|
所謂微積分溯源,，自然要回到歷史語(yǔ)境中——定積分的概念來(lái)源于處理實(shí)際問(wèn)題，而如今大學(xué)生學(xué)習(xí)的積分與微分是互為逆運(yùn)算,，是經(jīng)歷了許多偉大數(shù)學(xué)家思考論證得出的精粹,。不了解歷史脈絡(luò)并不影響我們使用微積分，但這樣去學(xué)習(xí)可能會(huì)把凝練的偉大思想當(dāng)成既定的事實(shí),。 
本文經(jīng)授權(quán)節(jié)選自《微積分溯源：偉大思想的歷程》（人民郵電出版社·圖靈新知,，2022.11）譯后記。點(diǎn)擊“在看”并發(fā)表您的感想至留言區(qū)，截至2月19日我們會(huì)選出1條留言,，贈(zèng)書(shū)一本。撰文 | 陳見(jiàn)柯 在一篇 2011 年發(fā)表于 《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》（American Mathematical Monthly）的文章里,，作者開(kāi)篇列出了名為 fundamental theorem of integral calculus (以下簡(jiǎn)稱FTIC) 的定理：[FTIC]對(duì)于區(qū)間[a, b]上的任意連續(xù)函數(shù)f,，有并且，如果對(duì)于所有的x∈(a, b),，有F'(x)=f(x),，則我們提兩個(gè)問(wèn)題： (i) FTIC 應(yīng)該如何翻譯? (ii) 微積分 (學(xué)) 基本定理是什么?calculus的本義是小卵石，這個(gè)含義被保留在醫(yī)學(xué)術(shù)語(yǔ)里,，翻譯為結(jié)石,。在calculus成為以微分、積分為主題的一門課程之前,，它在數(shù)學(xué)中的意思是計(jì)算方法,。除去differential calculus、integral calculus這樣與微積分密切相關(guān)的術(shù)語(yǔ)外,，還有algebraical calculus,、exponential calculus和symbolic calculus等術(shù)語(yǔ)。這樣看來(lái),，將FTIC翻譯成積分學(xué)基本定理應(yīng)是準(zhǔn)確的,。在發(fā)表于《數(shù)學(xué)譯林》的譯稿中，陸柱家老師就是這么做的,。在本書(shū)的中譯本里,，我們也是這么做的。第一個(gè)問(wèn)題似乎過(guò)于簡(jiǎn)單了,。然而,，為了做到這步，我們還是走了一些彎路,。根據(jù)定理的表述,，將公式(2)稱作微積分基本公式，或者牛頓–萊布尼茨公式,，是比較通用的做法,。我們可以在同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編、面向非數(shù)學(xué)專業(yè)的微積分教材《高等數(shù)學(xué)》,，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫(xiě),、面向數(shù)學(xué)專業(yè)的教材《數(shù)學(xué)分析》，以及小平邦彥的《微積分入門》中看到這樣的表述,。包括筆者在內(nèi)的許多人都會(huì)想當(dāng)然地認(rèn)為公式(2)就是微積分(學(xué))基本定理,，這的確是上文提及的《高等數(shù)學(xué)》的表述。20世紀(jì)80年代（其實(shí)開(kāi)始的時(shí)間要更早）,，科學(xué)出版社曾組織國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)專業(yè)的專家學(xué)者們翻譯了日本數(shù)學(xué)會(huì)編寫(xiě)的《數(shù)學(xué)百科詞典》,；其中“微分和積分的關(guān)系”這個(gè)詞條也是將公式(2)稱作微積分基本定理[注釋1],。若考慮新近的教材或者講義，高等教育出版社的《簡(jiǎn)明數(shù)學(xué)分析》,，清華大學(xué)數(shù)學(xué)系,、丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心的于品教授為丘成桐數(shù)學(xué)英才班開(kāi)設(shè)課程所編寫(xiě)的《數(shù)學(xué)分析之課程講義》(定理128)，也都采用了這種表述,。換言之,，微積分（學(xué)）基本定理就是牛頓–萊布尼茨公式。然而真是這樣嗎,？公式(1)的部分如何理解呢,？將 FTIC 中的integral刪掉，直接寫(xiě)成 fundamental theorem of calculus（以下簡(jiǎn)稱 FTC）,，豈不是更簡(jiǎn)潔,？