內(nèi)  容簡(jiǎn)介
    本書以最短的篇幅,，簡(jiǎn)明扼要而又不失嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刂v述復(fù)數(shù)域上有限維半單
  李代數(shù)的分類與表示理論．全書共分8章,，前6章緊緊圍繞半單李代數(shù)的分
  類這一中心內(nèi)容展開，介紹了李代數(shù)的基本理論,，包括冪零性,、可解性、半單純
  性、Lie定理,、Cartan分解,、Killing型、根系結(jié)構(gòu),、鄧肯圖等．后2章先是利用初
  等方法給出三維單李代數(shù)sl(2,，C)的有限維表示的分類，然后通過介紹泛包
  絡(luò)代數(shù),、Casimir算子,、Weyl群等有效工具，在引進(jìn)Verma模的基礎(chǔ)上,，給出
  了一般半單李代數(shù)有限維表示的分類,，給出有限維不可約表示的Weyl特征
  標(biāo)公式的證明等．各章均配有適量習(xí)題．

《大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書》序
    按照恩格斯的說法，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)．從恩
格斯那時(shí)到現(xiàn)在,，盡管數(shù)學(xué)的內(nèi)涵已經(jīng)大大拓展了,，人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系
和空間形式的認(rèn)識(shí)和理解已今非昔比，數(shù)學(xué)科學(xué)已構(gòu)成包括純粹數(shù)學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué)
內(nèi)含的眾多分支學(xué)科和許多新興交叉學(xué)科的龐大的科學(xué)體系,，但恩格斯的這一說
法仍然是對(duì)數(shù)學(xué)的一個(gè)中肯而又相對(duì)來說易于為公眾了解和接受的概括,，科學(xué)地
反映了數(shù)學(xué)這一學(xué)科的內(nèi)涵．正由于忽略了物質(zhì)的具體形態(tài)和屬性、純粹從數(shù)量關(guān)
系和空間形式的角度來研究現(xiàn)實(shí)世界,，數(shù)學(xué)表現(xiàn)出高度抽象性和應(yīng)用廣泛性的特
點(diǎn),，具有特殊的公共基礎(chǔ)地位，其重要性得到普遍的認(rèn)同．
    整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展史是同人類物質(zhì)文明和精神文明的發(fā)展史交融在一起的．作
為一種先進(jìn)的文化,，數(shù)學(xué)不僅在人類文明的進(jìn)程中一直起著積極的推動(dòng)作用，而且
是人類文明的一個(gè)重要的支柱．?dāng)?shù)學(xué)教育對(duì)于啟迪心智,、增進(jìn)素質(zhì),、提高全人類文
明程度的必要性和重要性已得到空前普遍的重視．?dāng)?shù)學(xué)教育本質(zhì)是一種素質(zhì)教育；
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),，不僅要學(xué)到許多重要的數(shù)學(xué)概念,、方法和結(jié)論，更要著重領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的
精神實(shí)質(zhì)和思想方法．在大學(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的階段,，更應(yīng)該自覺地去意識(shí)并努力體
現(xiàn)這一點(diǎn)．
    作為面向大學(xué)本科生和研究生以及有關(guān)教師的教材,，教學(xué)參考書或課外讀物
的系列，本叢書將努力貫徹加強(qiáng)基礎(chǔ),、面向前沿,、突出思想、關(guān)注應(yīng)用和方便閱讀的
原則,，力求為各專業(yè)的大學(xué)本科生或研究生(包括碩士生及博士生)走近數(shù)學(xué)科學(xué),、
理解數(shù)學(xué)科學(xué)以及應(yīng)用數(shù)學(xué)科學(xué)提供必要的指引和有力的幫助，并歡迎其中相當(dāng)
一些能被廣大學(xué)校選用為教材，相信并希望在各方面的支持及幫助下,，本叢書將會(huì)
愈出愈好．
    李大潛
    2003年12月27日
