美是人類創(chuàng)造性實(shí)踐活動(dòng)的產(chǎn)物，是人類本質(zhì)力量的感性顯現(xiàn)。通常我們所說的美以自然美,、社會(huì)美以及在此基礎(chǔ)上的藝術(shù)美,、科學(xué)美的形式存在。數(shù)學(xué)美是自然美的客觀反映,，是科學(xué)美的核心。簡(jiǎn)言之?dāng)?shù)學(xué)美就是數(shù)學(xué)中奇妙的有規(guī)律的讓人愉悅的美的東西。德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因曾對(duì)數(shù)學(xué)美作過這樣的描述：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷,，繪畫使人賞心悅目,，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善物質(zhì)生活,，但數(shù)學(xué)卻能提供以上一切?！庇谑牵贫鴱V之,，我們?nèi)裟芤砸环N欣賞的眼光去認(rèn)識(shí),，學(xué)習(xí)，研究定積分,，那么學(xué)習(xí)定積分的過程將會(huì)是令人愉快的,。

符號(hào)美

所謂定積分,，其形式為

∫“為拉丁文summa首字母的拉長(zhǎng)，讀作：“sum”，即”求和“（積分）之意。萊布尼茨于1675年以“omn.l”表示l的總和（積分（Integrals）），而omn為omnia（意即所有、全部）之縮寫。其后他又改寫為∫,，以“∫l”表示所有l(wèi)的總和（Summa）,。,。此外，他又于1694年至1695年之間,，于∫號(hào)后置一逗號(hào),，如∫,xxdx,。至1698年，約．伯努利把逗號(hào)去掉，后更發(fā)展為現(xiàn)今之用法。

“d”為英文differential,differentiation的首個(gè)字母，即”差”,。,，1675年萊布尼茲分別引入「dx」及「dy」以表示x和y的微分（differentials）,.始見于他在1684年出版的書中,這符號(hào)一直沿用至今.,其中與微分概念及符號(hào)d相關(guān)的英文單詞有divide,decrease,delta等.另外,符號(hào)D又叫微分算子.

德國(guó)的萊布尼茨,，1684年,，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn),，《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無(wú)理量,，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》,。他以含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則。1686年,，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn),。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào),，遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào),，這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響。現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的,。

本質(zhì)美

之所以稱其為定積分,，是因?yàn)樗e分后得出的值是確定的，是一個(gè)數(shù),，而不是一個(gè)函數(shù),。定積分的正式名稱是黎曼積分。用黎曼自己的話來(lái)說,，就是把直角坐標(biāo)系上的函數(shù)的圖象用平行于y軸的直線把其分割成無(wú)數(shù)個(gè)矩形,，然后把某個(gè)區(qū)間[a,b]上的矩形累加起來(lái)，所得到的就是這個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間[a,b]的面積,。實(shí)際上,，定積分的上下限就是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)a,b。

直與曲是兩個(gè)完全不同的概念,從直觀圖形看,前者平直后者彎曲; 從幾何特性看,前者曲率為零, 后者曲率不恒為零; 從代數(shù)表達(dá)式看,前者是線性方程,后者是非線性方程,因此二者的差別是明顯的. 但定積分的定義更一般地,、深刻地體現(xiàn)了由曲轉(zhuǎn)化為直,直轉(zhuǎn)化為曲的辯證思想,它本質(zhì)上是先微“分” 后積“分”的過程. 在定積分定義的第一步,在分割條件下實(shí)現(xiàn)了“以直代曲”,即實(shí)際上是在每個(gè)小曲邊梯形中把曲邊看成直邊,于是用這些“小直邊梯形”的面積近似地代替小曲邊梯形的面積. 第三步中把分 割無(wú)限加細(xì),通過取極限,使小直邊梯形面積的和轉(zhuǎn)化為原來(lái)大的曲邊梯形的面積. 這樣一來(lái),局部的 “直”經(jīng)過無(wú)限累加又反過來(lái)轉(zhuǎn)化為整體的“曲”,最后得到了曲邊梯形的面積,。

計(jì)算美

相對(duì)于定積分，還有不定積分,。

積分還可以分為兩部分,。第一種，是單純的積分,，也就是已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù),，而若F(x)的導(dǎo)數(shù)是f(x)，那么F(x)+C（C是常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)也是f(x),，也就是說,，把f(x)積分，不一定能得到F(x),，因?yàn)镕(x)+C的導(dǎo)數(shù)也是f(x),，C是任意的常數(shù),，所以f(x)積分的結(jié)果有無(wú)數(shù)個(gè)，是不確定的,，我們一律用F(x)+C代替,，這就稱為不定積分。用公式表示是:

定積分的本質(zhì)是把圖象無(wú)限細(xì)分,，再累加起來(lái)，而積分的本質(zhì)是求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù),。它們看起來(lái)沒有任何的聯(lián)系,，那么為什么定積分寫成積分的形式呢？定積分與不定積分看起來(lái)風(fēng)馬牛不相及,，但是由于一個(gè)數(shù)學(xué)上重要的理論的支撐,，使得它們有了本質(zhì)的密切關(guān)系。把一個(gè)圖形無(wú)限細(xì)分再累加,，這似乎是不可能的事情,，但是由于這個(gè)理論，可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算積分,。這個(gè)重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式,，它的內(nèi)容是：

