4小時(shí)前

群論

我剛才費(fèi)勁講了半天都是比較淺顯的東西,，現(xiàn)在稍微進(jìn)入有一點(diǎn)深度的東西是群。我們老祖宗有一句話,，叫“物以類聚人以群分”,，你看這個(gè)成語(yǔ)多酷，群是用來(lái)給物分類的,，這門學(xué)問(wèn)都在這兒呢,。

那么這一門學(xué)問(wèn)有沒(méi)有呢,？我們看法國(guó)有一個(gè)電影，三部連續(xù)劇,，第一部是《棋牌在哪里》,，第二部是《人們又找到棋牌》。這里面有一個(gè)故事,，一個(gè)德國(guó)兵逮了兩個(gè)法國(guó)俘虜,，讓他們?nèi)績(jī)深^奶牛過(guò)來(lái)，給俘虜?shù)姆▏?guó)軍官們喝牛奶,。但是牛不聽(tīng)話,，結(jié)果牛跑散了，兩個(gè)法國(guó)人也跟著跑散了,，押解的德國(guó)士兵們就不干了,，說(shuō)“Gruppieren”，就是德語(yǔ)的“組織起來(lái),，你們不許跑”,。法國(guó)人聽(tīng)不懂，Gruppieren是什么意思,？Ah,
Gruppiere（群）, Ca veut dire
Ensemble(集合,，系綜)。我明白了,，德國(guó)人說(shuō)的Gruppiere,，就是法國(guó)人說(shuō)的集合系統(tǒng)。你看“集合”這個(gè)概念就是中國(guó)漢語(yǔ)統(tǒng)計(jì)物理書(shū)里面最難的東西,，所以叫系綜,，我們把它翻譯成“系綜”了，其實(shí)在法語(yǔ)里面統(tǒng)計(jì)系綜和數(shù)學(xué)的集合是一個(gè)詞,。為什么我們學(xué)東西都是那么費(fèi)勁,，很多人家一個(gè)詞在中國(guó)，同一門學(xué)科里面都分成不同的詞,。數(shù)學(xué)物理,，又單獨(dú)地不同地翻譯，讓我們學(xué)習(xí)得苦死了,，現(xiàn)在我們就明白了有一個(gè)Group,，叫群的東西，群的這門學(xué)問(wèn)加上微積分,、加上變分法,、微積分方程，就是我們學(xué)物理人必備的四大數(shù)學(xué)工具,。

經(jīng)常有人把物理學(xué),，把我們的宇宙比喻成一個(gè)毯子,，毯子上邊有特別漂亮的圖案，這些圖案是對(duì)稱的,。但是怎么描述一個(gè)毯子,，或者怎么織布的圖案，就要用群論,。比方說(shuō)關(guān)于布上的花樣,，就只有17種空間群。大家都想象不出來(lái)我們中國(guó)的老祖宗有多聰明,，二維平面布的花樣或者窗欞的花樣,，只有17種空間群。如果大家有空到寧波的天一閣,，你看它的窗欞,，它幾乎17種空間群的窗欞都有的，甚至在最后有一面墻上,，把這些窗欞放到一面墻上給你一個(gè)總結(jié),，讓你看清楚。這些都有,，但是沒(méi)人懂這個(gè),。

過(guò)去幾年我講了相對(duì)論、量子力學(xué),，我突然發(fā)現(xiàn)這些智慧都在老祖宗里面。比如說(shuō)相對(duì)論,，我們北京西山大覺(jué)寺乾隆皇帝提的字,，提的八個(gè)字的匾：“無(wú)去來(lái)處，動(dòng)靜等觀”,，就把相對(duì)論的精髓全說(shuō)清楚了,。葛洪的抱樸子里面有枉曲直湊，就是說(shuō)你把直的給它弄硬弄彎了,，就弄成曲的了,。過(guò)去做車轱轆，你不都用直的木頭一點(diǎn)一點(diǎn)彎,，彎成這樣的曲的嗎,，所以說(shuō)枉曲直湊，這一句就把微分幾何的所有思想說(shuō)清楚了,。那么今天關(guān)于群論的,，物以類聚人以群分，這個(gè)出自于《戰(zhàn)國(guó)策》,。所以看著這幾個(gè)相對(duì)論,、微分幾何,、群論，我特別感慨老祖宗什么道理都說(shuō)的那么深刻,，怎么沒(méi)本事把它發(fā)展成一個(gè)學(xué)問(wèn)體系呢,？最深刻的思想全說(shuō)清楚了，怎么不把它弄作一個(gè)理論呢,。

現(xiàn)在看群,，群就是一個(gè)集合，一堆東西,。這一堆集合里面元素可以互相乘,，就是乘法。大家又學(xué)了一種新的乘法,。這個(gè)乘法的結(jié)果還是在這個(gè)集合里面,，這個(gè)就叫群。所以群是這樣的元素,，乘法結(jié)果除了還在集合里面,，肥水不流外人田以外，還滿足三個(gè)條件,，第二條是要滿足結(jié)合律,，這點(diǎn)很重要；第三條要滿足有單位元,，就有一個(gè)東西乘不變,，也就是說(shuō)我們平常自然數(shù)乘法里要有個(gè)1；第四條是要有個(gè)逆,，就是有一個(gè)東西乘了以后,，再乘上另外一個(gè)元素等于沒(méi)變。它是一個(gè)特殊的集合,，這個(gè)集合的乘法要有逆,。就有點(diǎn)像我們的電梯，有些電梯按錯(cuò)了就不讓你逆了,，但有些單位的電梯就有逆,，你按8樓錯(cuò)了，再按一下就回來(lái)了,。這一類有特殊的乘法的集合就是群,。

其實(shí)群大家都熟，比如說(shuō)平常的自然數(shù),，加法當(dāng)作乘法的話,，任意兩個(gè)數(shù)相加，還在這里面，它就在這個(gè)集合里面,；加法滿足結(jié)合律就不說(shuō)了,，一定有一個(gè)單位元，單位元是0,，因?yàn)槿魏我粋€(gè)數(shù)加上0,，還等于它本身，沒(méi)變,；每個(gè)數(shù)都有一個(gè)負(fù)數(shù),，是它的逆，你看這樣就滿足了,。然后復(fù)數(shù)的乘法,，1，-1,，i,，-i，這四個(gè)元素你用復(fù)數(shù)的乘法的話,，乘積結(jié)果一定在里面,，一定滿足；然后有單位元1,，也都有逆,，你看見(jiàn)了沒(méi)有，這些集合就叫群,。你發(fā)現(xiàn)x4=1的四個(gè)根就構(gòu)成了群,，或者剛才說(shuō)的四元數(shù)都加上正負(fù)號(hào)，這八個(gè)元素就是Q8群,。這些群都會(huì)在自然界里面有對(duì)象,，能夠讓我們描述它的性質(zhì)。

