凡用二階微分方程描述的電路,，稱為二階電路。二階電路中含有兩個獨立的儲能元件,。本節(jié)以串聯(lián)電路為例,，討論二階電路的零輸入響應(yīng)。

圖8-7-1

圖8-7-1為串聯(lián)電路,，當(dāng)時,，假設(shè)電容C曾充過電，初始電壓為,，電感L處于零初始狀態(tài),，即。在時刻,，開關(guān)S閉合,，求零輸入響應(yīng)、與,。

如圖8-7-1所示選取各電壓,、電流的參考方向,。開關(guān)S閉合后,，根據(jù)基爾霍夫電壓定律列寫描述電路的微分方程：

    （式8-7-1）

（式8-7-1）中有兩個未知變量i和。將代入上式消去,，得到：

即：

   （式8-7-2）

也可以得到：

   （式8-8-3）

（式8-7-2）與（式8-7-3）形式完全一致,，都是線性常系數(shù)二階齊次微分方程,，可任選其中一式求解，現(xiàn)選擇（式8-7-2）,。求解二階微分方程,，需要兩個初始條件來確定積分常數(shù)。

根據(jù)換路定則：

,，

特征方程為：

特征根為：

  （式8-7-4）

特征根只與電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān),。

下面分三種情況討論方程的解。

（1）當(dāng)即時,，過渡過程是非周期情況,，也稱為過阻尼情況。此時特征方程有兩個不相等的負(fù)實根,。通解的一般形式為：

    （式8-7-5）

電流：

   （式8-7-6）

其中積分常數(shù)A1,、由初始條件確定，對（式8-7-5）（式8-7-6）取時刻值：

,，

由初值：

,，

聯(lián)立求解上兩式得：

   （式8-7-7）

將A1、代入（式8-7-5）（式8-7-6）得：

電容電壓：

    （式8-7-8）

電流：

電感電壓：

又因,，于是：

  （式8-7-9）

  （式8-7-10）

圖8-7-2

,、、隨時間變化的曲線如圖8-7-2所示,。在（式8-7-8）中,，包含兩個分量，S1,、S2都為負(fù)值,，且，故比衰減得快,，這兩個單調(diào)下降的指數(shù)函數(shù)決定了電容電壓的放電過程是非周期的,。

電感電壓在時初值為，在時,，由于電流不斷負(fù)向增加,，為負(fù)；在后,，電流負(fù)向減少,，為正，最終衰減至零,。

如果,，或，時，分析過程與上相同,。

（2）當(dāng)即時,，過渡過程是臨界阻尼情況，此時特征方程有兩個相等的負(fù)實根,。

   （式8-7-11）

電容電壓的一般形式為：

   （式8-7-12）

電流：

   （式8-7-13）

由初始條件確定積分常數(shù),、：

，

解之得：

,，

因此：

 （式8-7-14）,， （式8-7-15）   （式8-7-16）

、,、隨時間變化的曲線與圖8-7-2所示的曲線相似,，響應(yīng)仍然是非周期性的，非振蕩性的,。

（3）當(dāng)即時,，過渡過程是欠阻尼情況，是周期性振蕩情況,。此時特征方程有兩個實部為負(fù)的共軛復(fù)根,。令,，稱為衰減系數(shù),，為諧振角頻率,，稱為振蕩角頻率，則特征根為：

    （式8-7-17）

電容電壓的一般形式為：

  （式8-7-18）

電流：

  （式8-7-19）

由初值確定積分常數(shù)A,、,，對（式8-7-18）、（式8-7-19）取時刻的值,，得到：

聯(lián)立求解得：

,，  （式8-7-20）

于是：

 （式8-7-21）

   （式8-7-22）

 （式8-7-23）

圖8-7-3

、,、的波形如圖8-7-3所示,，它們都是振幅按指數(shù)規(guī)律衰減的正弦波，圖中虛線為包絡(luò)線,。當(dāng)達(dá)到極大值時,，為零；當(dāng)達(dá)到極大值時,，I為零,。這種幅值逐漸減小的振蕩稱為阻尼振蕩或衰減振蕩。衰減系數(shù)b越大,，振幅衰減越快,；b越小,，振幅衰減越慢。阻尼振蕩角頻率決定于由路本身的參數(shù),，電阻減小，則衰減系數(shù)減小,，衰減減慢,，在的極限情況下，衰減系數(shù),，響應(yīng)變成等幅振蕩,，也稱為無阻尼振蕩。無阻尼振蕩角頻率等于諧振角頻率,，這時（式8-7-21）（式8-7-22）（式8-7-23）變?yōu)椋?/p>

   （式8-7-24）

   （式8-7-25）

   （式8-7-26）

上述無阻尼振蕩不是由激勵源強制作用所形成的,，是零輸入響應(yīng)，因此稱為自由振蕩,。下面從能量轉(zhuǎn)換角度分析電路的久阻尼周期性振蕩過程,。

例8-7-1 如圖8-7-4所示電路，當(dāng)時開關(guān)S閉合,。已知,，，,，,。試分別計算、及時的,。

圖8-7-4例8-7-1附圖

解：圖8-7-4所示是一個RLC串聯(lián)電路,，利用前面的分析結(jié)果求解。

（1）時,，,，過渡過程為過阻尼情況。

,，

根據(jù)換路定則：

,，

于是：

求得：

，

故：

（2）當(dāng)時,，,，過渡過程為臨界阻尼情況

由初始條件得：

，

解得：

,，故：

（3）當(dāng)時,，，過渡過程為欠阻尼情況：

由初始條件得：

,，

解得：

故：