這篇文章，我將教你五種求解微分方程的方法,，這些方法對物理學(xué)非常有用,。從最簡單的方法開始，逐步到最抽象但也最強(qiáng)大的方法,。事實(shí)上,，每當(dāng)你想解決物理問題時(shí)，你幾乎都會(huì)遇到一個(gè)微分方程,。在牛頓力學(xué)中,，我們要將物體上的所有力相加,，將其代入F=ma方程,，或者更好地說,，m乘以位置的二階導(dǎo)數(shù)，然后求解這個(gè)微分方程,，得到位置關(guān)于時(shí)間的函數(shù),。這并不難。但是,，當(dāng)你學(xué)習(xí)越來越多的物理知識時(shí),，你會(huì)很快發(fā)現(xiàn)F=ma方程可能變得非常難（求解），即使對于一開始看起來相當(dāng)簡單的問題,。因此,，擁有一個(gè)解微分方程的工具包非常重要，你將在整個(gè)物理學(xué)習(xí)過程中遇到許多這樣的方程,。我們將使用一個(gè)最簡單但也可以說是經(jīng)典力學(xué)中最重要的微分方程來掌握求解微分方程的方法,，即簡諧振子方程（simple harmonic oscillator）——就是一個(gè)物體連接到彈簧的F=ma方程。我們首先將看到一些相對基本的方法來解這樣的方程,，這將在經(jīng)典力學(xué)和更高級的問題中幫助你走得更遠(yuǎn),，比如通過代換或使用能量守恒來求解。但是,，在我們繼續(xù)深入學(xué)習(xí)的過程中,，我將向你介紹一些越來越復(fù)雜的技巧，如使用級數(shù)展開來求解方程,，這也為我們提供了一種新的可視化解決方案的方法,，稱為相空間流（flow on face space）,，讓我們開始吧。首先,，讓我快速回顧一下這個(gè)微分方程的來源,。設(shè)置一個(gè)質(zhì)量為m的物體，放在無摩擦的桌子上,，連接到一個(gè)剛度為K的彈簧,。在平衡狀態(tài)下，彈簧既不拉伸也不壓縮,，物體可以安靜地停在那里,，我們稱之為x等于零的位置。但是,，如果我們將物體從這個(gè)位置滑開,，彈簧現(xiàn)在會(huì)施加一個(gè)力-Kx，試圖將物體拉回到平衡位置,。那么F=ma方程就是m乘以x的二階導(dǎo)數(shù)（加速度）等于力-kx,。現(xiàn)在假設(shè)我們將物體拉到一個(gè)初始位置x_0,，然后從靜止?fàn)顟B(tài)釋放它。拉伸的彈簧將物體向平衡位置的左側(cè)拉回,，但是物體超過了x等于零的位置,，向平衡位置的左側(cè)移動(dòng)。彈簧被壓縮并將物體向右推回,，如此反復(fù)進(jìn)行,，使物體在平衡位置附近來回振蕩。這就是我們所說的簡諧運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在,，讓我們看看如何從這個(gè)方程中求解運(yùn)動(dòng)。我們要求的是x(t),，物體位置作為時(shí)間的函數(shù),，而F=ma方程是一個(gè)微分方程，因?yàn)樗婕暗竭@個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),。它表示x關(guān)于t的二階導(dǎo)數(shù)等于1,、代換法首先是第一種方法,，這可能聽起來有點(diǎn)可笑，但老實(shí)說,，你可以做的第一件事,，特別是對于像這樣看起來相對簡單的方程，就是嘗試猜測解,。我們要問自己是否能想到一個(gè)函數(shù),，當(dāng)它求導(dǎo)兩次時(shí)，得到的是x乘以一個(gè)負(fù)數(shù),。那么滿足這種性質(zhì)的函數(shù)是什么呢,？利用物理直覺，即物體會(huì)在平衡位置附近來回振蕩,，我們可以想到正弦和余弦這樣的函數(shù),。所以讓我們猜測一個(gè)形如的函數(shù)，其中A和ω是我們還不知道的一些常數(shù),。我們要看看是否可以選擇它們來解方程,。