幾個(gè)世紀(jì)以來(lái),，數(shù)學(xué)家們一直試圖理解和模擬流體的運(yùn)動(dòng)。流體方程也幫助研究人員預(yù)測(cè)天氣,，設(shè)計(jì)更好的飛機(jī),，描述血液如何流經(jīng)循環(huán)系統(tǒng)。當(dāng)用正確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫出這些方程時(shí),，它們看起來(lái)很簡(jiǎn)單,。然而，它們的解是如此復(fù)雜,，以至于即使是關(guān)于它們的基本問題也很難理解,。

數(shù)學(xué)的困難在于,，我們甚至不知道一個(gè)簡(jiǎn)單的流體方程是否有解

這些方程中最古老和最突出的一個(gè)是250多年前由萊昂哈德·歐拉提出的,，它描述了一種理想的不可壓縮流體的流動(dòng)。幾乎所有的非線性流體方程都是從歐拉方程推導(dǎo)出來(lái)的,。

然而,，關(guān)于歐拉方程還有很多未知之處，包括它們是否總是理想流體流動(dòng)的精確模型,。流體動(dòng)力學(xué)的核心問題之一是弄清楚這些方程是否會(huì)失敗,，輸出無(wú)意義的值，使它們無(wú)法預(yù)測(cè)流體未來(lái)的狀態(tài),。

數(shù)學(xué)家們長(zhǎng)期以來(lái)一直懷疑存在導(dǎo)致方程失效的初始條件,。但他們無(wú)法證明這一點(diǎn)。

在上個(gè)月發(fā)布在網(wǎng)上的預(yù)印本中,，兩位數(shù)學(xué)家證明了歐拉方程的一個(gè)特定版本有時(shí)確實(shí)會(huì)失敗,。這一證明標(biāo)志著一個(gè)重大突破——雖然它沒有完全解決更一般版本的方程的問題,，但它給我們帶來(lái)了希望，更一般的突破最終是可以實(shí)現(xiàn)的,。

長(zhǎng)達(dá)177頁(yè)的論文大量使用了計(jì)算機(jī),。可以說(shuō),，這使得其他數(shù)學(xué)家很難驗(yàn)證它,。這也迫使他們思考一些哲學(xué)問題，比如什么是“證明”,，以及如果解決這些重要問題的唯一可行方法是借助計(jì)算機(jī)的幫助,，這意味著什么。

發(fā)現(xiàn)奇點(diǎn)

原則上,，如果你知道流體中每個(gè)粒子的位置和速度,，歐拉方程應(yīng)該能夠預(yù)測(cè)流體將如何一直演變。但數(shù)學(xué)家們想知道事實(shí)是否如此,。也許在某些情況下,，方程會(huì)按照預(yù)期進(jìn)行，在任何給定時(shí)刻產(chǎn)生流體狀態(tài)的精確值,，只有其中一個(gè)值會(huì)突然飆升到無(wú)窮大,。在這一點(diǎn)上，歐拉方程被認(rèn)為產(chǎn)生了一個(gè)“奇點(diǎn)”,。

一旦它們到達(dá)奇點(diǎn),，這些方程就不能再計(jì)算流體的流量了?！暗驮趲啄昵?，人們所能做的還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠（證明奇點(diǎn)）”，普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)家查理·費(fèi)弗曼說(shuō),。

如果你試圖模擬一種具有粘性的流體（所有現(xiàn)實(shí)世界的流體）,，情況就會(huì)變得更加復(fù)雜。納維和斯托克斯改進(jìn)了歐拉方程,，使之適用于黏性流體,。他們得到的方程被稱為納維-斯托克斯方程。到現(xiàn)在,，數(shù)學(xué)家甚至不知道納維-斯托克斯方程是否有解,。

2013年，加州理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家托馬斯·侯（Thomas Hou）和香港恒生大學(xué)的Guo Luo提出了一種情況,，即歐拉方程會(huì)導(dǎo)致一個(gè)奇點(diǎn),。他們開發(fā)了一種計(jì)算機(jī)模擬圓柱體中的流體，該流體的上半部分順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，下半部分逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),。當(dāng)他們進(jìn)行模擬時(shí),，更復(fù)雜的流體開始上下移動(dòng)。這反過(guò)來(lái)又導(dǎo)致了沿著圓柱體邊界的奇怪行為,，在那里相反的流體相遇,。流體的渦量增長(zhǎng)得如此之快，以至于它似乎隨時(shí)都可能“爆炸（產(chǎn)生奇點(diǎn)）”,。

這一研究具有啟發(fā)性,，但不是真正的證據(jù)。這是因?yàn)橛?jì)算機(jī)不可能計(jì)算出無(wú)限的值,。它可以非常接近地看到奇點(diǎn)，但它不能真正到達(dá)奇點(diǎn),。如果沒有數(shù)學(xué)證明的支持,，渦量的值可能只會(huì)因?yàn)槟M的某種假像而看起來(lái)增加到無(wú)窮大。模擬會(huì)表明方程中的一個(gè)值“爆炸”了,，但更復(fù)雜的計(jì)算方法會(huì)顯示相反的結(jié)果,。

