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微積分（Calculus）是微分學(xué)（Differentiation）和積分學(xué)（Integration）的總稱,，微分學(xué)就是‘無線細分’，積分學(xué)就是‘無限求和’,，無限就是極限,，微積分的基礎(chǔ)就是極限的思想。微積分是建立在實數(shù),、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的,，主要內(nèi)容包括極限、連續(xù),、可微和重積分,，最重要的思想就是“微元”和“無限逼近”。

微積分主要包括極限,、微分學(xué),、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運算,，是一套關(guān)于變化率的理論,。它使得函數(shù)、速度,、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學(xué),，包括求積分的運算,，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法,。

到了十七世紀,，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素,。歸結(jié)起來,，大約有四種主要類型的問題：

第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題,。

第二類問題是求曲線的切線的問題,。

第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。

第四類問題是求曲線長,、曲線圍成的面積,、曲面圍成的體積、物體的重心,、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力,。

微分應(yīng)用包括極端速度、加速度、曲線斜率,、最優(yōu)化等,。積分應(yīng)用包括面積、體積,、弧長,、質(zhì)心、做功,、壓力,。更高級的應(yīng)用包括冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)等。

恩格斯說：“在一切理論成就中,，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了,。如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和惟一的功績，那就正是在這里,?！庇辛宋⒎e分，人類才有能力把握運動和過程,。有了微積分,，就有了工業(yè)革命，有了大工業(yè)生產(chǎn),，也就有了現(xiàn)代化的社會,。航天飛機。宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都是微積分的直接后果,。在微積分的幫助下,，萬有引力定律發(fā)現(xiàn)了，牛頓用同一個公式來描述太陽對行星的作用,，以及地球?qū)λ浇矬w的作用,。從最小的塵埃到最遙遠的天體的運動行為。宇宙中沒有哪一個角落不在這些定律的所包含范圍內(nèi),。這是人類認識史上的一次空前的飛躍,，不僅具有偉大的科學(xué)意義，而且具有深遠的社會影響,。它強有力地證明了宇宙的數(shù)學(xué)設(shè)計,，摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學(xué),。一場空前巨大的,、席卷近代世界的科xy動開始了。毫無疑問,，微積分的發(fā)現(xiàn)是世界近代科學(xué)的開端,。

微積分中最重要的概念是“極限”,。微商（即導(dǎo)數(shù)）是一種極限。定積分也是一種極限,。

求曲線的切線（微分的導(dǎo)數(shù)問題）,，依賴于縱坐標的差值與橫坐標的差值，當這些差值變成無限小時之比,；而求曲線下的面積（積分問題）,，則依賴于無限小區(qū)間上的縱坐標之和（亦即寬度為無限小的矩形面積之和），并看到了這兩類問題的互逆性,，萊布尼茨在給洛必達的一封信中總結(jié)說：“求切線不過是求差,，求積分不過是求和。

導(dǎo)數(shù)是無窮小之比,，積分是無窮小之和,。

導(dǎo)數(shù)的定義是差商的極限，作為它的對偶情形,，考慮乘積之和就引入了定積分,。

連續(xù)函數(shù)的定積分之值等于它的任意一個原函數(shù)在積分區(qū)間上的改變量，即牛頓-萊布尼茨公式,，它建立起連續(xù)函數(shù)的定積分與其原函數(shù)之間的一種關(guān)系,，它提示了定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，也為積分計算找到了一條捷徑,。

微積分就是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學(xué),。是指某個特定的量在瞬時變化得有多快。積分則相反,，在給定某個量的變化率,，通過積分則得到這個量本身。

代數(shù)方程與一個未知數(shù)的各次冪有關(guān),。微分方程則更高級，與一個未知函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)有關(guān),。牛頓的偉大發(fā)現(xiàn)在于,，自然規(guī)律并不是通過某些量的規(guī)律性，而是通過它們的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系來呈現(xiàn),。自然法則則用微積分的語言來記錄,；重要的不是物理量的值，而是它們的變化率,。這是很深刻的發(fā)現(xiàn),，它引發(fā)了一場革命，或多或少的導(dǎo)致了現(xiàn)代科學(xué)的誕生,。

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在運動學(xué)中,，平均速度等于通過的距離除以所花費的時間,，但是當間隔的時間趨于零，也就是瞬時速度時,，則無法按照通常的除法計算,，這時的速度為時間的導(dǎo)數(shù)，得用求導(dǎo)的方法計算,。也就是說,，一個函數(shù)的自變量趨近某一極限時，其因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導(dǎo)數(shù),。在速度問題上,，距離是時間的因變量，隨時間變化而變化,；當時間趨于某一極限時,，距離增量除以時間增量的極限即為距離對時間的導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率,。