不跟大家講細(xì)節(jié)了,，只是告訴大家剛才我們有群這個(gè)東西，只告訴大家群元素貌似是等價(jià),，但是請(qǐng)大家記住,，群里面一定有更深層次的結(jié)構(gòu)。有點(diǎn)像我們說(shuō)你是哪兒的,，我是物理所職工,，物理所職工上千號(hào)。從物理所職工,，這個(gè)角度大家都是等價(jià)的,。但是不對(duì)，里面一定有各種各樣的結(jié)構(gòu)，理解這樣的結(jié)構(gòu)才算理解了這個(gè)群,。我們對(duì)別的單位與社會(huì)的理解,，我們都是中國(guó)人，但是中國(guó)社會(huì)有各種各樣的小的區(qū)域,，有不同層次的事情,，你只有理解不同層次的小結(jié)構(gòu)，才說(shuō)明你理解了這個(gè)社會(huì)的問(wèn)題,。這個(gè)思想非常重要,。

那么有了這樣的一個(gè)群論的角度，拉格朗日考慮了“子群陪集”,，就是所謂的商群,，就是用來(lái)理解伽羅華說(shuō)的一元五次方程沒(méi)有解的原因，給一般聽(tīng)眾解釋實(shí)在是太費(fèi)勁了,，我也不講了,，比較專業(yè)的同志們等著看PPT吧。

李群,、李代數(shù)與規(guī)范原理

現(xiàn)在要給大家講一個(gè)重要的東西,，如果這個(gè)群元素不是剛才那種分離的，而是連續(xù)的,，這叫做李群,，李群的子群是正規(guī)子群，商群子群則帶來(lái)纖維叢理論,。規(guī)范場(chǎng)與纖維叢理論一樣,，是由中國(guó)人領(lǐng)先做出來(lái)的重要成果。規(guī)范場(chǎng)論從楊振寧先生而來(lái),，纖維叢就是南開(kāi)大學(xué)的陳省身先生提出,。我當(dāng)年讀的時(shí)候覺(jué)得很費(fèi)勁，我后來(lái)想,，什么是纖維叢,？就是毛豆腐，上邊長(zhǎng)了毛毛,，就是纖維,，下面就是基空間，這并不是很難懂的東西,，換算成數(shù)學(xué)的概念就行了,。所以請(qǐng)大家記住，學(xué)這些東西,，能把他們看作是具象的東西就能理解的好一點(diǎn),。

現(xiàn)在給大家舉個(gè)例子，群這個(gè)東西為什么有用，我們看一個(gè)正三角形,，三個(gè)頂點(diǎn)是1,、2、3,，你可以做什么操作,？你把1、2換一下,，2,、3換一下，或者繞1,、2,、3繞120°或者1、2,、3繞240度,，這個(gè)正三角形都不變，也就是說(shuō)正三角形就有6個(gè)操作,，不動(dòng)是一種操作,，第二個(gè)是過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)的鏡面，第三個(gè)繞120°,、240°旋轉(zhuǎn),。這六個(gè)操作，既可以表示成1,、2,、3的替換，也可以表示成這樣6個(gè)這樣的矩陣,，這告訴我們什么事情呢,？告訴我們群可以有不同的表示。

所以如何表示群,，是群論重要的性質(zhì)或者是重要的學(xué)問(wèn),。有人說(shuō)還是不懂，我再給你舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子,，我們大家都知道觀音菩薩,，你看有千手觀音，降魔的時(shí)候是一個(gè)兇狠的形象,，可是觀音菩薩還負(fù)責(zé)什么？觀音菩薩還負(fù)責(zé)送子,，觀音菩薩是原佛教里的次行道人,，次行道人是男性，男性來(lái)送子總是不太方便，所以人們把他改造成一個(gè)女的,，所以如果大家看觀音像就很有意思了,，有千手觀音，有帶胡子的觀音,，還有送子觀音,，各種形象都有，為什么,？因?yàn)橛^音能夠聚千般于一像,，觀音才能觀世音，聽(tīng)到我們的悲苦才能及時(shí)做出不同的反應(yīng),，是降魔還是送子,。“群”也是,，一個(gè)群有不同的表示,，不同表示在不同地方有不同的用。

群論來(lái)自不同的地方,，最重要的是李群和李代數(shù),，群論來(lái)自數(shù)學(xué)各個(gè)學(xué)論，來(lái)自代數(shù),、數(shù)論,、幾何、分析,。在這里我們要提到一個(gè)來(lái)自德國(guó)
哥廷恩大學(xué)的Klein,，Gauss，他有一天突然明白了幾何的分類是要用它的群,，他在大學(xué)做了一個(gè)報(bào)告,，這個(gè)報(bào)告就是后來(lái)數(shù)學(xué)史上重要的愛(ài)爾蘭綱領(lǐng)。

李群,、李代數(shù)說(shuō)的是什么意思呢,？李群是一個(gè)連續(xù)的群，所以把它表示成指數(shù)函數(shù)的話,，指數(shù)函數(shù)如果等于1的話,，說(shuō)明它上面的參量X等于0，所以知道這個(gè)參量就能知道李群是什么樣,，這就是所謂的李代數(shù)問(wèn)題,。這個(gè)概念很復(fù)雜，沒(méi)法給大家細(xì)講,。但是可以舉一個(gè)例子,，比如二維復(fù)數(shù)變化連續(xù)群,，就是李群，它可以表達(dá)成指數(shù)函數(shù)的形式,，通過(guò)選擇指數(shù),，可以將二維轉(zhuǎn)動(dòng)表達(dá)成一個(gè)矩陣，這就是李群,、李代數(shù)的威力,。

為什么要說(shuō)李群？李代數(shù)呢,？因?yàn)檫@個(gè)他們是通向規(guī)范場(chǎng)論的必經(jīng)之路,。群里面有什么重要的群呢？一個(gè)是描述二維復(fù)矢量空間的轉(zhuǎn)動(dòng)群叫做SU（2）群,，擴(kuò)大一點(diǎn)就是描述三維復(fù)矢量空間長(zhǎng)度不變的群叫做SU（3）群,，SU（2）群是三個(gè)，Pauli矩陣,，剛才已經(jīng)提到了,，如果是SU（3）群，除了單位群還多出8個(gè)矩陣,，這8個(gè)矩陣就叫做Gell-Mann矩陣,，這個(gè)人和什么東西聯(lián)系在一起呢？就是很多科學(xué)愛(ài)好者喜歡的名字“夸克”,，所以請(qǐng)同學(xué)們要知道夸克用這8個(gè)矩陣描述,，才算知道夸克。

接著往下說(shuō),。物理理論,，一開(kāi)始從觀察、構(gòu)造公式開(kāi)始,，但是學(xué)到高層次要知道我們的物理理論是從五個(gè)原理開(kāi)始,，比方說(shuō)我們生活的社會(huì)里面作為一個(gè)中國(guó)人要愛(ài)國(guó)，愛(ài)國(guó)就是原理性要求,。經(jīng)典力學(xué)和光學(xué)就是最小作用量原理,，熱力學(xué)就是Carnot原理，這個(gè)原理容易講清楚,，就是凡不以干活為目的的傳熱都是浪費(fèi),，或者不以做工作為目的的上班都是浪費(fèi)，但是就是這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的原理,，如果說(shuō)不是工作中的傳熱都叫做浪費(fèi)的話,，一個(gè)熱機(jī)工作就是兩個(gè)等分過(guò)程或者兩個(gè)絕熱過(guò)程，這個(gè)過(guò)程本身叫做可逆過(guò)程,?？赡孢@個(gè)活兒就得倒著干,，我們從高溫吸收熱量，從低溫釋放出去,，讓機(jī)器做工，既然可逆,，我就可以通過(guò)干活把熱量從低溫轉(zhuǎn)移到高溫處,，人類就這樣知道什么叫制冷了，從原理出發(fā)的科學(xué)威力是極大的,。