我們必須在那里放一些常數(shù)，以便獲得正確的單位,。x應(yīng)該是一個(gè)長度,，用米表示。這意味著A的單位也應(yīng)該是米。括號里,，ΩT必須用弧度來衡量,，而弧度是無量綱的，所以Ω必須是以弧度/秒為單位,，以便抵消時(shí)間t的秒單位。讓我們把這個(gè)猜測代入方程,，看看它是否真的有效,。余弦的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的正弦，根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t,，我們還需要將其乘以括號里的函數(shù)關(guān)于t的導(dǎo)數(shù),，這會(huì)得到一個(gè)Ω的因子。現(xiàn)在再求一次導(dǎo)數(shù),，得到二階導(dǎo)數(shù),。這次，正弦的導(dǎo)數(shù)是余弦,，鏈?zhǔn)椒▌t再次得到一個(gè)Ω的因子,。我們的猜測給出了二階導(dǎo)數(shù)，但它能解這個(gè)微分方程嗎,？看起來很有希望,，因?yàn)樗硎緓的二階導(dǎo)數(shù)確實(shí)等于x乘以一個(gè)常數(shù)。我們需要做的就是選擇這個(gè)數(shù)字Ω2,，使其與微分方程中出現(xiàn)的k/m的比值相同,。那么，如果我們選擇這個(gè)值作為Ω,，那么x(t) = Acos(ΩT)將確實(shí)滿足方程,。那么這就完了嗎？還沒有,，首先,，sin(Ωt)函數(shù)也可以滿足這個(gè)性質(zhì)，與cos(ωt)一樣,。因此,，更一般地說，我們可以將這兩者相加,，以得到這種形式的解,，這是有效的，因?yàn)?strong>微分方程是線性的,，這意味著我們只有x及其導(dǎo)數(shù)的單次冪,。但是我們應(yīng)該怎么處理這兩個(gè)常數(shù)A和B呢？這讓我們想到了關(guān)于求解微分方程的一個(gè)非常重要的觀點(diǎn)：方程本身只是解的一半,。我們還必須指定想要滿足的初始條件,，以便得到具體問題的解,。從物理上講，這完全有道理,。當(dāng)你把一個(gè)球向空中扔去時(shí),，我們需要知道你扔球的初始位置和初始速度，以便能夠說出它將遵循的軌跡,。同樣,，我們需要知道物體的初始位置和初始速度，以便確定其隨后的位置,。在這種情況下,，我們從x_0的初始位置靜止釋放物體，這就得到了兩個(gè)初始條件,，數(shù)學(xué)上,，我們需要兩個(gè)初始條件的事實(shí)是因?yàn)?strong>微分方程是二階的，這意味著出現(xiàn)的最高導(dǎo)數(shù)是x的二階導(dǎo)數(shù),。當(dāng)我們將t等于0代入時(shí),，正弦消失，余弦等于1,，所以我們最好將A設(shè)為x_0,，以便解具體問題。同樣,，要讓初始速度為零,，你會(huì)發(fā)現(xiàn)我們需要將B設(shè)為零，這使我們得到x(t) = x_0cos(Ωt),，其中Ω由彈簧的剛度和物體的質(zhì)量所決定,。這看起來和我們預(yù)期的差不多，物體從初始位移x_0處開始靜止,，當(dāng)我們松開它時(shí),，它在平衡點(diǎn)附近來回振蕩，其中Ω控制振蕩的速度,。所以我們已經(jīng)解出了這個(gè)微分方程,，連同初始條件，通過將一個(gè)帶有常數(shù)的猜測或解代入,，看看如何選擇常數(shù)以得到解,。這種方法對于像這樣的線性方程通常是有效的，其中A,、B和C是一些常數(shù),。通常，會(huì)選擇一個(gè)指數(shù)函數(shù)作為猜測，把它代入微分方程,，看看這些常數(shù)的條件如何?，F(xiàn)在，我們將繼續(xù)使用簡諧振蕩方程,，并介紹四種其他非常強(qiáng)大的方法,。2、能量守恒當(dāng)我們將物體的動(dòng)能（kinetic）與彈簧的勢能（potential）相加時(shí),，會(huì)得到一個(gè)常數(shù)值,，即總能量。