導(dǎo)數(shù)就是關(guān)于函數(shù)對于自變量的變化率,，從幾何上看，變化率就是函數(shù)f(x)圖像上x處的切線斜率,。它可以通過求割線的斜率來逼近,。

微分學(xué)研究的是一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義，性質(zhì)和應(yīng)用,。求導(dǎo)的過程被稱為微分,。給定一個函數(shù)和定義域內(nèi)的一個點，在那個點的導(dǎo)數(shù)描述了該函數(shù)在那一點附近的表現(xiàn),。通過找出一個函數(shù)定義域內(nèi)每一點的導(dǎo)數(shù),，可以生成一個新的函數(shù)，叫做原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),，或者導(dǎo)數(shù),。在數(shù)學(xué)術(shù)語中，導(dǎo)數(shù)是輸入一個函數(shù),，輸出另一個函數(shù)的線性算子,。這比初等代數(shù)里的過程更抽象一些，初等代數(shù)里的函數(shù)常常是輸入一個數(shù),，并輸出另一個數(shù),。

微分是函數(shù)增量相對于自變量在某一點的增量的近似求法。函數(shù)在某一點的微分就是函數(shù)在該點的增量的線性主部,。

微分學(xué)的核心是斜率和切線的概念,。一個是代數(shù)的概念，一個是幾何的概念,。

我們先從斜率開始討論,，假設(shè)在坐標平面內(nèi)有一條直線,，我們分別研究x坐標和y坐標，但是研究x和y是如何連帶變化的通常更有益,。例如,，如果x增加4個單位，那么相應(yīng)的y值如何變化呢,？能夠想到的是這個答案與問題中的直線的坡度有關(guān),，在下圖中，左邊的直線逐漸上升,，所以坐標增加4個單位（即水平軸上增加4個單位）導(dǎo)致y坐標產(chǎn)生較小的變化（即垂直變化非常?。菍τ谟疫厓A斜較大的直線來說,，x增加4個單位則導(dǎo)致y產(chǎn)生較大的上升,。

用數(shù)學(xué)的語言描述這一概念，我們定義直線的斜率為：

如果一條直線的斜率是2/5,那么當x增加5個單位時,，y會增加2個單位,，緩緩上升。但如果斜率是5/2,，則表明當x增加2個單位時,，y整整增加了5個單位，此時攀升速度相當快,。

通過點(x1,y1)和點(x2,y2)的直線的斜率的定義：

如何確定曲線的斜率呢,？如y=4x^2 2x 9，顯然,，整個拋物線沒有固定的斜率,，每一點的斜率都不同。如何確定點P0(2,29) 斜率呢,？從圖上看,在點P0畫出這個拋物線的切線,，切線的斜率就是拋物線的點P0處的斜率。

但如何求切線的斜率呢,，因為斜率的定義需要直線上的兩個點來計算,，現(xiàn)在只有P0點而已，微分學(xué)給出了繞過這一障礙的方法,，那就是間接地逼近這條切線的斜率，這是一條絕妙的進攻路線,。

我們需要求出的是曲線在x=2處的斜率,，首先我們考慮：選取靠近x=2處的一個點，先選取x=5這一個點P(5,119),，兩點PP0連成了一條割線,，用割線的斜率來近似點P0的切線的斜率,。

但這只是一個粗略的近似，選取的P點的x軸值x,，如果｜x-2|能盡可能小,，則越精確近似點P0切線的斜率。所以要考慮讓點沿著拋物線逐步更加接近P0去計算拋物線上的點,。（相連的割線形成的斜率,。）

曲線4x^2 2x 9

有一個顯然的趨勢，選取點越靠近P0點(x=2),，對應(yīng)的割線也旋轉(zhuǎn)著更加靠近這條切線,。

這樣，需要有一個一般的方法去求ax^2 bx c上任意點P0(x0,y0)處的斜率公式：選取一個鄰近點P(x,y),，x=x0 h;

=2ax a(0) b=2ax b

曲線的切線斜率是當h趨近于0時相應(yīng)割線斜率的極限,，這個極限稱為導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)數(shù)的過程稱為微分,。

微分學(xué)的目標就是發(fā)展更一般的公式,。我們肯定不想局限于處理拋物線。使用與上面的過程類似的思路,，數(shù)學(xué)家從一般函數(shù)y=f(x)開始,，求其上任意點（x,y）處的切線的斜率。同上,，我們在這條曲線上選擇一個鄰近點,，坐標是(x h,f(x h)),接下來，確定割線的斜率：