相對(duì)性原理告訴我們物理公式和你觀察的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),、用什么坐標(biāo)系沒(méi)有關(guān)系，跟參照誰(shuí)沒(méi)有關(guān)系,，跟你的坐標(biāo)系沒(méi)有關(guān)系,，你的物理定理要表達(dá)成這個(gè)形式,，這就叫相對(duì)論,。

除了這三個(gè)，學(xué)物理還要學(xué)一個(gè)規(guī)范原理,，什么叫做規(guī)范原理,？來(lái)自于這個(gè)法國(guó)人,，這個(gè)法國(guó)人許多人可能不知道，但是他愛(ài)人大家都知道,，就是居里夫人,。居里先生對(duì)物理學(xué)貢獻(xiàn)有很多，請(qǐng)大家記住物理上凡是帶居里的都是居里先生,。居里先生給物理學(xué)帶來(lái)最大的貢獻(xiàn),，我個(gè)人認(rèn)為就是她1894年的認(rèn)識(shí)，他發(fā)現(xiàn)描述存在的對(duì)稱性數(shù)學(xué)對(duì)象應(yīng)該作為物理學(xué)研究對(duì)象,，剛才學(xué)的矩陣,、轉(zhuǎn)動(dòng)數(shù)學(xué)描述，1894年居里先生說(shuō)這本身應(yīng)該是物理學(xué)的研究對(duì)象,，從此開(kāi)啟了一個(gè)用對(duì)稱性決定大自然里面相互作用是什么樣的時(shí)代,，理論物理開(kāi)啟了新的時(shí)代，固體物理開(kāi)展了一個(gè)新的時(shí)代,。

這個(gè)思想產(chǎn)生后,，德國(guó)人尤其是哥廷恩大學(xué)的人如，F(xiàn)elix

Klein,、Emmy等等馬上把群論用到科學(xué)上,。靜力學(xué)、固體物理,、理論物理都用,。這個(gè)地方有兩個(gè)大神,，一個(gè)是愛(ài)爾蘭大學(xué)到哥廷恩工作的，一個(gè)是哥廷恩畢業(yè)的學(xué)生,，這個(gè)人有多厲害呢,？在哥廷恩1918年校內(nèi)的一篇雜志，幾乎涵蓋了近代物理的大量?jī)?nèi)容,。在1926年薛定諤寫出量子力學(xué)方程,，但是1928年Herrman Weyl寫出了群論與量子力學(xué)，配上1931年Wigner群論及其原子譜量子力學(xué)應(yīng)用,，這些是讓量子力學(xué)成為一門大學(xué)問(wèn)兩部重要的文章,。

Weyl這個(gè)人學(xué)問(wèn)有多大呢？Weyl 1928年寫這個(gè)書(shū)的時(shí)候竟然知道中國(guó)成都文竹院,，對(duì)稱性這本書(shū)里面他插圖第63就是成都文竹院的窗子,，多少人去文竹院看不懂窗子里面的花樣。

群論有多困難呢,？今天聽(tīng)講座的朋友肯定說(shuō)我沒(méi)有聽(tīng)懂,，為什么你沒(méi)有聽(tīng)懂？因?yàn)橐涣魑锢韺W(xué)家都不懂,，當(dāng)這兩位老兄把群論引到量子力學(xué)的時(shí)候,，德國(guó)為中心的一流物理學(xué)家也是不懂的，他管群論叫什么,？這些物理學(xué)家管群論叫做“群瘟”,！所以我就很感慨，一流物理學(xué)家對(duì)于自己沒(méi)有本事理解的學(xué)問(wèn)一點(diǎn)也不免俗去貶低,，請(qǐng)大家理解,，這是正常的心理狀態(tài)，當(dāng)我們不能理解它的時(shí)候就貶低它,。

在1918年,，這時(shí)歐洲大瘟疫流行，流行到歐洲世界大戰(zhàn)主要參加國(guó)都打不動(dòng)仗了,，1918年第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束了,。但是它在科學(xué)上非常重要，1918年以前愛(ài)因斯坦已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了量子力學(xué),，狹義相對(duì)論,，但是在1918年，德國(guó)哥廷恩有一個(gè)女老師寫了一篇文章,，這篇文章叫做不變的變分問(wèn)題,，就是這篇論文建立了對(duì)稱性和物理的守恒律關(guān)系，讓物理學(xué)跨入了一個(gè)新時(shí)代，是對(duì)稱性決定相互作用的時(shí)代,，我們經(jīng)常說(shuō)誰(shuí)的文章有劃時(shí)代的意義,，這一篇就是有著劃時(shí)代的意義。

規(guī)范場(chǎng)論的誕生

1918年,，同樣是從哥廷恩大學(xué)畢業(yè)的,，在瑞士ETH任教的和愛(ài)因斯坦交好的數(shù)學(xué)家外爾開(kāi)始研究物理，為什么,？給廣義相對(duì)論夯實(shí)基礎(chǔ),。他的導(dǎo)師是哥廷恩大學(xué)的希爾波特，希爾波特年輕的時(shí)候接受了一個(gè)任務(wù),，給數(shù)論寫綜述文章，但是寫的過(guò)程發(fā)現(xiàn)數(shù)論基礎(chǔ)很不扎實(shí),，所以給數(shù)論再次奠定了個(gè)基礎(chǔ),。外爾給廣義相對(duì)論寫綜述，說(shuō)愛(ài)因斯坦不懂?dāng)?shù)學(xué),，給愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論奠定數(shù)學(xué)基礎(chǔ),，這個(gè)結(jié)果就帶出了規(guī)范場(chǎng)論。

這篇文章思想就是物理學(xué)由哈密頓原理來(lái),，函數(shù)積分作用量最小才是物理的現(xiàn)實(shí),，這就是哈密頓原理。她注意到讓積分最小,，就有特殊的對(duì)稱性,，特殊的對(duì)稱性就是常見(jiàn)的時(shí)空對(duì)稱性，這是愛(ài)因斯坦的相對(duì)論,。她是學(xué)數(shù)學(xué)的,，她說(shuō)如果有別的對(duì)稱性呢？比如時(shí)空對(duì)稱性就是能量守恒,、動(dòng)量守恒,，這個(gè)大家都知道，她說(shuō)如果有抽象空間對(duì)稱性就能引出新的物理,，這就是規(guī)范場(chǎng)論,。這個(gè)女士是學(xué)文的，今天有很多同志問(wèn)我學(xué)文科能不能聽(tīng)懂,，我們看看文科怎么創(chuàng)造出數(shù)學(xué)物理的,。這女孩1882年出生，大學(xué)學(xué)外語(yǔ)法語(yǔ),、英語(yǔ),，畢業(yè)以后本要到中學(xué)當(dāng)老師的，可是分配工作的時(shí)候不甘心當(dāng)一位老師,，跟她父親說(shuō)我還是喜歡數(shù)學(xué),，她爸爸本身是大學(xué)的數(shù)學(xué)教授,，她說(shuō)既然女兒愿意學(xué)數(shù)學(xué)，那就學(xué),。6年以后就到了1918年,，這位女士給了我們劃時(shí)代的數(shù)學(xué)成果，后來(lái)被稱為近世代數(shù)之父,。這個(gè)地方叫做抽象空間對(duì)稱性,，抽象空間對(duì)稱性是什么東西？日常生活里面有,，只是你不注意而已,。

