我們主要復習以下代數(shù)基本知識.

定義 稱為復數(shù)域上的一個代數(shù),如果

(1)是上的一個線性空間;

(2)上規(guī)定了乘法: , 滿足

其中 , .

若中有元素, 對于每一個中的元素, 滿足, 則叫做的單位元. 若中存在單位元,則它是唯一的. 設(shè)是有單位元的代數(shù), 稱為可逆的,如果存在使得. 滿足上述等式的是唯一確定的,于是稱為的逆,記作. 如果中的每個非零元都可逆,稱為可除代數(shù).

如果代數(shù)的乘法滿足交換律,即, 則 稱做交換代數(shù).

定義: 設(shè)是兩個代數(shù),是到的映射,滿足以及 , 稱為到的同態(tài)映射.

如果同態(tài)映射既是單射又是滿射,那么稱是到的同構(gòu)映射.

定義: 設(shè)是一個代數(shù), , 并且依上的加法,乘法和數(shù)乘仍構(gòu)成代數(shù),則稱為的一個子代數(shù).

若是代數(shù)到代數(shù)的同態(tài)映射,值域顯然是的一個子代數(shù).

注 若代數(shù)沒有單位元, 那么可以構(gòu)造一個有單位元的代數(shù), 使得同構(gòu)于的一個子代數(shù).在這個意義下,沒有單位元的代數(shù)總可增添單位元. 事實上,令, 并且規(guī)定上的代數(shù)運算:

其中, . 于是 是中的單位元,而且映射是的一個單射同態(tài),其中是代數(shù)中的零向量.

定義: 設(shè)是一個代數(shù), 是它的一個子代數(shù), 滿足:

(1);

(2)

則稱是的一個雙邊理想,簡稱為理想.

如果是交換代數(shù),則可用條件: 成立來代替上述定義中條件(1).

命題: 設(shè)是代數(shù),映射是一個非平凡同態(tài)映射(即 ), 那么的核()是的一個理想.

證明:  顯然是的子代數(shù),由的非平凡性,條件(2)自然滿足.此外,對于每一個, 因為

由此可得

命題 設(shè)是由單元的代數(shù),是的一個理想,則

(1)

(2)如果, 則 .

證明: (1)如果, 由雙邊理想定義

從而. 這與理想定義的條件(2)矛盾. 故.

(2)如果, 則

這與(1)矛盾,故

注:  事實上, '', '', '具有逆元'這三個命題是等價的.

設(shè)是的一個理想,我們可以作出商空間. 是由剩余類

所組成的. 因為是理想,所以由推出

于是 與屬于同一類.因此, 上的乘法可以誘導出上的乘法:

另外再規(guī)定上的線性運算:

容易證明構(gòu)成一個代數(shù),稱為關(guān)于理想的商代數(shù).

定義自然映射, 則是到商代數(shù)上的一個同態(tài)映射. 由于. 可見是非平凡的,而且.

定義: 設(shè)是代數(shù)的一個理想,而且不真含于的另一個理想之中,就稱是極大理想.

定理 設(shè)是一個有單位元的代數(shù),那么它的每一個理想必含于某個極大理想之中.

證明: 令是由中一切包含的理想組成的集合. 按照集合的包含關(guān)系規(guī)定的序,即對于中元素, 若, 則. 于是是一個偏序集.

為了證明存在包含的極大理想,只須證明含有一個極大元. 我們將應用Zorn引理,為此只要驗證的每個良序子集在上有界.

設(shè)是的一個良序子集,其中是一個指標集. 令, 則是這個良序集的一個上界,于是只須證明,或者只要說明是的一個理想就夠了.

顯然, 是的一個子代數(shù),并且

(1),

(2)

所以確是的一個理想,證畢.

定理: 設(shè)是有單元的交換代數(shù),則

(1)為了在它的某一個理想之中必須且僅須不存在;

(2)的理想是極大的,當且僅當商代數(shù)是可除代數(shù).

證明: (1)必要性顯然成立, 現(xiàn)證充分性. 令 , 由于不存在,可知, 并且由于可交換,所以還是一個理想,顯然.

(2)必要性. 設(shè)是的極大理想,但是不是可除代數(shù).于是有, (即), 不可逆,令, 則是的一個理想,而且. 作商代數(shù), 考慮自然映射與

均為非平凡同態(tài)映射.  因為和都是的理想. 若, 由知, 所以, 從而. 另一方面,, 即, 但是, 這說明. 這與是極大理想矛盾. 因此是可除的.

充分性. 設(shè)是可除商代數(shù),但是不是極大理想.于是存在的理想,以及非零元. 記為在中對應的剩余類. 有逆元, 即存在, 使得

故 ; 另一方面, 便推得, 這是不可能的. 所得矛盾證明必為極大理想.