  前    言
    最近幾年聽到些將李代數(shù)列為本科選修課程及研究生公選課的建議．我們認(rèn)
為從以下三個(gè)方面看,，這個(gè)建議很有道理．
    第一，李代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)前沿領(lǐng)域中具有重要地位的學(xué)科之一,，它有悠久的歷
史,，現(xiàn)在仍在蓬勃地發(fā)展，而且催生了Kac—Moody代數(shù),、頂點(diǎn)算子代數(shù),、量子群、
共形代數(shù)等新興分支的出現(xiàn)和發(fā)展．它又是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ),，和群論,、拓?fù)洹?br>微分幾何以及理論物理都有密切的聯(lián)系，并在上述領(lǐng)域中有許多的應(yīng)用．將它列為
選修課,，有利于拓寬學(xué)生的學(xué)科視野,，了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)不同學(xué)科、不同領(lǐng)域之間的交
叉聯(lián)系,，融會(huì)貫通．
    第二,，李代數(shù)中包含了近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上一些著名的漂亮結(jié)果，例如復(fù)單李代數(shù)
的分類與九種鄧肯圖之間的一一對(duì)應(yīng),；weyl關(guān)于半單李代數(shù)的有限維不可約表示
的特征標(biāo)公式等,，這些結(jié)果不需用太多艱深的知識(shí)就可證明，是用來對(duì)本科生進(jìn)行
數(shù)學(xué)美學(xué)教育的非常理想的素材．
    第三,，在本科教學(xué)中開設(shè)任何一門選修課,，都必須要考慮到兩個(gè)不可避免的制
約因素：一是學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)是否夠用，其次是在有限的課時(shí)(一般是一個(gè)學(xué)期約
60課時(shí)),，所選學(xué)科的核心內(nèi)容,、基本方法能否系統(tǒng)、完整地講完．李代數(shù)在這兩
個(gè)方面都有明顯的優(yōu)勢(shì)．因?yàn)橛邢蘧S李代數(shù)的基本理論,，實(shí)際上可看作是向量空間
及其線性變換理論的擴(kuò)充及延伸．在學(xué)完線性代數(shù)之后進(jìn)入李代數(shù)課程的學(xué)習(xí),，從
知識(shí)發(fā)展的脈絡(luò)看，中間是一條無障礙的直通道．不需再做任何知識(shí)上的補(bǔ)缺或鋪
墊,，只需對(duì)內(nèi)容稍做精簡(jiǎn),、調(diào)整即可．
    當(dāng)然，選擇什么樣的教材是要考慮的．
    目前,，國(guó)內(nèi)外出版的通用的李代數(shù)教材大概有四五種(參閱本書后的參考文
獻(xiàn)),，這些教材雖然各有優(yōu)點(diǎn)與特色，但它們的共同點(diǎn)都是以李代數(shù)方向的研究生
為主要對(duì)象,，內(nèi)容比較龐大與艱深,，不適合用作本科選修教材．
    我們認(rèn)為有必要重新編寫一部簡(jiǎn)明教材，為李代數(shù)能順利進(jìn)入本科教學(xué)創(chuàng)造
條件，這就是我們編寫此書的目的．
    在編寫中,，我們首先確定了兩個(gè)方針：第一,，寫出的教材必須是一本名副其實(shí)
的簡(jiǎn)明教材，在保證基本內(nèi)容,、基礎(chǔ)知識(shí)不削弱的前提下,，最大限度地刪繁就簡(jiǎn)，
同時(shí)要使全書有自己獨(dú)立,、嚴(yán)謹(jǐn),、完整的結(jié)構(gòu)體系；第二,，使線性代數(shù)方法與技巧
的運(yùn)用成為本書的特點(diǎn),，內(nèi)容的安排力爭(zhēng)做到先易后難，由淺入深,，重點(diǎn)突出．
    根據(jù)上述要求,，在編寫過程中采取了以下三點(diǎn)措施：
    (1)全書共分8章，每章配有適量習(xí)題．
    第1章到第6章以有限維半單李代數(shù)的結(jié)構(gòu)定理以及單李代數(shù)的分類為中心
內(nèi)容．圍繞此中心,，依次講授李代數(shù)的一些基本概念,、李定理、Engel定理,、Cartan
子代數(shù)與Cartan分解,、Killing型、素根系,、Caftan矩陣與鄧肯圖,、同構(gòu)定理等，