彼得·拉克斯與瑪利亞·特雷爾的《微積分及其應(yīng)用》（Calculus with Applications and Computing）、詹姆斯·斯圖爾特（James Stewart）的《微積分》（Calculus: Early Transcendentals）以及斯蒂芬·阿博特（Stephen Abbott）的《分析入門》（Understanding Analysis）都是采用了FTC的表述[注釋2],，并且將公式 (1)和(2)分別稱作定理的第一部分和第二部分,。看一看國(guó)內(nèi)比較有代表性的情況：郇中丹教授是前文提及的《簡(jiǎn)明數(shù)學(xué)分析》的作者之一,。他在面向北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的大一新生講授《數(shù)學(xué)分析》的視頻公開(kāi)課中,，明確提到：“微積分基本定理就是討論積分上限函數(shù) 的性質(zhì)”。再翻一翻中文教科書(shū),。華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫(xiě)的《數(shù)學(xué)分析》明確地將公式(1)稱作微積分學(xué)基本定理,，并給出如下說(shuō)明：本定理[注釋3]溝通了導(dǎo)數(shù)和定積分這兩個(gè)從表面上看去似不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)也證明了“連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)”這一基本結(jié)論, 并以積分形式 給出f的一個(gè)原函數(shù),。這無(wú)疑是一個(gè)精準(zhǔn),、凝練的敘述。打一個(gè)不算恰當(dāng)?shù)谋扔?，公?1)與公式(2)的關(guān)系像是“道”與“術(shù)”的關(guān)系一樣：公式(1)回答了“有還是無(wú)”的問(wèn)題,，公式(2)回答了“怎么算”的問(wèn)題。將公式(1)和公式(2)綜合地寫(xiě)成一個(gè)定理,，才是更完整的敘述,。值得一提的是，東南大學(xué)丘成桐中心,、東南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院的李逸教授新近編寫(xiě)的《基本分析講義》里,，也是寫(xiě)成了微積分基本定理第一部分和第二部分的形式。在中文微積分或者數(shù)學(xué)分析主題的教材,、講義以及譯著里,，這是我們唯一看到明確將公式(1)與公式(2)合寫(xiě)成一個(gè)定理的敘述[注釋4]；但若把搜索的范圍再擴(kuò)大一點(diǎn)兒，在實(shí)變函數(shù)主題的中文教材中,，倒是可以看到合寫(xiě)的表述,。
為了回答最初提及的兩個(gè)問(wèn)題，我們還要再多走一點(diǎn)點(diǎn),。與華東師范大學(xué)版《數(shù)學(xué)分析》配套的參考資料《數(shù)學(xué)分析(第四版)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)》的“定積分”一章里,，指明了如下說(shuō)法同樣值得我們注意：從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史看，形成定積分概念遠(yuǎn)早于不定積分的概念,。確實(shí)如此。正如本書(shū)第一章的標(biāo)題是累積（accumulation）,，談到定積分,，大部分教科書(shū)會(huì)從計(jì)算圖形面積、物體體積,、位移等具體問(wèn)題展開(kāi),。盡管用無(wú)限分割、近似求和,、求極限的方法定義定積分直到柯西的時(shí)代（19 世紀(jì)）才宣告完成,，但問(wèn)題本身伴隨著測(cè)量的出現(xiàn)就已經(jīng)出現(xiàn)。許多教材會(huì)將定積分的內(nèi)容安排在不定積分之后,。從教學(xué)的角度而言,，這種做法的確帶來(lái)了很多便利；但這并不是歷史發(fā)展的先后順序,。盡管“微分與積分是互逆的運(yùn)算”非常凝練,，但這是先賢們不斷探索之后的高度總結(jié)。更麻煩的問(wèn)題在于,，如果我們理解得不夠好,，單純地將積分理解為—–或者干脆定義為—–微分的逆（一個(gè)顯然的事實(shí)是，并不是所有教微積分,、數(shù)學(xué)分析的從業(yè)者都能達(dá)到郇中丹老師的高度）,，這就會(huì)使得原本處于微積分核心地位的公式(1)變成了近乎平凡的事實(shí)。