這并不明顯,，因?yàn)殡S著物體來回滑動(dòng)，x和dx/dt都會(huì)隨著時(shí)間變化,。但是,，當(dāng)我們以這種特殊的組合將它們加在一起時(shí)，t消失了,，得到了一個(gè)常數(shù)E,。要檢查這是否成立，可以對E求導(dǎo),，然后觀察其導(dǎo)數(shù)是否等于零,。所以當(dāng)我們在x_0的位置釋放物體時(shí),，所有的能量都存儲(chǔ)在彈簧的勢能中。因?yàn)槭菑撵o止?fàn)顟B(tài)釋放的物體,，所以沒有動(dòng)能,。然后，當(dāng)我們松開它時(shí),，物體開始加速,，彈簧開始松弛，勢能變小,，動(dòng)能增加,。當(dāng)它達(dá)到x等于零時(shí)，所有的勢能都變成了動(dòng)能,。能量在動(dòng)能和勢能之間來回轉(zhuǎn)換,，但總能量永遠(yuǎn)不會(huì)改變，它始終保持著最初的值,，我們將看到,，可以使用這個(gè)能量守恒方程來求解物體的軌跡。這又是一個(gè)關(guān)于x的微分方程，但請注意,，它只涉及x的一階導(dǎo)數(shù),，而不是像F=ma那樣的二階導(dǎo)數(shù)。我還將使用相同的符號Ω平方,，表示k和m之間的比率，最后,，我們可以開方,，得到一個(gè)關(guān)于dx/dt的方程，令人驚訝的是,，這個(gè)方程告訴我們,，物體的速度是它位置x的函數(shù)。如果我們知道物體的位置,，我們就知道彈簧被拉伸或壓縮的程度,，因此知道其中存儲(chǔ)了多少勢能。然后,，能量守恒告訴我們剩余的動(dòng)能有多少,，從而可以知道物體的速度。因此,，當(dāng)物體從x_0被釋放時(shí),，速度等于零。但是當(dāng)彈簧將物體拉回到平衡位置,，即x等于零時(shí),，它加速到最大速度，得到dx/dt等于Ωx_0,。實(shí)際上,，應(yīng)該得到負(fù)數(shù)，因?yàn)槲矬w是向左移動(dòng)的,。因此,，在開方時(shí)應(yīng)該小心，當(dāng)物體向左移動(dòng)時(shí),，我們?nèi)∝?fù)號,；當(dāng)它轉(zhuǎn)向并回到右邊時(shí)，我們?nèi)≌枴,，F(xiàn)在我們可以通過再次積分來求解x（t）,，將平方根分到左邊，將dt乘到右邊,，以分離變量,。接下來我們對這個(gè)方程的兩邊進(jìn)行積分,。右邊的積分非常簡單，是t加上一些積分常數(shù)c,。x的積分有點(diǎn)困難,，你可以使用三角函數(shù)替換或者直接查表，得到也可以在這里添加另一個(gè)積分常數(shù),，但我們可以將其吸收到右邊的常數(shù)C中,。差不多完成了,。余弦不在乎你輸入的是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，它是一個(gè)偶函數(shù),，所以我們可以丟棄加號或減號,，至于C，當(dāng)插入t等于0時(shí),，我們想要得到x_0,。所以我們可以將c設(shè)置為零。最后,，我們得到和第一種方法得到的結(jié)果相同,。因此,，能量守恒也讓我們很容易地得到微分方程的解,，實(shí)際上，這種方法經(jīng)?？梢猿晒鉀Q更難的問題,，即使第一種方法行不通。現(xiàn)在我們已經(jīng)看到了解簡諧振子方程的兩種不同方法,。我現(xiàn)在想向你展示一些更強(qiáng)大的方法,，當(dāng)你面對更難的方程時(shí)，它們會(huì)派上用場,。3,、級數(shù)展開這個(gè)方法可能是我們在這里看到的所有方法中最通用的，你可以將它應(yīng)用到幾乎所有的微分方程中,，以獲得精確或者僅僅是近似的解,。這個(gè)方法的思路是，無論微分方程的解x(t)可能是什么,，我們幾乎總是可以將其展開為泰勒級數(shù),，至少在某個(gè)范圍內(nèi)表現(xiàn)良好的情況下是如此。