直到完成單李代數(shù)分類的證明．所有的定理,，都給出了詳盡的證明．
    在這一部分內(nèi)容的處理中,，以下幾處和其他教材是不同的．
    ①§4．3補(bǔ)充了線性代數(shù)的一個(gè)內(nèi)容一對(duì)偶空間．目前不少學(xué)校的線性代數(shù)
課不講這個(gè)內(nèi)容，但在李代數(shù)中要用到,，我們補(bǔ)上了．熟悉這個(gè)內(nèi)容的讀者可以跳
過這一節(jié)．
    ②Weyl群與內(nèi)自同構(gòu)群的概念及有關(guān)結(jié)果后移到第8章，作為表示理論的基
礎(chǔ)給出．這樣安排的目的是為了使前6章的中心更加突出,，內(nèi)容安排更緊湊．
    ③Cartan子代數(shù)的共軛性定理雖然在理論上很重要,，但其作用無非是說明運(yùn)
用Cartan分解研究半單李代數(shù)的結(jié)構(gòu)與分類的合理性與科學(xué)性，并不影響后者的
證明過程．為了使讀者盡快掌握前6章的核心內(nèi)容,，我們僅在§2．5中介紹此定理
的意義而將其證明過程連同預(yù)備知識(shí)單獨(dú)作為一節(jié)(5 8．6)放到本書的最后,，作
為選學(xué)內(nèi)容處理．
    第7、8兩章講表示理論初步．
    第7章講三維單李代數(shù)sI(2,，c)的有限維不可約模的構(gòu)造,、分類以及完全可約
性定理．證明中基本上只用了線性代數(shù)知識(shí)，我們?cè)噲D通過對(duì)這樣一個(gè)具體模型的
剖析，使讀者對(duì)線性代數(shù)技巧在表示理論中的運(yùn)用有所了解,，并從中得到啟發(fā),。
作為進(jìn)一步研究表示理論的需要，本章同時(shí)介紹了泛包絡(luò)代數(shù),、PBW定理以及
Casimir算子等．
    第8章主要講授Weyl關(guān)于半單李代數(shù)的有限維表示的完全可約性定理以及
特征標(biāo)公式,、維數(shù)公式等．有關(guān)Weyl群的知識(shí)，作為研究本章中心內(nèi)容的基礎(chǔ),，
安排在第2節(jié)．在這一章里,，作為表示理論證明技巧的一個(gè)應(yīng)用，給出了Serre關(guān)
于生成元定義關(guān)系的定理(即有限維半單李代數(shù)存在性的統(tǒng)一證明)．
    和其他教材比較,，本書精簡(jiǎn)掉的內(nèi)容有：李代數(shù)的擴(kuò)張,、自同構(gòu)群、表示的張
量積,、Weyl基與Chevalley基,、Levi分解、表示的重?cái)?shù)公式,、例外李代數(shù)等．
    (2)每章開頭都有一個(gè)概要,，扼要點(diǎn)出本章討論的主要問題與結(jié)果．
    每章的最后一節(jié)都是本章的小結(jié)，對(duì)本章出現(xiàn)的主要概念,、定理的作用,、意義
及相互間的聯(lián)系，做一個(gè)串聯(lián)式的評(píng)析．希望這些內(nèi)容對(duì)教師備課以及學(xué)生復(fù)習(xí)能
有所幫助．
    在某些章的小結(jié)中,，還插入了一些有關(guān)數(shù)學(xué)史的片段,，介紹了一些重要定理在
歷史上發(fā)現(xiàn)的過程以及相關(guān)數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)．這本是一個(gè)很有意義的內(nèi)容，理應(yīng)寫得
更加有趣,、生動(dòng)一些,，無奈我們自己的數(shù)學(xué)史知識(shí)極為有限，短期內(nèi)又難以搜集更
多的資料,，只能是知道多少寫多少,，寫起來頗為吃力，恐怕會(huì)令讀者失望．
    (3)書中多處對(duì)于概念或定理除必要的陳述及證明之外,，還有或多或少的注釋
與評(píng)注,，這也是本書的一個(gè)特別之處．這些內(nèi)容有些是我們自己學(xué)習(xí)中的體會(huì)，有
些是針對(duì)我們了解到的學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能出現(xiàn)的“盲點(diǎn)”而寫的．希望這個(gè)做
法能使大多數(shù)同學(xué),，特別是自學(xué)者從中受益．
    本書的前6章曾在首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院本科生中講授過4個(gè)輪次,，現(xiàn)
在的版本正在中國(guó)科技大學(xué)試用．
    本書也適合物理系部分專業(yè)的研究生使用．