給大家看一只小蟲(chóng)子，很漂亮,，叫做“圣誕樹(shù)蟲(chóng)”,，仔細(xì)看它是螺旋的，但是這兩粒在一起的時(shí)候一定是相反方向旋的,，你明顯能夠看到時(shí)空方面的對(duì)稱性,，一個(gè)是左旋一個(gè)是右旋。它有沒(méi)有抽象空間對(duì)稱性呢,？有,，顏色，赤橙黃綠…假如七種顏色,，這就是七維空間對(duì)稱性顏色,。

可能有人認(rèn)為顏色這個(gè)東西也是我們眼睛看到的，不算抽象對(duì)稱性,，但是某種意義上顏色就是抽象空間對(duì)稱性,，學(xué)量子物理的時(shí)候給夸克分類的時(shí)候用的就是顏色，還有量子色動(dòng)力學(xué),。如果這個(gè)不算抽象空間對(duì)稱性,，那么還有一個(gè)抽象空間對(duì)稱性，一它的很深,，就是這對(duì)圣誕樹(shù)蟲(chóng)一定是一公一母,。知道如何描述它的時(shí)空對(duì)稱性就是相對(duì)論，知道如何描述抽象空間相對(duì)論,，那個(gè)就叫規(guī)范場(chǎng)論,。

中國(guó)話里面規(guī)、范,、模,、具早就都有，它為什么在物理上重要呢？比如大家都熟悉的溫標(biāo),，對(duì)于溫度你是可以給它不同的標(biāo)度,，但是不管標(biāo)度怎么給，不可以違背物理定律,，就是各種值高的東西,，一定是往熱量低的地方流，只要這個(gè)物理不錯(cuò),，你給出的溫度標(biāo)就都是合理的,，這就是標(biāo)度的問(wèn)題，所以規(guī),、矩,、模、范跟這些東西都有關(guān)系,。原來(lái)說(shuō)買錢不買范,，這是做錢的范，是國(guó)家的,，不能弄一套在家藏著。但是學(xué)物理的正好相反,，是買范不買錢,，因?yàn)槟阗I錢各種各樣現(xiàn)象太多了，但是理解它的范,，理解理論最深的骨架,，這叫學(xué)物理。

規(guī)范場(chǎng)論中的重要意義

什么叫規(guī)范自由度,？做微分的時(shí)候知道,，一個(gè)積分結(jié)果等于某個(gè)函數(shù)，但要加一個(gè)常數(shù),，這個(gè)常數(shù)不影響這個(gè)方程,，這個(gè)叫做規(guī)范自由度。經(jīng)典力學(xué)里面Euler-Lagrange方程,，隨便加上一個(gè)函數(shù)對(duì)于時(shí)間的微分,，也都不影響這個(gè)方程。這是大家都熟悉的一個(gè)事實(shí),，可是又有人想,，既然這個(gè)東西有這樣一個(gè)自由度，隨便加上這個(gè)函數(shù),，方程自由度都不變,。那么反過(guò)來(lái)想，某一個(gè)東西隨便加上什么樣的函數(shù)不變的，對(duì)它意味著什么,？這就是規(guī)范場(chǎng)思想,，意思是當(dāng)你享受某種自由的時(shí)候，其實(shí)它同時(shí)意味著某種限制,？這就是規(guī)范場(chǎng)論最核心的思想,。大家工作的時(shí)候，如果領(lǐng)導(dǎo)說(shuō)由你全權(quán)處理,，充分自由,，你千萬(wàn)別把它理解為充分自由，這個(gè)特殊的自由就意味著特殊的約束,，這就是規(guī)范場(chǎng)論深刻的思想,。大家一定要記住這個(gè)反向思維，而特殊的自由必然是意味著特殊的要求,。

舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子,，比如硬幣正反面，哪個(gè)叫正面,，哪個(gè)叫反面,？沒(méi)有關(guān)系，約定好了大家都認(rèn)可就可以了,。但是我們一般認(rèn)為它的約定規(guī)定1是正面,，2是反面的話，換一個(gè)地方它還是1是正面,、2是反面,。規(guī)范自由度可以是局域自由度，就是這兩個(gè)硬幣規(guī)定1是正面,，另外一個(gè)地方可以規(guī)定2是正面,，這個(gè)也不影響物理，這個(gè)就叫做規(guī)范自由度的局域自由度,，也就是我們說(shuō)的十里不同俗,，你們這個(gè)村規(guī)定一定是正面，我們村一定規(guī)定是背面,，但是都不影響經(jīng)濟(jì),、不影響花錢，這是規(guī)范自由度,，這個(gè)自由度一些年齡大的人很能理解,，就是當(dāng)年的地方糧票，每個(gè)省每個(gè)市都發(fā)自己的糧票,，你的糧票允不允買細(xì)糧都是各地方規(guī)定,，你的規(guī)定不影響我的,。

規(guī)范自由度有哪些呢？有一個(gè)簡(jiǎn)單的例子就是圓柱,，繞它的軸整體轉(zhuǎn)一個(gè)角度的話,，不管轉(zhuǎn)多少角度它還是那個(gè)圓柱。但是設(shè)想你把圓柱切成不同的薄層,，每個(gè)薄層隨便轉(zhuǎn)成不同的角度看起來(lái)也還是圓柱,，這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是局域的，選多少度跟別的地方?jīng)]有關(guān)系,。對(duì)于球殼也是一樣的,，球殼可以有兩個(gè)獨(dú)立的角，轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)還是球殼,，把球體分成不同的球殼,，不同的球殼獨(dú)立轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)兩個(gè)角這還是一個(gè)球，這就是規(guī)范自由度,，從這個(gè)角度去看,，我們可以發(fā)現(xiàn)電磁理論正是有這樣一個(gè)規(guī)范自由度的。

對(duì)規(guī)范自由度來(lái)講,，如果你對(duì)它加一個(gè)規(guī)范后,，它就能針對(duì)特定的規(guī)范有一個(gè)特定的形式，所以既然有這個(gè)規(guī)范自由度,，我們就要充分利用這個(gè)自由度,，加規(guī)范看變成什么樣子，變成不同樣子的方程,。但是它的樣子不一樣就能看到不同的物理,，比如我們的電磁學(xué)方程組,，當(dāng)你選擇Lorenz規(guī)范的時(shí)候,，它有一個(gè)自由度，你現(xiàn)在用它限制自由度的時(shí)候,，方程就變成了琴弦震動(dòng)的方程,，于是人們猜測(cè)電磁這個(gè)現(xiàn)象能夠產(chǎn)生電磁波？既然電磁波在這個(gè)地方對(duì)應(yīng)速度,，這個(gè)速度算出來(lái)以后發(fā)現(xiàn)和光速差不多,，難道電磁波是光？光速有兩個(gè)不同的參數(shù)計(jì)算,，它沒(méi)有參照系,，這是狹義相對(duì)論最基本的原理。公式的變化具體過(guò)程可能一天都介紹不完,，大家知道電磁學(xué)是規(guī)范的理論就行了,。