問題是,，我們?nèi)绾斡?jì)算出這些系數(shù)呢,？首先,，讓我們施加初始條件，當(dāng)我們將t等于0代入級數(shù)展開時(shí),，所有的t都消失了,，得到x(0)等于a_0，所以我們希望將其設(shè)為x_0,，以符合物體的初始位置,。要施加初始速度為零的條件，我們需要對級數(shù)求導(dǎo),，得到現(xiàn)在,，當(dāng)我們將t等于0代入時(shí)，得到a_1,，因此我們希望將其設(shè)為零,。目前為止，我們已經(jīng)找到了a_0和a_1,，但仍然有無窮多的系數(shù)需要確定,。所以下一步我們需要做的是將展開式代入微分方程，我們需要對級數(shù)再求一次導(dǎo)數(shù),，以獲得加速度,現(xiàn)在我們將Ω^2·x加到整個(gè)式子上,，并將整個(gè)式子設(shè)為零。如果我們希望用這個(gè)級數(shù)來解微分方程,，所有下面這些紅框中的項(xiàng)都需要消失。每個(gè)時(shí)間t的系數(shù)都要分別等于零,，這是唯一可能實(shí)現(xiàn)的方法,。所以，我們要逐項(xiàng)遍歷級數(shù),，并要求每個(gè)括號中的因子都是零,。讓我們從奇數(shù)項(xiàng)開始，t項(xiàng)的系數(shù)是所以要使其為零,，我們需要選擇a_3等于零,。同樣地，我們也可以注意到在t^3項(xiàng)中有一個(gè)a_3,，所以我們也將其刪除,，但現(xiàn)在，t^3項(xiàng)的系數(shù)是5·4·a_5,，所以要使其為零,，我們還需要將a_5設(shè)為零。所有奇數(shù)項(xiàng)都會(huì)發(fā)生同樣的情況,，所以我們得出結(jié)論,，所有奇數(shù)系數(shù)都等于零,。現(xiàn)在讓我們繼續(xù)處理偶數(shù)項(xiàng)。零次項(xiàng)接下來,，對于t^2項(xiàng)，將其設(shè)為零,，再次求解得到a_4,，不要過于擔(dān)心這些代數(shù)運(yùn)算，關(guān)鍵是你已經(jīng)看到這里的規(guī)律,。下面是我們得到的級數(shù)解的前幾項(xiàng),，現(xiàn)在,，這個(gè)級數(shù)看起來像你知道的任何函數(shù)的泰勒級數(shù)嗎？沒錯(cuò),，括號中的求和就是余弦的泰勒級數(shù),，所以令人欣慰的是，我們再次發(fā)現(xiàn)正如我所提到的,，這樣的級數(shù)展開是解決各種微分方程的極為通用的方法,。它們并不總是能簡化為一個(gè)簡單的函數(shù)，但這并不影響它們作為方程解的有效性,。讓我們繼續(xù)下一個(gè)方法,。4、拉普拉斯變換使用積分變換來解微分方程,，這要更高級一些,。有很多種積分變換,。對于我們今天要解決的問題,，最有用的是拉普拉斯變換。拉普拉斯變換是一種將位置函數(shù)x(t)乘以e^(-st),，其中s是一個(gè)新的變量,，然后對t從0積分到無窮大，這種變換在處理微分方程時(shí)具有神奇的屬性,。你應(yīng)該將其視為這里有兩個(gè)空間：t空間，原始函數(shù)x(t)所在的空間,；s空間,，原始函數(shù)的拉普拉斯變換舉幾個(gè)例子,，如果x(t)是一個(gè)常數(shù),，比如x(t)=1,，那么它在t空間中就是一條水平線，你可以很容易地證明它在s空間中的拉普拉斯變換（通過進(jìn)行這個(gè)積分）是1/s,。或者對于彈簧上的物體,，我們發(fā)現(xiàn)（而且馬上又會(huì)發(fā)現(xiàn)）它在t空間中振蕩方程是，x(t)=x_0cos(ωt),；在s空間中,，它的拉普拉斯變換是一個(gè)有理函數(shù)，即我們可以通過這個(gè)積分從t空間轉(zhuǎn)換到s空間,，但這又有什么用呢,？