    作為一本簡(jiǎn)明教程，經(jīng)典內(nèi)容中的哪些部分可刪,，哪些應(yīng)保留,，保留下的內(nèi)容
應(yīng)如何重新組織,，對(duì)于我們都是新問題．由于沒有先例可循，再加上自身水平的限
制,，本書恐有許多不當(dāng)之處．如今冒然出版,，只盼它能起個(gè)拋磚引玉的作用．
    懇切希望本書出版后，能得到同行及廣大讀者的批評(píng)指教,，我們?cè)诖艘灰恢?br>謝!
    蘇育才(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué))
    盧才輝(首都師范大學(xué),，前言執(zhí)筆者)
    崔一敏(首都師范大學(xué))
    2007年12月

作者簡(jiǎn)介
蘇育才  1963年5月出生于福建永定。1982年于
廈門大學(xué)數(shù)學(xué)系獲學(xué)士學(xué)位,，1985年在該系獲碩士
學(xué)位,，1989年在中國(guó)科學(xué)院系統(tǒng)所獲博士學(xué)位。先
后在英國(guó),、加拿大,、美國(guó)、澳大利亞訪問10年,。曾任
上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系教授,、博士生導(dǎo)師。2005年開
始任中國(guó)科技大學(xué)數(shù)學(xué)系“百人計(jì)劃”特聘教授,。長(zhǎng)
期從事李代數(shù),、李超代數(shù)和Kac—Moody代數(shù)的教學(xué)
及研究工作。先后主持國(guó)家自然科學(xué)基金,、教育部
優(yōu)秀青年教師資助計(jì)劃基金,、教育部跨世紀(jì)優(yōu)秀人
才培養(yǎng)計(jì)劃基金、教育部博士點(diǎn)基金,、中國(guó)科學(xué)院百
人計(jì)劃基金,、中國(guó)科學(xué)院知識(shí)創(chuàng)新工程重要項(xiàng)目子
課題負(fù)責(zé)人。在國(guó)內(nèi)外著名學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表論文
80余篇,。
盧才輝祖籍福建永定,，1939年出生于印度尼西亞，
1965年畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系數(shù)學(xué)專業(yè),。曾任
首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)系系主任,、教授、博士生導(dǎo)師,，長(zhǎng)
期從事代數(shù),、李代數(shù)和Kac—Moody代數(shù)的教學(xué)及研
究工作，并主持國(guó)家自然科學(xué)基金,、北京市自然科學(xué)
基金等項(xiàng)目,。在國(guó)內(nèi)外著名學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表論文40
余篇,，1994年獲北京市科技進(jìn)步獎(jiǎng)一等獎(jiǎng),，2()()0年
獲北京市高校優(yōu)秀教學(xué)成果一等獎(jiǎng)(領(lǐng)銜合作),，
1997年評(píng)為北京市有突出貢獻(xiàn)的專家。
崔一敏1941年出生于北京,，1965年畢業(yè)于北京師
范學(xué)院數(shù)學(xué)系(現(xiàn)首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院),，畢
業(yè)后留校任教，副教授,，長(zhǎng)期從事高等代數(shù),、近世代
數(shù)、李代數(shù)的教學(xué)與研究工作,，在學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表過
數(shù)十余篇論文,。

目  錄
《(大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書)》序
前言
主要符號(hào)表
第1章基本概念……………………………………．
  §1．1李代數(shù)與結(jié)合代數(shù)……………………………
  §1．2子代數(shù)、理想,、商代數(shù)………………………．．
  §1．3同態(tài)與同構(gòu)…………………………………．
  §1．4可解性,、冪零性、半單純性……………………．
  §1．5表示與伴隨表示……………………………．．