最后求當h→0時,，上面這個商的極限值,。

萊布尼茨把導(dǎo)數(shù)記為:

后來約瑟夫﹒路易﹒拉格朗日(1736-1813)引入更強大的記法，使用符號f’(x)表示f(x)的導(dǎo)數(shù),。

從這個一般定義開始,，我們可以給出許多函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當微分x的冪函數(shù),，即求形如xn的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,，一個非常優(yōu)美的模式出現(xiàn)了，即

求曲線的極大值和極小值的關(guān)鍵是我們前面討論的斜率,，在小山的頂部或狹谷的底部,，曲線的切線是水平的，即是一條水平直線,，它的斜率是0.用代數(shù)的語言表示,，求函數(shù)的極值，可以轉(zhuǎn)換為求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0的方程解,。

我們可以從一個實例去充分領(lǐng)略微分學(xué)的風(fēng)范,。

意大利數(shù)學(xué)家吉羅拉莫﹒卡爾達諾（1501-1576）有一個論斷：不存在兩個實數(shù)（設(shè)為x,y）滿足其和等于10且其積等于40,；利用微分學(xué)，我們很容易證明他的結(jié)論,。

f(x)=xy=x(10-x)=-x*x 10x,求其極大值,。

f’(x)=-2x 10,當x=5時，f’(x)=0,xy=25,和等于10的兩個實數(shù)有極大積25.

如果討論周長為20的幾何體,，哪一類及相應(yīng)參數(shù)設(shè)計如何達到面積最大,？圓，面積可達100/pi.

微分的概念是在解決直與曲的矛盾中產(chǎn)生的,，在微小局部可以用直線去挖替代曲線,，它的直接應(yīng)用就是函數(shù)的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量,，同時又表示一種與求導(dǎo)密切相關(guān)的運算,。

微分的思路就是一個線性近似的觀念，利用幾何的語言就是在函數(shù)曲線的局部,，用直線代替曲線,，則線性函數(shù)總是比較容易計算的，因此就可以把線性函數(shù)的數(shù)值計算結(jié)果作為本來函數(shù)的數(shù)值近似的值,，這就是利用微分方法進行近似計算的基本思想,。

函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個不同的函數(shù)，而導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點的局部特征,，如果要了解函數(shù)在其定義域上的整體特征,，就需要在導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間建立起聯(lián)系。微分中值定理（包括羅爾定理,、拉格朗日中值定理和柯西定理,、泰勒定理）是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)去推斷函數(shù)整體性質(zhì)的工具,。

利用中值定理通過導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)的形態(tài),，如判斷函數(shù)的上升、下降,、極限值,、凹形、凸形和拐點等重要形態(tài),，從而把握住函數(shù)圖像的各種幾何特性,。

中值定理刻畫了函數(shù)在區(qū)間上的增量與函數(shù)在敬意內(nèi)的某一點的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

在數(shù)學(xué)中,，微分是對函數(shù)在局部變化率的一種線性描述,，微分可以近似地描述當函數(shù)自變量的取值作足夠小的改變時，函數(shù)的值是怎樣改變的。

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微分學(xué)研究的是曲線的斜率,，而積分學(xué)描述的是曲線下的面積；對于圓和梯形等不同圖形的面積我們需要應(yīng)用不同的公式,，相對而言,，積分采用更一般的視點，尋找一個統(tǒng)一的方法求任意函數(shù)界定的面積,。

如前面微分學(xué)的思路,，由割線的斜率去逼近目標點的切線的斜率，曲線下面積的求法的思路也可從矩形的面積累積：構(gòu)造的矩形的高可由t的值,，通過y=f(t)求得,，如下圖，曲線下面積≈矩形面積之和= f(t1)△t1 f(t2)△t2 f(t3)△t3.顯然,，這個面積只是粗略地近似,。如何改進它呢？合適的技巧就是更多的細分：利用極限的思路,，不要止于一千或一百萬個矩形,，讓它們的數(shù)量沒有限制地增加，甚至到了它們的寬度逼近0.

這樣做以后,，我們將定義曲線下的面積等于：

萊布尼茨引入了一個新符號,，他把曲線下的面積表示成∫，是“sum”中拉長的“S”,表示矩形面積之和,，從此以后y=f(t)在t=a和t=x之下的面積表示成為

這就是積分,，它是由上面的矩形面積的和的極限定義的，而且求這個積分的過程稱為積分法,。

我們可以考慮先從一個最簡單的例子開始,，求直線y=f(t)=2t下從t=0到t=1的面積，如下圖所示,。它的面積借助三角形的知識,，可知面積是1.

