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這篇文章,，我們將介紹半單李代數(shù)的基本概念,。下一篇或許會(huì)介紹半單李代數(shù)的表示。 實(shí)李代數(shù)和復(fù)李代數(shù)很多“偏物理的李代數(shù)”在講半單李代數(shù)時(shí)沒有強(qiáng)調(diào)半單李代數(shù)是“某種復(fù)李代數(shù)”,，這可能帶來誤解和困惑,。 首先應(yīng)該明確“實(shí)李代數(shù)”和“復(fù)李代數(shù)”的區(qū)別。比如當(dāng)我們?cè)谡劇皊u(2)是緊致李代數(shù)”時(shí),，是指“su(2)是SU(2)的實(shí)李代數(shù),，且后者是緊致李群”。一個(gè)熟悉的例子是洛倫茲群,，即SO(3,1),，它是非緊致的李群，但是它的李代數(shù)的復(fù)化（complexification）和SO(4)的李代數(shù)的復(fù)化是一樣的,。所謂“復(fù)化”,，粗略地說就是把數(shù)域換成復(fù)數(shù)域，并按最直接的方式定義新李代數(shù)的對(duì)易子,。
關(guān)于復(fù)李代數(shù)當(dāng)然還有很多問題可以問,，比如給定一個(gè)復(fù)李代數(shù)，如何構(gòu)造它的緊致實(shí)子代數(shù),，使其復(fù)化可以回到原來的復(fù)李代數(shù),，等等。我們給出一個(gè)大致的結(jié)論：對(duì)于矩陣?yán)畲鷶?shù),，總是可以做到,；這種實(shí)子代數(shù)稱為緊致實(shí)形式（compact real form）,。 半單李代數(shù)的定義為了方便說話，我們只討論所謂的可約化（reductive）李代數(shù)——存在緊致實(shí)形式的復(fù)李代數(shù),。 一個(gè)半單李代數(shù)是指一個(gè)“中心平凡”的可約化李代數(shù),。所謂中心平凡是指，不存在一個(gè)元素,，它和所有其它元素對(duì)易,。如果存在這樣的元素，這樣的元素被稱為中心荷,；即半單李代數(shù)就是指沒有中心荷的,、可約化的復(fù)李代數(shù)。 為了滿足理論物理的需求,，我們這里設(shè)對(duì)易括號(hào)為
有哪些李代數(shù)是半單的呢,？特別地，緊致單連通李群的李代數(shù)的復(fù)化,，是半單李代數(shù),。 半單李代數(shù)可以分解成單李代數(shù)的直和。這里單李代數(shù)是指沒有非平凡理想,，且維數(shù)大于2的復(fù)李代數(shù),。 Cartan子代數(shù)
根（root）和相應(yīng)的梯子算符（ladder operator）
Killing form和Cartan-Weyl基所謂Killing form是定義在矩陣之間的內(nèi)積——相乘再求跡。在李代數(shù)中,，可對(duì)伴隨表示矩陣定義如下“內(nèi)積”：
根子空間分解
Weyl群Weyl群既可以只在李代數(shù)中引入,，也可以在李群中引入。粗略地說,，Weyl群描述了root之間的對(duì)稱性,。
參考
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