李代數(shù)是物理學(xué)中最重要的工具之一。它們?cè)诮?jīng)典力學(xué),、量子力學(xué),、甚至廣義相對(duì)論中都很有用。它們是數(shù)學(xué)的一個(gè)子集,，稱為表示論,，該理論使用稱為群的工具來提供一種形式來描述物質(zhì)和能量。關(guān)于李代數(shù),，普通大眾對(duì)它知之甚少,。所以今天，我將揭開這個(gè)重要概念的神秘面紗,，講述一些關(guān)于李代數(shù)的真相,。
李代數(shù)定義為一組矩陣,，當(dāng)對(duì)這組矩陣取冪時(shí)得到一個(gè)李群（ Lie Group）,。大家可能不太了解“李群”，所以我首先要解釋這個(gè)詞,。李群出現(xiàn)在涵蓋連續(xù)變換的李理論主題中,。連續(xù)變換是一種“平滑”的變換，即由無數(shù)個(gè)“小”變換組成,。而離散（非連續(xù)）變換是由“有限”的步驟組成的,，就像一個(gè)粒子消失,，然后在某個(gè)地方又出現(xiàn)?？梢宰儞Q的對(duì)象有很多,，如形狀，矢量等等,。但我們對(duì)變換“群”特別感興趣,。當(dāng)數(shù)學(xué)家說“群”的時(shí)候,，它們并不是一般人所理解的那樣,，如一群羊、一群人,、一群螞蟻等中的“群”,。數(shù)學(xué)中的群是滿足一些約束條件的集合（對(duì)象的集合）。這里我不會(huì)列出所有的約數(shù)條件,。簡(jiǎn)單說,，群是一個(gè)帶有二元運(yùn)算的集合。- 加法下的整數(shù)集將是一群,，因?yàn)槲覀兛梢詫⒄麛?shù)相加,。
- 除法下的整數(shù)集不是一個(gè)群，因?yàn)槲覀儾荒苡妹總€(gè)整數(shù)除以其他整數(shù)（如1/0）,。
只要為群中的所有元素定義了良好的運(yùn)算,，就可以將任何東西創(chuàng)建為群。我們要研究的一個(gè)特殊群是對(duì)稱群,。拿一個(gè)正方形,，并將它向右（左）旋轉(zhuǎn)一個(gè)較小的角度，比如23度,。很容易判斷出,，它的位置發(fā)生了變換。現(xiàn)在假設(shè)把它旋轉(zhuǎn)90度,。這個(gè)正方形看起來沒有跟之前沒有什么不同,。這就是所謂的對(duì)稱性，即某些對(duì)象經(jīng)過變換后看起來是一樣的,。如果把正方形旋轉(zhuǎn)180度,，就會(huì)得到另一種對(duì)稱。360度的旋轉(zhuǎn)也是一種對(duì)稱（一種著名的對(duì)稱）,。重點(diǎn)是這個(gè)正方形證明了旋轉(zhuǎn)的離散對(duì)稱,。具體來說，它只對(duì)n × 90度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱,，其中n是一個(gè)整數(shù)。我們可以說：正方形=原來的正方形+ n(90)旋轉(zhuǎn) 這意味著當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)90度n次時(shí)，看起來就像初始時(shí)的正方形,。一個(gè)連續(xù)對(duì)稱的例子是圓,。不管我們把圓旋轉(zhuǎn)到什么角度，它看起來都是一樣的,。我們可以說：其中d是任意角度,。讓我們把G(d)表示為某個(gè)特定的圓構(gòu)型。我們可以寫出任意圓的構(gòu)型：其中I是原始位置,，d是某個(gè)角度,。例如，旋轉(zhuǎn)90度的圓是G(90) = I + 90,。但是如果用90除以3會(huì)得到怎樣的旋轉(zhuǎn),？“30度的旋轉(zhuǎn)”，你可能會(huì)回答,。為了實(shí)現(xiàn)90度的旋轉(zhuǎn),，要做3次30度旋轉(zhuǎn)：但是假設(shè)從旋轉(zhuǎn)9度開始。要旋轉(zhuǎn)多少次才能旋轉(zhuǎn)90度,？你可能會(huì)說,，10次，因?yàn)镚(90) = (I + 90/10)(I + 90/10)…但是假設(shè)從101/1000度旋轉(zhuǎn)開始,，要旋轉(zhuǎn)多少次才能得到90度的旋轉(zhuǎn),？要點(diǎn)是，G(90) = (I + 90/n)乘以自身n次,，因?yàn)?90/n) x n = 90,。但沒有什么能阻止n越來越大。當(dāng)n→∞時(shí)會(huì)怎樣,？90/n變得無限小,，所以我們需要把它乘以同樣的東西無限次！也就是：其中e是歐拉數(shù),。我們可以說，起始點(diǎn)I圍繞角d旋轉(zhuǎn)的任意度數(shù)都是G(d) = e^d,。我們找到了一種解釋e^d的新方法,。如果我們想只允許有“特定的”旋轉(zhuǎn)（離散對(duì)稱），那么就需要將其調(diào)整為G(d)=e^dX,，其中X是一組特定的數(shù)字,。我們說X是G(d)的生成函數(shù)。旋轉(zhuǎn)下的圓的集合實(shí)際上形成了一個(gè)群,，稱為對(duì)稱群,，G(d)只是這個(gè)群中的一個(gè)元素,。一個(gè)元素可以寫成e^dX的群叫作李群。李代數(shù)就是X的集合生成G群,。還有很多東西要講,。我們甚至還沒有討論物理上的應(yīng)用。不過不要擔(dān)心,，我將為這篇文章寫一篇后續(xù)文章,，討論這個(gè)看似抽象的數(shù)學(xué)在更具體的事情上的應(yīng)用。
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