除外）以及中等壓力和溫度變化的氣體都屬于這種流體。如果我們可以忽略黏性耗散導(dǎo)致的發(fā)熱（稱為黏性加熱）,，并假設(shè)流體為牛頓流體,，則方程（1）可以簡(jiǎn)化為：(4)  方程（4）中的方程是著名的納維-斯托克斯方程，以法國物理學(xué)家納維和愛爾蘭物理學(xué)家斯托克斯的名字命名,。納維首先推導(dǎo)出了這組方程,，但斯托克斯首次對(duì)黏性項(xiàng)背后的物理機(jī)制給出了解釋，這一方程組因此而得名,。在某些情況下,，第一個(gè)方程，即連續(xù)性方程,，也包含在納維-斯托克斯方程中,。由上式可以看出，能量方程已改寫成溫度方程,，使后續(xù)計(jì)算簡(jiǎn)便了很多,。在不可壓縮流動(dòng)的黏度與溫度無關(guān)的情況下，與納維-斯托克斯方程完全解耦的溫度方程可用于求解不可壓縮流動(dòng)。對(duì)于具有恒定黏度和密度的流體的流動(dòng),，納維-斯托克斯方程的解可以給出流速和壓力場(chǎng),。如果需要得到溫度場(chǎng)相關(guān)信息，則可以單獨(dú)求解溫度,。浮力是一個(gè)重要的物理現(xiàn)象,，它與密度變化有著本質(zhì)的關(guān)系。通過在動(dòng)量方程中引入浮力作為動(dòng)量源/匯,，方程（4）還可用于模擬浮力效應(yīng),。即使是密度不恒定的情況，也可以使用納維-斯托克斯方程,，并在動(dòng)量方程中引入浮力效應(yīng)作為動(dòng)量源/動(dòng)量匯,。舉例來說，浮力會(huì)使雪茄的煙霧向上流動(dòng),。
雷諾數(shù)流體流動(dòng)的核心概念是雷諾數(shù),，其定義為：(5)  其中，U 是典型的速度尺度,，L 是典型的長度尺度,。在沒有體積力的情況下，如果密度和黏度均恒定,，則我們可以推導(dǎo)納維-斯托克斯方程（方程（4）中間的表達(dá)式）的無量綱形式,，得到：(6)  其中 ， 表示壓力水平,。從方程（6）可知,，雷諾數(shù)用于度量黏性應(yīng)力的相對(duì)重要性。低雷諾數(shù)意味著流動(dòng)完全由黏性效應(yīng)控制,，而當(dāng)雷諾數(shù)非常高時(shí),，流動(dòng)基本上接近無黏性狀態(tài)。請(qǐng)注意,，特定的流型可能使用多種雷諾數(shù)來表征，例如,，通道流可能基于通道半寬或通道全寬,；速度既可以是平均速度，也可以是最大速度,。由此可見,，知道哪個(gè)長度尺度和速度尺度與特定的雷諾數(shù)相關(guān)非常重要，在比較相似流型的雷諾數(shù)時(shí)尤其如此,。斯托克斯流雷諾數(shù)非常低的流動(dòng)稱為蠕動(dòng)流,。比如，在微流體系統(tǒng)（如下方所示的微混合器）或潤滑系統(tǒng)中可能產(chǎn)生這種流動(dòng)。斯托克斯方程常用于模擬微流體中的流動(dòng),，如本例微混合器中的流動(dòng),。在 限制下的流動(dòng)稱為斯托克斯流。通常,，斯托克斯流支持隨時(shí)間變化和變材料屬性,，但經(jīng)典斯托克斯流描述的是不可壓縮準(zhǔn)靜態(tài)條件下的流動(dòng)：(7) 這個(gè)方程組以愛爾蘭物理學(xué)家喬治·加布里埃爾·斯托克斯的名字命名，他首次使用這些方程描述了黏性動(dòng)量傳遞,。在能量方程中保留哪些項(xiàng)取決于流體,，其中對(duì)流項(xiàng)通常可以忽略不計(jì),，壓力功的作用也可以忽略不計(jì),。而有時(shí)候，分析黏性發(fā)熱對(duì)于斯托克斯流很有意義,，例如,，在軸承和其他潤滑應(yīng)用中。湍流在湍流中,，雷諾數(shù)用于度量慣性效應(yīng)而非黏性效應(yīng)的重要性,。只要雷諾數(shù)不太大，黏性效應(yīng)就會(huì)抑制流場(chǎng)中的擾動(dòng),，這種流動(dòng)稱為層流,。由于黏度會(huì)使任何足夠小的流動(dòng)結(jié)構(gòu)發(fā)生耗散，因此求解層流方程（例如方程（4））通常是可行的,。