  §1．6導(dǎo)子與內(nèi)導(dǎo)子………………………………．．
  §1．7本章小結(jié)……………………………………
  習(xí)題1……………………………．……………一
第2章可解李代數(shù)與冪零李代數(shù)……………………．．
    §2．1 Lie定理……………………………………．
    §2．2 Engel定理…………．一……………………．
    §2．3權(quán)和廣義權(quán)空間分解…………………………
    §2．4廣義權(quán)空間的性質(zhì)……………………………
    §2．5 Cartan子代數(shù)……………．．………………．．
    §2．6本章小結(jié)……………………………………
    習(xí)題2……………………………………………
第3章Cartan判別法則……………………………．
    §3．1 Killing型…．………………………………．．
    §3．2 Cartan關(guān)于可解性的判別準(zhǔn)則…………………
    §3．3半單純性的判別法則…………………………
    §3-4本章小結(jié)……………………………………
    習(xí)題3……………………………………………
第4章半單李代數(shù)的結(jié)構(gòu)……………………………
    §4．1李代數(shù)的直和…………………．……………
    §4．2半單李代數(shù)的理想分解………………………．
 §4．3對(duì)偶空間……………………………………………
  §44半單李代數(shù)的Caftan分解……………………………
  §4．5半單李代數(shù)中的根鏈…………………………………
  §4．6 s2(3,，c)的Cartan子代數(shù),、根向量、根及Killing型的計(jì)算．
  §4．7本章小結(jié)…………………………………………．．
  習(xí)題4…………………………………………………．．
第5章半單李代數(shù)的根系和素根系…………………………．．
    §5．1根系張成的實(shí)向量空間HR…………………………．．
    §5．2素根系……………………………………………．
    §5．3素根系與Cartan矩陣………………………………．
    §5 4鄧肯圖……………………………………………．
    §5．5本章小結(jié)…………………………………………．．
    習(xí)題5…………………………………………………．．
第6章半單李代數(shù)的同構(gòu)與單李代數(shù)的分類…………………．
    §6．1標(biāo)準(zhǔn)生成元系和標(biāo)準(zhǔn)基………………………………
    §6．2根系和素根系的合同對(duì)應(yīng)…………．………………．．
    §6．3同構(gòu)定理…………………………………………．．
    §64單純性的充要條件…………………………………．
    §6．5單李代數(shù)的分類……………………………………．
    §6．6典型李代數(shù)………………………………………一
    §6．7本章小結(jié)…………………………………………．．
    習(xí)題6…………………………………………………．．
第7章表示理論及sz(2,，C)的有限維表示的分類………………．
    §7．1表示的同態(tài),、同構(gòu)和合成序列………………………．．
    §7．2三維單李代數(shù)sl(2，c)的有限維表示的分類……………
    §7．3泛包絡(luò)代數(shù)…………………………………………
    §7．4本章小結(jié)…………………………………………．．
    習(xí)題7…………………………………………………．．
第8章最高權(quán)模,、Weyl群,、特征標(biāo)、有限維模的分類…………．
  §8．1最高權(quán)表示…………………………………………
  §8．2 Weyl群……………………………………………
  §8．3有限維模的分類……………………………………．
§8．4 Serre定理的證明……………．．
  §8．5形式特征標(biāo)…………………．．
  §8．6共軛定理的證明………………
  §8．7本章小結(jié)……………………．
  習(xí)題8……………………………．
參考文獻(xiàn)………………………………
名詞索引………………………………
《 大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書)》已出版書目………．．