如果

那么

但是這里x出現(xiàn)了兩種意義，一是表示積分上限,，二是表示被積函數(shù)的自變量,，但定積分中被積函數(shù)的自變量取一個(gè)定值是沒意義的。雖然這種寫法是可以的,，但習(xí)慣上常把被積函數(shù)的自變量改成別的字母如t,，這樣意義就非常清楚了：

牛頓-萊布尼茲公式用文字表述，就是說一個(gè)定積分式的值,，就是上限在原函數(shù)的值與下限在原函數(shù)的值的差,。牛頓-萊布尼茨公式給定積分提供了一個(gè)有效而簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，大大簡(jiǎn)化了定積分的計(jì)算過程,。正這個(gè)理論揭示了積分與黎曼積分本質(zhì)的聯(lián)系,，可見其在微積分學(xué)乃至整個(gè)高等數(shù)學(xué)上的重要地位，因此,，牛頓-萊布尼茲公式（這可是一段非常有趣的數(shù)學(xué)史?。┮脖环Q作微積分基本定理。

必須指出,，定積分是積分學(xué)的基本概念,，與不定積分不是并列的，從某種意義上說,，學(xué)習(xí)不定積分是為計(jì)算定積分服務(wù)的,。

對(duì)稱美

微分和積分是互為逆運(yùn)算,，所以，講到積分時(shí)提一下微分就顯得很有必要了,。

積分學(xué)是無(wú)限求和,，而微分學(xué)則是無(wú)限細(xì)分。微分是對(duì)函數(shù)的局部變化的一種線性描述,。微分可以近似地描述當(dāng)函數(shù)自變量的變化量取值作足夠小時(shí),，函數(shù)的值是怎樣改變的。比如,，x的變化量△x趨于0時(shí),，則記作微元dx。簡(jiǎn)單地說,，微分,，就是函數(shù)的局部線性近似，就是一個(gè)線性函數(shù),，局部看起來(lái)很接近原來(lái)的函數(shù),。也可以簡(jiǎn)單地記為，微分=局域線性化,。

然而,，直至十七世紀(jì)中葉，人類仍然認(rèn)為微分和積分是兩個(gè)獨(dú)立的觀念,。就在這個(gè)時(shí)候,，牛頓和萊布尼茨將微分及積分兩個(gè)貌似不相關(guān)的問題，透過「微積分基本定理」或「牛頓－萊布尼茨公式」聯(lián)系起來(lái),，說明求積分基本上是求微分之逆,，求微分也是求積分之逆。這是微積分理論中的基石,，是微積分發(fā)展一個(gè)重要的里程碑,。

思想美

根據(jù)定積分定義來(lái)源，我們可以總結(jié)出利用定積分的思想求曲邊梯形面積分為四個(gè)步驟：

1. 細(xì)分（量變 有限累積）

2. 取近似（階段性部分 質(zhì)變）

3. 求和（新的量變 無(wú)限累積）

4. 取極限（新的質(zhì)變）

我們將此種研究變化問題的方法稱為“微元,、定積分”法,，它是一種辨證的思想方法，它包含了有限與無(wú)限的對(duì)立統(tǒng)一,，近似與精確的 對(duì)立統(tǒng)一它把復(fù)雜的變化運(yùn)動(dòng)問題進(jìn)行時(shí)間,、空間 上的有限次分割，在有限小的范圍內(nèi)進(jìn)行近似處 理,，然后讓分割無(wú)限的進(jìn)行下去,，局部范圍無(wú)限變小，那么近似處理也就越來(lái)越精確，從而在理論上 得到精確的結(jié)果,。而微元,、定積分的方法就是把變化中的復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，利用分割法分許多無(wú) 窮小段,，把無(wú)限個(gè)小微元之和求出來(lái),，再用定積分求結(jié)果．通過這種思想，我們將看似的不可能變成了可能,，于是應(yīng)用這種思想我們就可以解決以下問題:

1. 解決求曲邊圖形的面積問題

2. 求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

3. 變力做功

4. 應(yīng)用定積分求立體的體積

定積分思想也可以簡(jiǎn)單地理解為用近似規(guī)則的方式來(lái)對(duì)不規(guī)則的事物進(jìn)行求和,。比如求一個(gè)圓形的面積，我們可以以圓心為重點(diǎn),，把整個(gè)圓劃分成無(wú)數(shù)個(gè)小的三角形(因?yàn)閮牲c(diǎn)之間無(wú)限小,，所以可以近似認(rèn)為這個(gè)三角形的底邊(弧形)為直線)，那么圓的面積就變成了無(wú)限個(gè)(比方說N)小三角形的面積之和,，而三角形的高則近似為圓的半徑R，那么圓形的面積就為, 2πR(周長(zhǎng),，所有底邊之和) * R(所有三角形的高) / 2 = πR*R,。 同理，橫坐標(biāo)代表時(shí)間,，縱坐標(biāo)代表速度,，即使你的速度不規(guī)律變化，但是路程(也就是速度曲線與橫坐標(biāo)覆蓋的面積),，也可以當(dāng)做高度不同的微小矩形的面積之和,。于是應(yīng)用這種思想我們就會(huì)得到好多實(shí)用而又有趣的結(jié)論，發(fā)散了我們的思維,。