出于以上的諸多考量,，在考證了術(shù)語(yǔ)的演化之后（詳見(jiàn)第2.7節(jié)的腳注2),，作者不厭其煩地、堅(jiān)決地使用術(shù)語(yǔ)FTIC,，而非FTC,。盡管定積分是通過(guò)求和、求極限的方式定義的,，深刻的是,，這樣定義的定積分可以用微分的逆進(jìn)行求解和計(jì)算， 而FTIC的第一部分就是溝通微分和積分的橋梁。從計(jì)算的角度,，如果要考慮定積分 ,，比起將區(qū)間[0, 1]進(jìn)行n等分，然后在第i (i ≥ 1)個(gè)小區(qū)間 選取小區(qū)間的右端點(diǎn)的函數(shù)取值 ,，近似得到曲邊梯形的面積 ,，進(jìn)而求和、求極限的做法我們更習(xí)慣的直接借助微積分基本公式（即FTIC的第二部分）,，一橋飛架南北,，天塹變通途。不管在現(xiàn)實(shí)生活中,，還是在各色理論里,，顯然，沒(méi)有人不喜歡橋梁,。而FTIC的第一部分,，則是我們可以搭梁建橋的原因。本書(shū)作者還提到了如下觀點(diǎn)：在積分學(xué)沒(méi)有建立,，甚至連積分的術(shù)語(yǔ)都不清不楚的時(shí)代,，不管是牛頓還是萊布尼茨，都不可能建立微分和積分之間的聯(lián)系,。需要特別說(shuō)明的是,，這個(gè)觀點(diǎn)并非語(yǔ)不驚人死不休，而同樣是尊重歷史的做法,。我們不能否認(rèn)牛頓,、萊布尼茨的偉大，但也不能帶著今天已經(jīng)了然于心的知識(shí)儲(chǔ)備穿越回他們的時(shí)代,、進(jìn)而評(píng)價(jià)他們的工作,。怎樣理解這種觀點(diǎn)呢？我們不妨看一個(gè)具體的例子,。因?yàn)橛?/span>現(xiàn)在我要說(shuō)明,，一般的求積問(wèn)題可簡(jiǎn)化為尋找一條有特定相切規(guī)則的曲線。[注釋5]這樣一句話,，萊布尼茲發(fā)表于1693的論文[注釋6]一直被公認(rèn)為最早就積分學(xué)基本定理給出了證明,。結(jié)合當(dāng)時(shí)的時(shí)代背景、分析了萊布尼茨的論文后,，荷蘭烏得勒支大學(xué)的數(shù)學(xué)史學(xué)者維克托·布洛舍（Viktor Bl?sj?）認(rèn)為這是斷章取義的做法,，作者進(jìn)而給出如下觀點(diǎn)[注釋7]: (i)盡管與積分學(xué)基本定理存在關(guān)聯(lián)，盡管萊布尼茨對(duì)一般的面積求解問(wèn)題感興趣,，但 1693年論文的基本出發(fā)點(diǎn)是牽引運(yùn)動(dòng)這樣一個(gè)具體,、特殊的問(wèn)題,；(ii)涉及到多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù),、對(duì)數(shù)函數(shù)的求面積問(wèn)題已被廣泛地討論,，1693年的論文討論的恰好是積分學(xué)基本定理不能使用的場(chǎng)景（若采用當(dāng)代的記號(hào)，即  ）,；
(iii)盡管“定義–定理–證明”的模式已經(jīng)成為當(dāng)代論證的基本模式,，但萊布尼茨本人并不認(rèn)為積分學(xué)基本定理是一個(gè)定理，自然也“不需要”一個(gè)證明,；出于這樣新穎的觀點(diǎn),，這篇論文被普林斯頓大學(xué)出版社收錄在The Best Writing on Mathematics 2016中。筆者僅就自己負(fù)責(zé)翻譯的部分指出一點(diǎn)不足,，作者在一些細(xì)節(jié)的處理上太在乎讀者的感受,，但在另外一些細(xì)節(jié)上處理得又不太夠。一方面,，在3.5節(jié)，引用李普曼·伯斯單調(diào)遞增函數(shù)定理的證明之時(shí),，給定實(shí)數(shù)集合S,，作者有意回避了上確界sup(S)這樣令人望而生畏的專業(yè)術(shù)語(yǔ)，轉(zhuǎn)而采用文字?jǐn)⑹?，顯然這是為了考慮讀者的感受,。但另一方面，在3.3節(jié),，對(duì)于大于1的底數(shù)a和充分小的正數(shù)ω,，作者省略了歐拉給出的具體的演算實(shí)例，直接令aω=1+kω,。在數(shù)學(xué)科普文章中,，歐拉計(jì)算自然底數(shù)e的故事無(wú)疑是值得講述的，但作者這種“武斷的”做法不太容易讓人接受,。我們可以引用費(fèi)爾南多·戈維亞（Fernando Gouvêa）在這本書(shū)的評(píng)論中發(fā)表的觀點(diǎn):作者闡述數(shù)學(xué)的方式有點(diǎn)兒快,，這個(gè)做法大大超過(guò)了本科生的接受能力。