雷諾數(shù)越高,，慣性效應(yīng)相比于黏性效應(yīng)就越占主導(dǎo)地位。當(dāng)雷諾數(shù)足夠高時(shí),，任何小擾動(dòng)都會(huì)在平均流動(dòng)量的作用下發(fā)生增長,，從而引發(fā)新的流動(dòng)結(jié)構(gòu)。這種現(xiàn)象稱為過渡,。完成過渡的流動(dòng)稱為湍流,，典型特征是，看上去像混亂的渦流,，其長度尺度范圍非常大,，大渦流幾乎可以大到占據(jù)整個(gè)計(jì)算域，而小的耗散渦流則可能小到微米尺度,。如此大的尺度范圍意味著,，在合理的計(jì)算成本下，使用純納維-斯托克斯方程能夠模擬的湍流非常有限,。對(duì)于一些非常簡(jiǎn)單的流動(dòng),，我們可以執(zhí)行直接數(shù)值仿真（DNS）,，但需要大量的計(jì)算資源。為了在無需訪問超級(jí)計(jì)算機(jī)的情況下就能計(jì)算流場(chǎng)和壓力場(chǎng),，我們通常采用近似湍流模型,。各種湍流模型制定了不同類型的守恒表達(dá)式可用于平均意義上的湍流，例如,，這些小渦流可能具有的動(dòng)能守恒（稱為湍流動(dòng)能）,。湍流動(dòng)能等守恒屬性用于對(duì)黏度產(chǎn)生額外貢獻(xiàn)，稱為渦流黏度,。這種渦流黏度可以增大動(dòng)量的黏性傳遞,，從而模擬我們無法求解的小尺度渦流傳遞的動(dòng)量。工程中最常用的湍流模型是雷諾平均納維-斯托克斯模型（RANS 模型）,，其中模擬的物理量為時(shí)均量,，引入一個(gè)物理量來描述其中的脈動(dòng)量，通常稱之為雷諾應(yīng)力,。不可壓縮流動(dòng)的 RANS 方程為：(8) 其中,，符號(hào)上的橫線 表示平均量,，撇 表示離均差,。舉例來說,，未過濾速度可以寫為 。通過比較方程（8）和方程（4）中的連續(xù)性方程和動(dòng)量方程可知,，這些方程是相同的,，只是在方程（8）中，未過濾量已替換為過濾量,，并且沒有時(shí)間導(dǎo)數(shù)（這是因?yàn)槲覀儗?duì)方程進(jìn)行了時(shí)間平均）,，但包含一個(gè)附加項(xiàng) ，該項(xiàng)是雷諾應(yīng)力張量,，表示湍流脈動(dòng)對(duì)過濾速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)的影響,。我們可以為雷諾應(yīng)力張量中的項(xiàng)制定輸運(yùn)方程。通過對(duì)這些方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和假設(shè),，可以得到雷諾應(yīng)力模型,。盡管這些模型的功能強(qiáng)大，但處理起來往往有一定的難度,；此外,，即使計(jì)算成本遠(yuǎn)低于 DNS，但對(duì)于大多數(shù)工業(yè)應(yīng)用而言,，仍然過于昂貴。最常用的替代方法是假設(shè)湍流作為附加的黏性效應(yīng),，可以寫為 ,，其中 是湍流黏度,，也稱為渦流黏度。渦流黏度模型包括工業(yè)應(yīng)用中使用最廣泛的模型,，例如 k-ε,、k-ω、剪切應(yīng)力輸運(yùn)（SST）湍流模型以及 Spalart-Allmaras 湍流模型,。另一類湍流模型求解小空間區(qū)域的平均湍流,，而不是湍流隨時(shí)間的變化情況。這就形成了一種低通濾波器,，用于過濾掉小于某個(gè)長度尺度的渦流,。采用這種方式，我們可以求解大尺度湍流渦,，并且必須對(duì)小尺度渦的影響進(jìn)行建模,，因此這一方法稱為大渦模擬（LES）。不可壓縮 LES 的連續(xù)性方程和動(dòng)量方程采用相同的形式：(9) 方程（9）與方程（8）相同,，只是包含時(shí)間導(dǎo)數(shù),。此外， 項(xiàng)是亞格子應(yīng)力（SGS）張量,，表示亞格子尺度對(duì)求解尺度的影響,。