我們知道引力是規(guī)范理論,，引力的規(guī)范在哪呢？就在于空間是由能量,、動(dòng)量,、張量決定的，但是能量,、動(dòng)量守恒對(duì)應(yīng)的是平移部分,，而時(shí)空真正的對(duì)稱群大的很，說(shuō)明這里有大量的自由度,。同時(shí)間,，微分幾何還有另外一條路徑的發(fā)展，微分幾何另外一條路徑發(fā)展來(lái)自于一個(gè)非常重要的人,，叫Tullio

Levi-Civita,。為什么要講這個(gè)人呢？當(dāng)年愛(ài)因斯坦要發(fā)展廣義相對(duì)論的時(shí)候,，最終決定要用數(shù)學(xué),。而愛(ài)因斯坦正是找他教學(xué)了意大利語(yǔ)，愛(ài)因斯坦創(chuàng)立完廣義相對(duì)論,，他從微分幾何的重要奠基人,，成為廣義相對(duì)論的重要專家。我為什么說(shuō)這些呢,？尤其是做學(xué)問(wèn)的,，不管這個(gè)世界上誰(shuí)需要你幫助，請(qǐng)大家記住一定要去幫助別人,，幫助別人的過(guò)程是你在做事情的過(guò)程,，收獲的不是那個(gè)人的感謝，是你做這個(gè)事情過(guò)程當(dāng)中的所得,。

但是這一點(diǎn)要跟大家強(qiáng)調(diào)清楚,，關(guān)于引力的微積分方程，????² = ??????????^??????^??里你看這個(gè)表達(dá)式,，和剛才學(xué)的一元二次方程方程結(jié)構(gòu)是一樣的,，是x=c1，與bx=c2這兩個(gè)東西怎么融合在一起的問(wèn)題,。而引力與電磁場(chǎng)的規(guī)范場(chǎng)論,，與解決把這兩個(gè)東西加到一起的問(wèn)題，本質(zhì)上是一樣的,，差別在一個(gè)是微分的,，一個(gè)是實(shí)數(shù)的。

所以有人嘗試將矢量平移和內(nèi)積的表示方式進(jìn)行聯(lián)絡(luò),，對(duì)應(yīng)不變量正好是電磁學(xué)方程,，所以帶來(lái)一個(gè)重要的認(rèn)識(shí),，電磁學(xué)不是獨(dú)立現(xiàn)象，是引力伴隨現(xiàn)象,，就是蘋果掉到地上,，砸到頭，這是引力現(xiàn)象,，而摩擦生電,，或者電火花發(fā)光，這些電磁現(xiàn)象竟然是引力的伴隨現(xiàn)象,。

所以,，在1918年發(fā)表的一篇文章，里面第一次使用了“規(guī)范”的概念,。我再提醒大家,，規(guī)范與校準(zhǔn)、校驗(yàn),、定標(biāo),，這些詞都是聯(lián)系在一起使用。也就是要給這個(gè)稱上加定盤心,，告訴你這個(gè)地方的讀數(shù)該是多少,。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的秤錘，但是秤鉤有兩套,，所以上邊表示幾斤的標(biāo)度也有兩套,，而且最重要的從這兒一定是越來(lái)越細(xì)，不能是等粗,，而秤心也不是等間距的,，這里面涉及的學(xué)問(wèn)就是物理學(xué)最深刻的學(xué)問(wèn)，請(qǐng)大家千萬(wàn)不要小看物理量校準(zhǔn)與測(cè)量,，這才是最深刻的學(xué)問(wèn),。

我認(rèn)為，說(shuō)得清楚中國(guó)杠桿的原理,，你就懂得物理的一半,。給我們創(chuàng)造數(shù)學(xué)與物理的大神都在哪兒工作,，看看龐加萊,，他是數(shù)學(xué)全才，但他是鐵路工程師,，在法國(guó)的長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)局,。愛(ài)因斯坦給我們帶來(lái)廣義相對(duì)論、相對(duì)相對(duì)論,，愛(ài)因斯坦在哪兒工作呢,？他在瑞士伯爾尼專利局,，為什么審專利能夠做出相對(duì)論呢？因?yàn)槟菚r(shí)候最重要的就是鐘表校準(zhǔn)的問(wèn)題,，而愛(ài)因斯坦就是考慮火車上的鐘表與火車站的鐘表,，如何校準(zhǔn)的問(wèn)題，得出一個(gè)微分方程,，這個(gè)微分方程的解就是電磁學(xué)的規(guī)范變換,、洛侖茲變換，這是愛(ài)因斯坦成名的原因,。而我們所謂的科普書(shū)里面永遠(yuǎn)不會(huì)說(shuō)到這一點(diǎn),，你為什么不知道愛(ài)因斯坦的偉大，光看科普書(shū),，永遠(yuǎn)不知道為什么不知道一流科學(xué)家會(huì)接受專利局職員的工作,。

再看，你不知道巴黎長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)局到底有多大的意義,，請(qǐng)看這一套東西,，這是北斗系統(tǒng)，請(qǐng)問(wèn)巴黎長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)局與北斗系統(tǒng)有什么關(guān)系,？北斗系統(tǒng)最上邊最值錢的原子噴泉鐘,，原子噴泉鐘的概念來(lái)自于巴黎長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)局，你學(xué)會(huì)了原子噴泉鐘,，而人家這個(gè)地方產(chǎn)生概念,，這就是我們科技要追趕的距離。

外爾將規(guī)范理論整理成一篇文章,，有電磁場(chǎng)的時(shí)候從一點(diǎn)挪到另一點(diǎn),，長(zhǎng)度有變化，這篇文章是愛(ài)因斯坦審稿,，愛(ài)因斯坦說(shuō)這個(gè)理論是不對(duì)的,。為什么？如果這個(gè)理論對(duì)的話,，原子性質(zhì)就依賴于它經(jīng)過(guò)的路徑,，原子波長(zhǎng)是不同的，那么過(guò)兩天原子就變的不一樣,。但是我們的世界不是這樣的,，原子是穩(wěn)定的，原子波長(zhǎng)是定的,。愛(ài)因斯坦的審稿意見(jiàn)最后是：但是這篇文章的深度和理性是我們每個(gè)人都要充滿敬意看待的,，這審稿意見(jiàn)多么高情商。

可是,，大家想象一下,，像這么好的理論難道沒(méi)用嗎,？誰(shuí)來(lái)拯救他呢？拿什么拯救,？后來(lái)這樣的一個(gè)理論就被薛定諤,、倫敦他們這些人拯救了。拿什么拯救呢,？老量子力學(xué)與新量子力學(xué),。

