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在科學(xué)研究中，經(jīng)常需要解含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程,，這就是微分方程,。如果方程中只含有對未知函數(shù)的一個自變量的導(dǎo)數(shù)，這個方程就被稱為常微分方程,，如果方程中含有對未知函數(shù)的多個自變量的導(dǎo)數(shù),，這個方程就是偏微分方程。求解微分方程的基礎(chǔ)是求解常微分方程,，含有任意個自變量的偏微分方程可以通過某種途徑轉(zhuǎn)化成多個常微分方程,。在常微分方程中，最常見的是二階常微分方程,，即含有對未知函數(shù)的自變量求二階導(dǎo)數(shù)的微分方程,。在二階微分方程中，二階線性齊次常微分方程又是最基本的微分方程,，因此,，我們來討論這種最基本的常微分方程。 二階線性齊次常微分方程具有如下的標準形式： 
其中對自變量的最高階導(dǎo)數(shù)是二階導(dǎo)數(shù),，它前面的系數(shù)等于1,。對于更高階的微分方程，也會寫成類似這樣一種標準形式,，它能夠直接告訴我們這個方程的最高階導(dǎo)數(shù)項是哪一階導(dǎo)數(shù),。在二階常微分方程的這個標準形式中,，如果兩個系數(shù)在某點都是解析的，該點就叫做方程的常點,；如果至少有一個系數(shù)在某點不解析,，該點就叫做方程的奇點。對于無窮遠點,，必須作變換 t=1/z,，由此得到 dt/dz=-t2，利用這個結(jié)果將對 z 求導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換成對 t 求導(dǎo)數(shù),。對 z 求一階導(dǎo)數(shù)是這樣轉(zhuǎn)換的：
對 z 求二階導(dǎo)數(shù)是這樣轉(zhuǎn)換的：
把它們代入以 z 為自變量的標準方程中,，得到一個以 t 為自變量的方程：
就能夠明顯地看出，上述方程具有二階常微分方程的標準形式,，只不過自變量由 z 變成 t 吧了：
現(xiàn)在,，只要按照前面的方式，考察 t=0 點的特性,，就可以對無窮遠點的奇異性做出判斷,。
一個簡單的例子是勒讓德方程，這是在科學(xué)研究中經(jīng)常遇到的一個常微分方程,，許多微分方程經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)變換最終都可以化為勒讓德方程： 
把這個方程改寫成標準形式,，就得到兩個系數(shù)：
顯然，在 z=±1 這兩個點,，兩個系數(shù)不解析,。對于無窮遠點，方程的兩個系數(shù)具有以下形式：
我們看到,，t=0 是其中一個系數(shù)的奇點,。由此可見,，勒讓德方程有三個奇點：z=±1,∞,。另一個例子是超幾何方程。超幾何方程也是在科學(xué)研究中經(jīng)常遇到的一個微分方程：
許多實際的物理方程經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)變換最終都可以化為超幾何方程,。把這個方程寫成標準形式,，就得到它的兩個系數(shù)：
結(jié)果發(fā)現(xiàn)，z=0,1 是兩個系數(shù)的奇點,。對于無窮遠點,，兩個以 t 為自變量的系數(shù)
我們又得到了 t=0 這個奇點。于是,，超幾何方程也有三個奇點：z=0,1,∞,。讓我們回到求解常微分方程的理論問題上去。如果常微分方程
的兩個系數(shù)在圓 |z-z?|<R 內(nèi)單值解析,，則在這個圓內(nèi),，以下初值問題
有唯一的解,，它在這個圓內(nèi)單值解析。于是,，可以把初值點作為展開點,，將常微分方程的解在初值點的這個鄰域圓內(nèi)展開成泰勒級數(shù)：
有了這兩個基本系數(shù),，把解的級數(shù)表達式代入微分方程中，通過比較就可以得到各個系數(shù)之間的遞推關(guān)系,，從而得到唯一的解,。
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