常用的 SGS 張量模型是 Smagorinsky-Lilly 模型。LES 通常比 RANS 更精確,，但必須始終在三維模式下進(jìn)行瞬態(tài)仿真,，即使流動(dòng)本質(zhì)上是二維的也是如此。除此之外,，為了建立有效的 SGS 模型,，通常需要使用非常高的分辨率，這意味著,，只有在最先進(jìn)的 RANS 模型也無法捕捉流動(dòng)的基本特征時(shí)才需要使用 LES,。太陽能電池板周圍風(fēng)作用引起的湍流。低雷諾數(shù) RANS 湍流模型可用于計(jì)算面板在風(fēng)載荷作用下受到的作用力,。馬赫數(shù)(10) 馬赫數(shù)用于測(cè)量流體相對(duì)于壓力波的流動(dòng)速度。當(dāng)馬赫數(shù)較小時(shí),，即 ,，壓力波速度非常快,，可以有效降低到滿足質(zhì)量守恒約束,。通過設(shè)置 ，可以在形式上滿足方程（4）中的不可壓縮流動(dòng)公式,。隨著馬赫數(shù)接近 1,，也就是當(dāng)流速接近聲速時(shí),，還必須考慮壓力波的影響。在這些情況下,，黏性加熱通常也很重要,，如此一來，我們必須求解方程（1）,，其中給出了連續(xù)性方程,、動(dòng)量方程和能量方程的完整方程組。方程（1）中的所有項(xiàng)都很重要的流動(dòng)有時(shí)稱為可壓縮黏性流動(dòng),。高馬赫數(shù)流動(dòng)的雷諾數(shù)通常也較高,，因?yàn)閮烧叨寂c流速成正比。因此,，我們通常使用湍流模型對(duì)方程（1）進(jìn)行補(bǔ)充,，以考慮傳熱的動(dòng)量渦流擴(kuò)散的渦流擴(kuò)散系數(shù)。方程（1）與其湍流模型之間的耦合往往非常強(qiáng),。通過 k-ε 湍流模型建模的完全可壓縮湍流,。我們可以看到由壓力激波（鉆石型激波）引起的速度場(chǎng)的菱形圖案。無黏流動(dòng)和歐拉方程對(duì)于中等壓力下,、流速接近和高于聲速的氣體流動(dòng),，分子黏度和渦流黏度對(duì)動(dòng)量傳遞的貢獻(xiàn)通常可以忽略不計(jì),。在這種情況下,，模型方程描述動(dòng)量守恒（無黏性項(xiàng)）、質(zhì)量守恒和能量守恒,。由于我們不考慮渦流黏度,，因此不需要湍流模型。在能量方程中,，與黏性動(dòng)量傳遞具有類比關(guān)系的是傳導(dǎo)傳熱,。事實(shí)上，在氣體中,，黏度形成機(jī)理也適用于導(dǎo)熱系數(shù),，動(dòng)量傳遞的渦流擴(kuò)散系數(shù)也用于計(jì)算傳熱的渦流擴(kuò)散系數(shù)。因此,，在可以忽略黏性動(dòng)量傳遞的情況下,，我們通常可以忽略能量方程中的傳導(dǎo)傳熱,。適用于無黏流動(dòng)且導(dǎo)熱系數(shù)可忽略的守恒方程通常稱為歐拉方程,，以首先提出這些方程的瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉的名字命名。歐拉方程的形式為：(11) 超聲速流遇到翼形障礙物時(shí)形成壓力激波,，激波在壁面發(fā)生反射,；這是一個(gè)高馬赫數(shù)流動(dòng)基準(zhǔn)問題,，求解歐拉方程,。多相流動(dòng)量,、質(zhì)量和能量守恒方程也可用于多相流體流動(dòng)，例如,，氣相和液相組成的多相流,，或者油和水等兩種不同液相組成的多相流。最詳細(xì)的多相流建模方法是采用表面跟蹤方法,，例如水平集方法或相場(chǎng)法,。在這些模型中，表面張力等各相之間的相互作用作為動(dòng)量方程中的源或匯引入,，位于跟隨不同相之間的邊界,、且厚度非常小的薄層上，從而可以詳細(xì)計(jì)算相邊界的形狀和位置,。這意味著,，動(dòng)量和質(zhì)量守恒方程可以與一組具有給定值（等值面）的水平集或相場(chǎng)函數(shù)的輸運(yùn)方程組合在一起，用于描述相邊界的位置,。描述表面跟蹤兩相流模型的經(jīng)典基準(zhǔn)模型,。請(qǐng)注意，在非常短的時(shí)間內(nèi),，較重的流體在晃動(dòng)過程中會(huì)附著在頂壁,，產(chǎn)生附著的原因是因?yàn)榇嬖诒砻鎻埩Α?/span>