第一個(gè)拯救的人是薛定諤。薛定諤是奧地利維也納大學(xué)教授,，當(dāng)時(shí)在瑞士訪問(wèn),，這么好的理論哪能無(wú)視呢？他從外爾能量量子化的概念,，發(fā)現(xiàn)外爾表達(dá)式有道理,，他說(shuō)很難相信這個(gè)量子化條件是偶然結(jié)果，而沒(méi)有深刻的意義,，他提出了修改因子γ的建議,。1926年，得出來(lái)了量子力學(xué)基本方程,，也就是“薛定諤方程”,。

他寫出量子力學(xué)方程，怎么證明對(duì)呢,？要舉一個(gè)例子,，用來(lái)解氫原子的方程，一般的量子力學(xué)書(shū)都會(huì)告訴這個(gè)解是什么,，大家看這個(gè)解算復(fù)雜吧,。我當(dāng)年學(xué)量子力學(xué)的時(shí)候背這個(gè)公式，有一天我看了原文發(fā)現(xiàn),，薛定諤雖然是維也納數(shù)學(xué)物理教授,，他也不會(huì)解。誰(shuí)解的呢,？就是剛才的規(guī)范場(chǎng)的人幫他解的,。恰恰我們會(huì)發(fā)現(xiàn)就是薛定諤這兩個(gè)方程救了他的理論，所以請(qǐng)大家記住幫同臺(tái)僚就是幫自己,，幫別人不是讓別人付錢說(shuō)謝謝,，同事有一個(gè)值得幫的機(jī)會(huì)，幫的過(guò)程當(dāng)中自己的提高與獲得,，那是你的收獲,。這個(gè)方程出來(lái)之后,，當(dāng)年,，一個(gè)俄國(guó)人說(shuō),，我們現(xiàn)在有薛定諤的方程，把薛定諤方程與電磁學(xué)規(guī)范場(chǎng)論放在一起,，不就有電子與量子力學(xué)的電磁場(chǎng)理論了嗎,，這就是規(guī)范場(chǎng)論了。

一個(gè)叫Fritz London的人明確指出相因子的概念,，路徑不可積分,，但是在每一點(diǎn)的規(guī)范尺度是唯一的,。這使得外爾的理論包含了通往波動(dòng)力學(xué)的邏輯之路,。不可積因子同電磁理論聯(lián)系沒(méi)有問(wèn)題，但是不能當(dāng)作時(shí)空的尺度因子,，而應(yīng)該是當(dāng)做波動(dòng)力學(xué)的相因子。

外爾電磁學(xué)與引力的規(guī)范場(chǎng)論

規(guī)范場(chǎng)論不再往下講了,，接下來(lái)介紹更重要的：外爾電磁學(xué)與引力的規(guī)范場(chǎng)論，1929年外爾又寫了一篇長(zhǎng)論文,，Pauli先是諷刺,，但是看他到寫的長(zhǎng)論文的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)外爾寫的非常有道理,。Pauli理解了外爾思想之后，1933年在物理學(xué)手冊(cè)上把論文表述很清楚,，表述清楚到什么程度呢？清楚到不仔細(xì)的人,，以為這個(gè)理論是他的,。但是沒(méi)事,，這是規(guī)范場(chǎng)論,，我們之前就知道引力是規(guī)范場(chǎng)論,，這些東西雖然很神奇,，沒(méi)有帶出新東西,，新東西還在醞釀中,，是什么呢,？就是關(guān)于原子核里面的作用，原子核里面有質(zhì)子中子,，它們?yōu)槭裁创谝黄鹉兀縋auli的同門海森堡提出了別的對(duì)稱性,，比如說(shuō)同位旋,，同位旋角度下看質(zhì)子中子有對(duì)稱性,，是同一個(gè)矢量的兩個(gè)分量等等。

我們用這些思想看原子核的話,，會(huì)發(fā)現(xiàn)特別有趣的現(xiàn)象,，剛才說(shuō)同種正電荷靠的近,，是強(qiáng)相互作用造成的。原子核里面有質(zhì)子中子,，質(zhì)子,、中子可能會(huì)跑出來(lái)，比如產(chǎn)生α粒子，這很好理解,?？墒菑睦锩孢€跑出電子，電子哪兒來(lái)的,，原子核里沒(méi)有電子,。這說(shuō)明什么？質(zhì)子中子電子有弱的相互作用,。這里面還跑出光子,，里面沒(méi)有光，光的過(guò)程一定是在哪個(gè)過(guò)程產(chǎn)生的,，因?yàn)楣馐请姶挪?，所以這個(gè)地方可能有電磁相互作用，所以我們可以判斷原子核這么小的地方里面有強(qiáng)相互作用,、弱相互作用,，有電磁相互作用，我們相信一定有某種原因使得這些作用同時(shí)存在,。

這中間有一個(gè)叫Oscar Klein的人,，用五維空間的東西，把這套理論都發(fā)展起來(lái),，1938年,，他用法語(yǔ)發(fā)表了文章，因此很少人知道他的研究,。

接下來(lái)我給大家講講安徽省,，有人老說(shuō)江蘇省是散裝省，安徽倒不是散裝省,，分三塊,，通過(guò)淮河和長(zhǎng)江的沿線劃分，這三塊是三個(gè)文化區(qū),。中國(guó)第一本物理書(shū)是明朝的方以智寫的,，家是安徽桐城。安徽鳳陽(yáng)有個(gè)人叫楊克純,，他在安徽淮陽(yáng)縣當(dāng)中學(xué)老師,，1922年他的長(zhǎng)子在振寧出生，因?yàn)樵谡駥幊錾?，所以叫楊振寧?945年楊振寧到美國(guó)芝加哥大學(xué)攻讀物理博士,。1938年的時(shí)候，楊振寧先生在昆明讀中學(xué),，他的父親建議他閱讀1937年出版的“有限群理論”,，這個(gè)有限群理論將來(lái)出現(xiàn)在外爾的對(duì)稱性書(shū)里面,，1954年楊振寧先生的成名之作“規(guī)范場(chǎng)論”就是外爾的理論。我看這樣的東西,，總相信冥冥之中某些人的成就是前面安排好的,。

談?wù)撨@個(gè)我不得啰嗦一句，什么樣的人是著名科學(xué)家的問(wèn)題,，能把自己的姓進(jìn)入到科學(xué)里面的,。比如說(shuō)，你的姓和某個(gè)理論,、方程,、概念綁定了，什么愛(ài)因斯坦相對(duì)論,、諾德定律,、歐拉方程,、狄拉克矩陣,、外爾旋量這是一類。第二類是你的姓被改造成了形容詞,，或者形容詞做名詞,，比如說(shuō)牛頓改成Newtonian，Lagrange改成Lagrangian,，Laplace是Laplacian,，Hamilton是Hamiltonian。楊振寧也被改成Yangian,。還有最高水平是姓被改造了好,，并且有小寫來(lái)代替，比如Abel到abelian,，用a來(lái)代表,。楊先生的工作是什么呢？楊先生關(guān)于規(guī)范場(chǎng)論的工作體現(xiàn)主要是其在1954年,、1974,、1975年的工作，1974年的文章是最清楚的,。具體的工作都列在下面,。