盡管如此，大多數(shù)數(shù)學(xué)家認(rèn)為侯和Luo的發(fā)現(xiàn)很可能是一個(gè)真正的奇點(diǎn),。但證據(jù)很難找到,。

證明奇點(diǎn)

現(xiàn)在，在第一次發(fā)現(xiàn)奇點(diǎn)9年后,，侯和他以前的研究生陳佳杰終于成功地證明了附近奇點(diǎn)的存在,。

侯利用了這樣一個(gè)事實(shí)：經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析，2013年的近似解似乎有一個(gè)特殊的結(jié)構(gòu),。隨著時(shí)間的推移,，這些方程的解呈現(xiàn)出一種所謂的自相似模式，它的形狀看起來(lái)很像它早期的形狀,，只是以一種特定的方式重新縮放,。

• 在研究這個(gè)問題近十年后，加州理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家托馬斯·侯證明,，歐拉方程可以在特定情況下發(fā)展出一個(gè)奇點(diǎn)?，F(xiàn)在，他把目光投向了更大的問題,。

因此,，數(shù)學(xué)家們不需要嘗試去觀察奇點(diǎn)本身。相反,，他們可以通過(guò)關(guān)注更早的時(shí)間點(diǎn)來(lái)間接地研究它,。通過(guò)以正確的速率放大解的這部分（這是由解的自相似結(jié)構(gòu)決定的），他們可以模擬之后會(huì)發(fā)生什么，包括在奇點(diǎn)本身,。

有了一個(gè)近似的自相似解,，侯和陳需要證明附近存在一個(gè)精確解。在數(shù)學(xué)上,，這相當(dāng)于證明它們的近似自相似解是穩(wěn)定的,。

但制定一個(gè)總體戰(zhàn)略只是解決方案的一步。繁瑣的細(xì)節(jié)很重要,。在接下來(lái)的幾年里,，侯和陳花了很多時(shí)間研究這些細(xì)節(jié)，他們發(fā)現(xiàn)他們不得不再次依靠電腦,，但這一次是以一種全新的方式,。

人機(jī)合作

他們面臨的第一個(gè)挑戰(zhàn)是找出他們必須證明的確切命題。他們想要證明的是,，如果取一組接近其近似解的值并將其代入方程,，輸出不會(huì)偏離太遠(yuǎn)。但是輸入“接近”近似解意味著什么呢,？他們必須用數(shù)學(xué)表述來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn),，但在這種情況下，有很多方法來(lái)定義距離的概念,。

一旦他們有了描述“接近性”的正確方法,，侯和陳就必須證明這一命題，這可以歸結(jié)為一個(gè)復(fù)雜的不等式,，包括重新縮放的方程和近似解的項(xiàng),。數(shù)學(xué)家們必須確保所有這些項(xiàng)的值都平衡到一個(gè)非常小的值。

為了在所有這些不同的條件下得到他們需要的緊邊界,，侯和陳把不等式分成兩個(gè)主要部分,。他們可以用手工處理第一部分。第二部分需要計(jì)算機(jī)的幫助,。首先,，有太多的計(jì)算需要做，需要很高的精確度,，這些問題對(duì)計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)相對(duì)容易,。

但由于計(jì)算機(jī)不能處理無(wú)限數(shù)量的數(shù)字，微小的錯(cuò)誤不可避免地會(huì)發(fā)生,。侯和陳必須小心地跟蹤這些錯(cuò)誤,，以確保它們不會(huì)干擾到其他的平衡行為。最終,，他們找到了所有項(xiàng)的邊界,，完成了證明：方程確實(shí)產(chǎn)生了一個(gè)奇點(diǎn)。

電腦證明

更復(fù)雜的方程——不存在圓柱邊界的歐拉方程和納維埃-斯托克斯方程——是否能產(chǎn)生奇點(diǎn)仍然是一個(gè)未知數(shù)。

但這至少給了我希望,。我看到了一條前進(jìn)的道路,，甚至有可能最終解決整個(gè)千禧問題（納維-斯托克斯方程可解性問題）。

與此同時(shí),，研究人員正在研究計(jì)算機(jī)輔助證明,，他們希望，計(jì)算機(jī)不僅能夠幫助解決特定流體方程的奇點(diǎn)問題,，還能夠解決其他幾十個(gè)問題,。這些努力標(biāo)志著流體動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域一個(gè)日益增長(zhǎng)的趨勢(shì)：使用計(jì)算機(jī)解決重要問題。

但是在流體力學(xué)中,，計(jì)算機(jī)輔助證明仍然是一種相對(duì)較新的技術(shù),。數(shù)學(xué)家們普遍認(rèn)為，一個(gè)證明必須說(shuō)服其他數(shù)學(xué)家相信某條推理線是正確的,。但是,，它還應(yīng)該提高他們對(duì)某一特定陳述為何正確的理解，而不僅僅是提供對(duì)其正確性的驗(yàn)證,。還有數(shù)學(xué)家則將計(jì)算機(jī)視為一種重要的新工具，它將使攻克以前棘手的問題成為可能,。解決流體動(dòng)力學(xué)中的大問題的唯一方法,，可能是嚴(yán)重依賴計(jì)算機(jī)輔助。