為什么會(huì)想到這樣做？它如何幫助我們解像簡諧振子這樣的微分方程呢,？原因在于拉普拉斯變換在導(dǎo)數(shù)上的作用具有美麗而簡單的方式,。當(dāng)我們對導(dǎo)數(shù)dx/dt進(jìn)行變換時(shí)，它變成了（下紅框中的函數(shù)）換句話說,，在t空間中求導(dǎo)數(shù)等同于在s空間中簡單地乘以s,，最多只需移位x_0。這是由于在拉普拉斯變換積分中使用分部積分得出的結(jié)果,。關(guān)鍵是,，由于這個(gè)美麗的性質(zhì)，拉普拉斯變換可以將關(guān)于x(t)的微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程,。讓我們看看對于簡諧振子方程這是如何工作的,。在右側(cè),，只需對x（t）進(jìn)行拉普拉斯變換即可,。在左側(cè)，我們需要連續(xù)兩次使用導(dǎo)數(shù)規(guī)則,。經(jīng)過計(jì)算,，會(huì)得到我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)將微分方程轉(zhuǎn)換到s空間時(shí),，它變成正如我前面所說，這里不再有導(dǎo)數(shù),。拉普拉斯變換將x(t)微分方程轉(zhuǎn)換成了關(guān)于的代數(shù)方程,，這個(gè)方程更容易解，稍作變換即得到,，這就是在s空間中的解,。最后，我們只需要將其轉(zhuǎn)換回t空間,。有一個(gè)通用公式可以實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn),，但實(shí)際上,，很多時(shí)候查拉普拉斯變換表會(huì)更快。維基百科上就有一個(gè)不錯(cuò)的表格,，你可以在其中找到你需要的變換,。這個(gè)函數(shù)是x_0cos(Ωt)的拉普拉斯變換，因此這就是原始方程的解,。所以第4種方法是,，從線性微分方程開始，應(yīng)用拉普拉斯變換,，試圖將其轉(zhuǎn)換成關(guān)于的代數(shù)方程,，解出代數(shù)方程，最后將其轉(zhuǎn)換回x(t),。5,、哈密頓流我們現(xiàn)在已經(jīng)進(jìn)入了最后階段，也許最迷人的方法就是哈密頓方程和相空間中的流,。我們從彈簧上物體的F=ma方程開始,。注意力等于m乘以dx/dt的導(dǎo)數(shù)，換句話說,，力是動(dòng)量p的導(dǎo)數(shù),，這就是牛頓第二定律，力-kx等于動(dòng)量的變化率,，數(shù)學(xué)上,，這使我們可以將最初的二階微分方程替換為一對一階方程，這些被稱為哈密頓方程（Hamilton's equations）,。這對方程與F=ma包含的內(nèi)容完全相同,。我只是將其分成了兩部分。使用一階方程有一些很大的優(yōu)勢,。為了理解它為什么有幫助,，讓我們畫一個(gè)以x為橫軸，p為縱軸的圖,。這個(gè)圖被稱為相空間,，這個(gè)平面上的每個(gè)點(diǎn)都告訴我們物體在任何給定時(shí)刻的位置和動(dòng)量（或等效地說,，速度）,。例如，當(dāng)我們將物體拉到初始位置并使其靜止時(shí),，初始狀態(tài)對應(yīng)于這里的水平軸上的點(diǎn),，其中x等于x_0，p等于零,。當(dāng)松開它時(shí),，物體開始移動(dòng),，所以這些x和p坐標(biāo)會(huì)隨著時(shí)間變化，因此這個(gè)平面上的點(diǎn)會(huì)隨著時(shí)間移動(dòng),，并沿著一條曲線移動(dòng),，這條曲線被稱為流（flow）。流確實(shí)是一個(gè)很好的名字,，我希望你能將這個(gè)平面想象成一個(gè)流動(dòng)的水面,，然后我們拿一個(gè)像乒乓球放在初始條件點(diǎn)上。水流會(huì)帶走球,，使其在水面上移動(dòng),。