楊振寧在做報(bào)告的時(shí)候，Pauli坐在最前排,，我們都知道Pauli被稱為物理學(xué)的鞭子,，誰(shuí)做報(bào)告都不客氣。楊先生做報(bào)告的時(shí)候,，Pauli說(shuō)同位旋粒子質(zhì)量問(wèn)題如何解決呢,？楊振寧先生說(shuō)這個(gè)問(wèn)題太難了,，我們考慮了，沒(méi)解決,。Pauli說(shuō)這算什么借口,，但第二天他就明白了，對(duì)楊振寧先生的工作非常認(rèn)可,，第二天Pauli建議楊振寧先生看薛定諤的1932年的文章,，薛定諤1932年正式把相對(duì)論與狄拉克電子結(jié)合在一起，寫了很了不起的文章,。課本中只講薛定諤方程,，這其實(shí)不夠全面，在整個(gè)物理學(xué)史上還有很多重要的人,。

后來(lái)規(guī)范場(chǎng)論誰(shuí)的表述最好呢,，是同時(shí)期的哈佛大學(xué)學(xué)生肖恩，在1954年他的博士論文中將規(guī)范場(chǎng)論論述的特別好,，最簡(jiǎn)單的指數(shù)函數(shù),，把變量擴(kuò)展成矩陣，擴(kuò)展成2*3矩陣,，擴(kuò)展成2*2矩陣,，該是什么？這是Shaw的博士論文研究的內(nèi)容,。還有一個(gè)沒(méi)太被注意的日本人,，叫內(nèi)山菱友，他1954年到了普利斯頓研究所,，注意到楊振寧先生的工作,，才知道自己的工作多么重要，所以趕緊又寫了論文,，并引了楊振寧先生的論文,，文章在1956年發(fā)表，人們都認(rèn)為他的工作比楊先生晚了很多,。但是其實(shí)內(nèi)山的工作由簡(jiǎn)單的李群推廣到廣義李群的情形,，構(gòu)造了廣義規(guī)范理論，而且條理特別清楚,，我建議讀專業(yè)理論的博士,，一定要讀內(nèi)山菱友的這篇論文。由于這篇論文是用日語(yǔ)發(fā)表的,。因此知名度很低,，內(nèi)山菱友的照片都很難找，但是他是特別了不起的日本物理教育家,。

四種基本相互作用,，強(qiáng),、弱、電磁,、引力相互作用,，規(guī)范場(chǎng)論都適用，而強(qiáng)相互作用,、弱相互作用,、電磁相互作用它的對(duì)應(yīng)的群，SU（3）,、SU（2）,、SU（1）都差不多，所以它們統(tǒng)一比較方便,，而引力雖然也是規(guī)范場(chǎng)論,，但是它的規(guī)范比較復(fù)雜，是龐加萊群,。到目前為止還沒(méi)有引力和其他三種相互作用的統(tǒng)一,，統(tǒng)一就是關(guān)于粒子的標(biāo)準(zhǔn)模型，什么叫做統(tǒng)一呢,？就是一個(gè)規(guī)范群中一個(gè)場(chǎng)是不同的粒子場(chǎng)的不同分量,，這是非常了不起的理論,。

由物理學(xué)發(fā)展產(chǎn)生的啟發(fā)

這個(gè)地方給大家提一個(gè)非常重要的事情,，學(xué)問(wèn)構(gòu)成很重要的就是擴(kuò)展。有學(xué)問(wèn),，要有能力在平面擴(kuò)展,，以及更深層次的擴(kuò)展，和往下深挖擴(kuò)展,。對(duì)于新的知識(shí)接受不是自然而然的接受,，很多時(shí)候是不得已，摁著牛頭喝水才接受,。今天講的這些事情,，從物理說(shuō)到實(shí)處，以至于引到一元二次方程,、狹義相對(duì)論,，在此過(guò)程中都對(duì)新的知識(shí)都不是自然而然的接受，而是把路走到這個(gè)地方不得已接受,。談到工作的時(shí)候,，我特別想說(shuō)，剛才我們說(shuō)了雖然有些地方升教授強(qiáng)調(diào)獨(dú)立工作,，但是真正創(chuàng)造過(guò)程中,，真正層次上互相有幫助啟發(fā)的合作是非常重要的,。

關(guān)于我過(guò)去三年里面講的量子力學(xué)、相對(duì)論和規(guī)范場(chǎng)論,，我請(qǐng)大家記住它產(chǎn)生于瑞士同一個(gè)小鎮(zhèn)子,，蘇黎士，這個(gè)小鎮(zhèn)上聚集著外爾,、愛(ài)因斯坦,、薛定諤，這三個(gè)人都是同時(shí)對(duì)規(guī)范場(chǎng)論,、量子力學(xué)有貢獻(xiàn)的人,，薛定諤當(dāng)時(shí)在蘇黎士大學(xué)。愛(ài)因斯坦畢業(yè)于Eidgenosse,，外爾在這所大學(xué)里面工作,，今天隨便把這所大學(xué)翻譯成瑞士聯(lián)邦理工就不能理解這個(gè)學(xué)校的意思，這個(gè)學(xué)校開(kāi)頭叫Eidgenosse,，就是漢語(yǔ)中志同道合的人,，這個(gè)學(xué)校名字會(huì)讓你有所感觸。這三個(gè)人他們?cè)谝黄?，湊到一起帶給我們這么深刻的理論,，也意味著他們是“同志”。這個(gè)時(shí)期在這個(gè)學(xué)校工作的,，還有閔可夫斯基,，他對(duì)于相對(duì)論發(fā)展也很重要。

寫到這兒的時(shí)候我特別感慨,，什么是天才,，天才不過(guò)是受到合格教育的正常人而已，包括在座各位,，包括線上那么多同志,。非常抱歉和可惜的是我們都沒(méi)有受到正常教育。第一個(gè),，科學(xué)巨擘的成長(zhǎng)需要什么條件,？第一，生來(lái)是那塊料子,。第二,，他碰巧生在有教養(yǎng)的人家，比如楊振寧先生,，父親就是美國(guó)芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)博士,，后來(lái)送了他去美國(guó)芝加哥大學(xué)讀物理博士。第三個(gè)是長(zhǎng)在有文化底蘊(yùn)的地方,。第四,，年輕時(shí)要上算的上大學(xué)的大學(xué),。最后一條就是成年后身邊有幾個(gè)可以相互砥礪的杰出的朋友同儕，一個(gè)人在成長(zhǎng)過(guò)程中,，湊齊了這幾條可以說(shuō)以后前途不可限量,。

德國(guó)一個(gè)小鎮(zhèn)叫哥廷恩，哥廷恩有這么一句話,，說(shuō)哥廷恩之外沒(méi)有生活,。哥廷恩大學(xué)厲害到什么程度？高斯,、韋伯,、黎曼、狄里希利,、希爾伯特,、克萊因、閔可夫斯基,、諾特,、外爾等，這些都是這個(gè)地方的,。我們都知道黎曼只活了40歲,，做了15年數(shù)學(xué)，有一種評(píng)價(jià),，在19世紀(jì),，黎曼一個(gè)人做的數(shù)學(xué)占當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界一半的貢獻(xiàn)。而且黎曼是學(xué)文科的,，他到19歲的時(shí)候還弄不清楚自己要學(xué)語(yǔ)言還是神學(xué),，結(jié)果在大學(xué)里面遇到了高斯老師，老師說(shuō)你應(yīng)該去學(xué)數(shù)學(xué),，于是他到柏林大學(xué)去學(xué)數(shù)學(xué)。這就是一個(gè)好大學(xué)最重要的標(biāo)配,，就是大學(xué)里面要有巨擘,，不是你成為那個(gè)老師的學(xué)生，而是你在校園里面能夠遇到他,，能夠趕上他,，能有那種崇高的理念，這就足夠了,。