如果我們從上述微分的方法去求會怎樣？首先我們考慮把從0到1的這個區(qū)間分成五個相等的子區(qū)間,，它們的高分別是2/5,4/5,6/5,8/5,2,五個矩形的面積之和等于1.2,；顯然這種粗略的估計的面積和大大大于三角形的精確面積1,但如果我們把這個0到1的區(qū)間分成n等份，則矩形面積之和等于：

但我們要追求的是一般性的求法,，萊布尼茨引入

來表示從t=0開始到t=x之間它下面陰影部分的面積,。F實際上是x的函數(shù)，因為當x向右邊移動時,，F(xiàn)(x)或者說在0和x之間曲線下的陰影面積也隨著變化,。函數(shù)F就是一個“面積累加器”函數(shù)，它的值依賴于x被向右邊放置多遠。

數(shù)學(xué)家的目標就是要尋求關(guān)于F的某類公式,，這樣使得我們只需把x代入到F里就可以確定這個面積,。

根據(jù)F的定義，我們知道F(x h)是由曲線y=f(t)在t=0到t=x h之間所圍成的面積,。因此F(x h)-F(x)是它們的面積之差,。

我們連接(x,f(x))和(x h,f(x h))兩點，使用梯形面積近似求得不規(guī)則帶的面積：1/2h[(f(x) f(x h))],，F(xiàn)(x h)-F(x)=不規(guī)則帶的面積≈梯形面積=1/2h[f(x) f(x h)]

變上限積分

在[a,b]上可導(dǎo),，且其導(dǎo)數(shù)Φ’(x)=f(x).變上限積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)在上限處的值，從幾何上看,，當f(t) ≥0(∨t∈[a,b])時,，△Φ表示x軸上以[x,x △x]( △x>0)為底，以y=f(x)為曲邊的窄條曲邊梯形的面積,，它除以底的長度△x顯示近似于在x點的高度f(x),當△x→0時,，這個近似值就成為精確值。

定積分就是微分f(x)dx的累計,，累計的范圍是從a到b,記為

也就是說作為整體性質(zhì)的定積分是由作為反映局部性質(zhì)的微分所組成的,。

定積分的概念的產(chǎn)生來源于計算平面上曲邊形的面積，解決的基本思路是用有限代替無限,。

不定積分的概念是為了解決求導(dǎo)和微分的逆運算而提出的,。

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4.1 正方形鐵皮， 邊長為a,截去四角,，做成一個無蓋的盒子,，怎樣截角可能做到盒子體積最大？

也就是說,，當每個角截去連長a的1/6時,，做成的盒子的體積（(2/27)a^3）最大。

4.2 一張A4紙大小的鐵皮,，截去四角,，做成一個無蓋的盒子，怎樣截角可能做到盒子容積最大,？

4.3 任意長寬的平面w*L

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5.1 求切線不過是求差,，求積分不過是求和 ↓

5.2 切線(連接距離無限小的兩個點) ↓

5.3 割線斜率的極限 ↓

5.4 斜率(間接地逼近) ↓

5.5 求導(dǎo)過程 ↓

5.6 牛頓方法 ↓

5.7 基本求導(dǎo)和積分公式 ↓

5.8 面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ↓

5.9 面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是原曲線函數(shù)(面積近似于梯形) ↓

5.10 面積函數(shù)與曲線函數(shù) ↓

5.11 微積分基本定理的啟發(fā)式推導(dǎo) ↓

記得剛參加工作那會，剛好是農(nóng)村責(zé)任田按每家每戶人口數(shù)量調(diào)整的時候,。對責(zé)任田的丈量涉及到兩個知識點,，一是單位的換算，農(nóng)村習(xí)慣使用的單位是多少畝多少分的田（1畝=10分=666.67平米）,；二是責(zé)任田的形狀確定的問題,。

因為大部分田的形狀并不是規(guī)整的幾何形狀,，對于形狀不規(guī)整的田的面積的丈量，其思路也很簡單,，就是劃分出若干小的規(guī)整的形狀,，對于一些形狀也可以是割多填少的方式，通過測量每個劃分出的小形狀（如方形,、梯形等）并匯總這些小形狀的面積即可,。自然，劃分得越細,，最后求和得出的數(shù)據(jù)與實際的面積越接近。

The End