當(dāng)相邊界由數(shù)百萬個(gè)液滴或氣泡組成時(shí)，或者相邊界的形狀細(xì)節(jié)非常復(fù)雜時(shí),，我們無法通過計(jì)算跟蹤其形狀,；此時(shí)，我們必須進(jìn)行某種均勻化處理,，將存在的不同相視為具有平均質(zhì)量分?jǐn)?shù)或體積分?jǐn)?shù)的物理場(chǎng),。我們不再詳細(xì)跟蹤相邊界的形狀，而是將各相之間可能發(fā)生的相互作用作為流體混合物各處定義的動(dòng)量源和匯引入,。此外,，在兩相流情況下，動(dòng)量和質(zhì)量守恒方程可以與其中一個(gè)相的體積分?jǐn)?shù)輸運(yùn)方程相結(jié)合,；對(duì)于三相流,，這兩個(gè)守恒方程可以與兩個(gè)輸運(yùn)方程相結(jié)合。當(dāng)兩相之間存在較大的密度差時(shí),，我們甚至必須為流體域各處定義的每個(gè)相分別制定動(dòng)量方程,。對(duì)于存在氣泡的液體，使用氣泡流模型等分散流模型可以很好地表示均勻兩相流,。對(duì)于油和水等液-液溶液,，我們可以使用更為復(fù)雜的模型,，如多相流混合物模型。液-液萃取塔模型,。繪圖顯示油的體積分?jǐn)?shù),。較重的水溶液從塔頂環(huán)形入口流入，油相從塔頂圓形出口排出,。對(duì)于氣體中密度差非常大的許多固體顆粒,，我們常常需要為分散的固體顆粒和氣相制定動(dòng)量方程。為每個(gè)相定義動(dòng)量方程的模型通常稱為 Euler-Euler 多相流模型,，該名稱源自于這樣一個(gè)事實(shí)：兩種相均由歐拉法描述為連續(xù)體,。當(dāng)顆粒足夠少時(shí)，另一種選擇是使用顆粒跟蹤方法來描述分散相,。這種方法稱為歐拉-拉格朗日方法,，其中采用歐拉法描述連續(xù)體（如流體），采用拉格朗日法描述顆粒,。歐拉-拉格朗日方法的優(yōu)勢(shì)在于,，屬性可以與每個(gè)顆粒關(guān)聯(lián)，但隨著顆粒數(shù)的增加,，該方法耗費(fèi)的計(jì)算資源會(huì)變得非常大,。采用表面跟蹤方法的分離多相流模型（左）與分散多相流模型（右）的區(qū)別。在表面跟蹤方法中,，φ = 0 的場(chǎng) φ 的等值面表示相邊界,。在分散多相流模型中，我們僅得到了氣泡或液滴的體積分?jǐn)?shù),，而相邊界的細(xì)節(jié)則作為平均體積力,。 多孔介質(zhì)流如果我們能夠詳細(xì)描述多孔結(jié)構(gòu)，包括所有表面結(jié)構(gòu)和表面屬性,，我們就可以照常使用動(dòng)量和質(zhì)量守恒方程,，并在孔隙壁上定義無滑移條件，或者,，當(dāng)平均孔隙寬度與分子相互作用的尺度具有相同數(shù)量級(jí)時(shí),，定義克努森條件。然而,，大多數(shù)情況下,，我們無法在多孔結(jié)構(gòu)的宏觀模型中描述數(shù)以百萬計(jì)的孔隙彎曲和結(jié)構(gòu)。因此,，多孔介質(zhì)流動(dòng)模型通常采用均勻化處理,，從而將多孔結(jié)構(gòu)中的流體域和多孔基體域定義為具有平均孔隙率、迂曲度和滲透率等平均屬性的平板。動(dòng)量方程則變?yōu)檫_(dá)西定律,，以首次提出此定律的法國工程師的名字命名,。達(dá)西定律可以通過剪切項(xiàng)進(jìn)行擴(kuò)展，形成 Brinkman 方程,，該方程以荷蘭物理學(xué)家 H.C. Brinkman 的名字命名,。流體流經(jīng)多孔顆粒的情況，左圖詳細(xì)描述了模型結(jié)構(gòu),，右圖為相應(yīng)的均相模型,。
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