許多人讀物理,，為什么一直讀的不對(duì)？就是數(shù)學(xué)學(xué)的不對(duì),，經(jīng)典電磁力學(xué),、電動(dòng)力學(xué),、數(shù)學(xué)基本都是那三個(gè)人創(chuàng)造的，這三個(gè)人中,，Hermann

Grabmann是德國(guó)中學(xué)老師,，又是學(xué)文科的語(yǔ)言學(xué)家，他創(chuàng)造了內(nèi)機(jī),、外機(jī)這些概念,。再說(shuō)Clifford，Clifford享年只有34歲,，但是Clifford代數(shù)以及整個(gè)相對(duì)論思想,，包括引力是物質(zhì)產(chǎn)生的，而物質(zhì)不過(guò)是彎曲空間里面的漣漪,，以及引力是以彎曲的波的形式傳播這些話都出現(xiàn)在Clifford的書(shū)里面,。在趕海撿貝殼時(shí)，由于落潮的時(shí)候整個(gè)沙灘上都是起伏的,，判斷不出哪個(gè)地方有東西,，所以先用工具讓沙灘平變，但是我們說(shuō)物質(zhì)附近的空間是彎曲的,，引力是彎曲波形式,，所以捋平的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)有些地方無(wú)法弄平,，那個(gè)地方就是有物質(zhì)的,，有東西的。這是日常生活中簡(jiǎn)單的智慧,，但是蘊(yùn)含了最深刻的道理,。

請(qǐng)大家注意，在學(xué)相對(duì)論,、規(guī)范場(chǎng)論這種東西時(shí),，一開(kāi)始是很難，但是你學(xué)著學(xué)著慢慢感覺(jué)到它有道理,，而且很深刻,，就可以為你帶來(lái)喜悅，大概就能學(xué)下去了,，這也是我學(xué)它的經(jīng)驗(yàn),。

關(guān)于經(jīng)典力學(xué)、方程,，請(qǐng)大家一定要讀這些經(jīng)典,，關(guān)于規(guī)范場(chǎng)論寫的最好的就是規(guī)范場(chǎng)論《黎明》的一本書(shū)，我學(xué)習(xí)過(guò)程中，從一元二次方程到規(guī)范場(chǎng)論,，我都會(huì)在一本小冊(cè)子里面記筆記,。再提醒大家，如果讀書(shū)都讀那些自己也不懂的人寫的書(shū),，你會(huì)越讀越孤獨(dú)的,。所以讀書(shū)有一個(gè)竅門，當(dāng)你讀一個(gè)東西讀不懂的時(shí)候,，最正確的做法不是書(shū)讀千遍其意自現(xiàn),，是把這本書(shū)扔了換一本，因?yàn)榭傆幸粋€(gè)人能夠把這個(gè)問(wèn)題講明白,，換一本書(shū),，而不是在那個(gè)地方死扣，因?yàn)槟莻€(gè)人你看不明白,，道理再講也會(huì)不明白,。

這就是我給大家的建議，要讀厚重的書(shū),，學(xué)深刻的知識(shí),，做從前不會(huì)的事情。有一句話在歐洲哲學(xué)里面被濃縮成：“No time to be brief”,，這句話特別難翻譯,，就是你有時(shí)間干瑣碎的事情，但是沒(méi)有時(shí)間干精簡(jiǎn)的事情,，我也嘗試著翻譯為“人生再難,，不可以草草地、匆匆地辜負(fù)”,。

結(jié)語(yǔ)

經(jīng)過(guò)三年,，我們把理論物理三座大山，規(guī)范場(chǎng)論,、相對(duì)論,、量子力學(xué)，都介紹過(guò)了,。但是這些學(xué)問(wèn)其實(shí)論難度,、內(nèi)涵思想都遠(yuǎn)遠(yuǎn)趕不上經(jīng)典的物理，經(jīng)典的物理才是思想最多的,，是數(shù)學(xué)物理創(chuàng)造的東西，經(jīng)典物理是地基性的東西,，其他是頂層建筑式的東西,，所以真正的學(xué)問(wèn)應(yīng)該在經(jīng)典。如果有機(jī)會(huì)，我們把經(jīng)典力學(xué),、熱力學(xué),、電磁學(xué)、電動(dòng)力學(xué)人這些知識(shí)一點(diǎn)一點(diǎn)從平地建立起來(lái),。電動(dòng)力學(xué)是我一直很害怕的東西,，它里面的內(nèi)容太深了。這也是為什么在過(guò)去三年里面沒(méi)有討論它的問(wèn)題,。

給大家看一張圖,，問(wèn)“毛驢拉磨”為什么要蒙眼睛？如果大家學(xué)過(guò)廣義相對(duì)論就知道,，在這樣的空間里面,，圓才是最短的，圓是直線,，所以給毛驢蒙上眼睛,，就是讓毛驢正確的理解認(rèn)識(shí)到圓也是直線。所以我今天講的這些東西,，大家覺(jué)得太難了,，不懂，怎么接受它呢,？就是把眼睛一蒙,，世界就好理解了。你要有這種態(tài)度,。學(xué)數(shù)學(xué),、學(xué)物理要用什么呢？要用你的內(nèi)眼看它,，有兩個(gè)大神,，一個(gè)是Euler，后來(lái)眼睛幾乎看不見(jiàn)了,，一個(gè)是大神龐加萊,，他一輩子眼神都不好，眼神不好的人有內(nèi)眼,，有計(jì)算能力,，躺在床上，可以在腦子里面把論文推導(dǎo)出來(lái),，這恰恰是其他人做不來(lái)的事情,。

我這個(gè)講座之所以講那么深刻的東西，不是說(shuō)能夠讓年輕人都看懂,，因?yàn)槲易约阂膊欢?，我自己不懂也不能完全講懂，但是我希望你們聽(tīng)說(shuō)過(guò)。我特別希望有一天在這片土地上成長(zhǎng)起來(lái)的,，從小愿意學(xué)習(xí)深刻學(xué)問(wèn)的少年,，也能夠像楊振寧先生，像今年95歲的李政道先生一樣,，為人類的數(shù)學(xué)和物理做出不可磨滅的貢獻(xiàn),。

你們聽(tīng)說(shuō)過(guò)這首歌吧？《Santa Lucia》,，我嗓子不會(huì)唱歌,，但是給大家稍微哼一下，這首歌是專門到諾貝爾獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)叻块g里面唱的意大利民歌,，我希望這首歌將來(lái)能夠派得上用場(chǎng),，希望年輕一代有人得諾貝爾獎(jiǎng)。

感謝大家的捧場(chǎng),。謝謝大家,！