流就是球在水中所遵循的路徑。那么,，究竟什么決定了水流的形狀和強(qiáng)度呢,？那就是微分方程。將這兩個(gè)方程寫成一個(gè)矢量方程會(huì)很有幫助,。在這里,，x和p是水面上乒乓球的坐標(biāo)，它們的時(shí)間導(dǎo)數(shù)告訴我們每個(gè)點(diǎn)上球的速度矢量,。在初始點(diǎn)這里,，x為正，p為零,，那么水平分量的速度矢量為零,，垂直分量為負(fù)，所以在那一點(diǎn)上,，虛構(gòu)的乒乓球的速度指向正下方,。同樣，我們可以在這個(gè)平面上的每個(gè)點(diǎn)畫出這個(gè)速度矢量,。這些箭頭告訴我們平面上的流動(dòng)如何旋轉(zhuǎn),，并決定了乒乓球?qū)⑷绾我苿?dòng)。你可以看到它們圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn),，那是平衡點(diǎn),。我在這里用顏色來表示流的強(qiáng)度，中間黃色箭頭的流最小,，外圍紅色箭頭的流更大,。從初始條件開始沿著這些矢量，我們看到流是一個(gè)環(huán)繞原點(diǎn)的橢圓,，物體在平衡點(diǎn)附近來回振蕩,。這是一種更抽象的方式來思考微分方程解。請記住，這里的物理系統(tǒng)是在一維線上來回滑動(dòng)的物體,。顯然,，實(shí)際上沒有任何水池或乒乓球，這些只是用來描繪實(shí)際情況的有用數(shù)學(xué)構(gòu)造,。但是,，這個(gè)圖可以幫助我們非常快地了解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)將是什么樣子,，而無需解任何微分方程,。我們需要做的就是在相空間的每個(gè)點(diǎn)上畫出哈密頓方程右側(cè)的箭頭，可以手動(dòng)畫,，或者更好的是在計(jì)算機(jī)上畫,。這已經(jīng)是一種非常有用的思考微分方程的方式，但哈密頓表述還為我們提供了一種非常直接的方法來顯式地寫下解,，至少對于類似簡諧振子的線性方程,，這就是我最后想為你簡要概述的內(nèi)容。要了解其工作原理,，讓我們將哈密頓方程表示為矩陣方程,。這看起來好像更復(fù)雜了，但先別急,?？紤]一個(gè)簡單的微分方程，如其中α是某個(gè)常數(shù),。這個(gè)方程告訴我們,，當(dāng)對函數(shù)z（t）求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)該再次得到z,，乘以一個(gè)數(shù)字α,。解很簡單，是因?yàn)橹笖?shù)的導(dǎo)數(shù)就變成了自身乘以鏈?zhǔn)椒▌t中的α因子,，當(dāng)你=將t=0插入時(shí),，你得到初始值z(0)。但請注意,，我們的方程對于彈簧上的物體基本上具有相同的形式,，只是現(xiàn)在使用向量和矩陣而不是單個(gè)數(shù)字。它說,，向量（x,，p）的導(dǎo)數(shù)等于它自己乘以一個(gè)常數(shù)矩陣M。看起來合理,，但當(dāng)然我們必須問自己，這里的矩陣指數(shù)是什么意思,。它是通過通常的泰勒級數(shù)定義的,，這看起來很可怕，但對于我們這個(gè)問題中的矩陣M,，答案以一種美麗而簡單的方式呈現(xiàn),，最后，當(dāng)我們在這里插入初始條件時(shí),，得到以下結(jié)果：再次證明了解是正確的。因此,，我希望我已經(jīng)說服你,，哈密頓方法將二階方程轉(zhuǎn)換為一對一階方程非常強(qiáng)大，無論是用矩陣指數(shù)顯式地解方程,，還是將解的行為可視化為相空間上的流,。我們已經(jīng)看到如何使用五種不同的、越來越復(fù)雜的技術(shù)來解簡諧振子方程,。
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