事實(shí)上這部書(shū)的真正受眾應(yīng)是那些講授微積分課程的老師,。回想自己在大學(xué)時(shí)期對(duì)微積分的認(rèn)知,，再結(jié)合近幾年教微積分的經(jīng)歷, 筆者大致認(rèn)同這個(gè)觀點(diǎn)。但話說(shuō)回來(lái),，考慮到文理結(jié)合的通識(shí)課程正在被越來(lái)越廣泛地提及,，網(wǎng)絡(luò)的普及使人們可以便捷地檢索和查閱諸多優(yōu)質(zhì)的線上教學(xué)資源，我們依舊可以期待有興趣的讀者朋友能夠從歷史的角度去了解微積分那些驚心動(dòng)魄的偉大時(shí)刻,，去看看那些閃閃發(fā)光的公式,、定理,，去試著理解和把玩這些結(jié)果。這無(wú)疑是對(duì)刻板,、嚴(yán)肅,、以傳統(tǒng)教科書(shū)的方式進(jìn)行的課堂教學(xué)的極好補(bǔ)充。本書(shū)的翻譯在林開(kāi)亮的提議和組織,、葉盧慶的技術(shù)支持下,，由三人通力合作而完成，其中： 葉盧慶負(fù)責(zé)第一章的翻譯, 并提供了tex模板,； 陳見(jiàn)柯負(fù)責(zé)第二,、三章的翻譯，以及全書(shū)的譯稿統(tǒng)籌工作,； 林開(kāi)亮負(fù)責(zé)第四,、五、六,、七章的翻譯,。
在翻譯過(guò)程中，我們與作者通過(guò)電子郵件進(jìn)行了有效的溝通,，作者也給予我們很多中肯的建議,。我們要感謝人民郵電出版社北京圖靈文化發(fā)展有限公司的編輯老師。我們?cè)?2019 年年初接手這本書(shū)的中文翻譯工作,，預(yù)計(jì)交稿時(shí)間是一年后,。出于各種原因，交稿日期一拖再拖,，所幸最終付梓,。筆者要向北京市朝陽(yáng)區(qū)教育研究中心的張浩博士、中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院的張漢雄博士和中國(guó)傳媒大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院2018級(jí)齊嘉璐同學(xué),、數(shù)據(jù)科學(xué)與智能媒體學(xué)院 2018 級(jí)馬行健同學(xué), 感謝他們耐心地閱讀了筆者負(fù)責(zé)翻譯的部分,，并提出寶貴的建議；感謝他們告知我們,，于品教授,、李逸教授都曾編寫(xiě)過(guò)數(shù)學(xué)分析的講義。筆者也向中國(guó)傳媒大學(xué)信息與通信工程學(xué)院的劉金波博士和2016級(jí)張錦皓同學(xué)表示感謝,，感謝他們分別為筆者補(bǔ)充了電磁學(xué)和樂(lè)理的基本知識(shí),。我們努力做到忠實(shí)于原著，也希望能夠傳達(dá)作者對(duì)于那些“大先生”所處時(shí)代的歷史考證,。但出于譯者水平和修養(yǎng)所限,，書(shū)稿中難免出現(xiàn)錯(cuò)誤，還望讀者朋友們不吝賜教,，我們的郵箱地址是: 葉盧慶 [email protected] 陳見(jiàn)柯 [email protected] [1] 它的英文術(shù)語(yǔ)標(biāo)注為fundamental theorem of infinitesimal calculus,。 [2] 有些奇怪的是,，在他們所有的表述中，都沒(méi)有提及牛頓–萊布尼茨公式的說(shuō)法,。 [4] 蒙李逸老師告知，2005年,，清華大學(xué)出版社出版,，徐森林、薛春華老師編著的《數(shù)學(xué)分析》就已經(jīng)使用這樣的說(shuō)法了,。 [5] I shall now show that the general problem of quadratures can be reduced to the finding of a curve that has a given law of tangency. [6] Supplementum geometriae dimensoriae, seu generalissima omnium Tetragonismorum effectio per motum: similiterque multiplex constructio lineae ex data tangentium conditione. ” Acta Eruditorum. 385-392. 1693. [7] The Myth of Leibniz’s Proof of the Fundamental Theorem of Calculus.” Nieuw Archief voor Wiskunde. Series 5, Volume 16, Issue 1, 46-50. 2015.
|
