小結(jié)1.：由以上三道例題,，我們可以適當(dāng)總結(jié)利用投影解決“求值”問(wèn)題的方法：第一，題目往往以平面幾何模型作為背景,，并且有較明顯的“幾何特征”（規(guī)則）,；第二，通常要把方向不“規(guī)則”的向量,，向具有明顯“幾何特征”的三角形（如直角,、等邊三角形）的邊做投影；第三,，做投影后往往要構(gòu)造出相似三角形,，再運(yùn)用平面幾何的知識(shí)求解,。

小結(jié)3：利用坐標(biāo)方法可以迅速地找到動(dòng)向量的“蹤跡”，能夠直觀地在圖上表示出來(lái),，助力題目分析,，一定程度上揭示了投影這一幾何意義的本質(zhì)——垂線。

以上列舉了平面向量數(shù)量積的第一幾何意義——投影的三種表現(xiàn)形式,。分別對(duì)“求值”和“求最值”這兩類問(wèn)題進(jìn)行深入剖析,，并利用“坐標(biāo)軌跡”的思想揭示了投影的本質(zhì),。近幾年天津高考與模擬題中的類型題例,，也充分顯示，投影在處理平面向量數(shù)量積的問(wèn)題上,，無(wú)疑是個(gè)系統(tǒng)完備,，能夠有效地“規(guī)避”夾角的優(yōu)選方法。

然而,，深入研究不難注意到,，無(wú)論是“求值”、“求最值”問(wèn)題,，還是“軌跡”問(wèn)題,，使用投影的前提條件都要“擁有一個(gè)‘定’的向量（或是一個(gè)具有明顯‘幾何特征’的向量）”。

這是因?yàn)?，投影具有方向性,。如果兩個(gè)向量都是變化的，我們就無(wú)法構(gòu)造投影,。于是,，類似于兩個(gè)向量均“不定”的問(wèn)題，投影的方法將無(wú)法使用,，而這類問(wèn)題往往是平面向量數(shù)量積考察的真正難點(diǎn)所在,。這也是第一幾何意義的局限性。

筆者查閱文獻(xiàn),，試圖尋找解決這類難題的普適方法,。于是，在高等數(shù)學(xué)的泛函分析中發(fā)現(xiàn)了“極化恒等式”,，并將其降至二維平面,，得到了平面向量形式的極化恒等式。筆者深入分析其幾何意義,，并挖掘其本質(zhì),，發(fā)現(xiàn)這個(gè)恒等式也可以利用幾何的理解巧妙地“規(guī)避”向量的夾角給分析造成的繁瑣，與投影有著“異曲同工”之妙,。于是,，筆者為了完善利用幾何意義解決平面向量數(shù)量積問(wèn)題的結(jié)構(gòu)體系,，嘗試建立了一個(gè)與投影類似的新模型，即平面向量的第二幾何意義——極化,。

小結(jié)4：運(yùn)用極化的方法解決“求最值”的問(wèn)題,，我們要先構(gòu)建“矢量三角形”，而后取其第三邊中點(diǎn)與兩向量的公共起點(diǎn)連線,，將兩向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為“第三邊中線”與“第三邊一半”的平方差,。這種處理的方法我們不妨也仿照投影，編一個(gè)口訣：“兩定兩動(dòng)連中線”,。

（1）“兩定”：矢量三角形中第三邊中點(diǎn)的位置是確定的,；矢量三角形中第三邊的長(zhǎng)度是定值。

（2）“兩動(dòng)”：兩個(gè)向量的模長(zhǎng)或方向不確定（或都不確定）

（3）“連中線”：兩向量的公共起點(diǎn)（或公共終點(diǎn)）與矢量三角形第三邊的中點(diǎn)連線,。

小結(jié)5：利用坐標(biāo)意義可以清楚地找到兩向量起點(diǎn)的軌跡,，能夠直觀地在圖上表示出來(lái)，便于分析,，同樣在一定程度上揭示了極化這一幾何意義的本質(zhì)——圓,。

平面向量數(shù)量積的兩個(gè)幾何意義，各自巧妙地揭示了內(nèi)積運(yùn)算的實(shí)質(zhì),。兩種理論互相交錯(cuò),，相互依存，共同構(gòu)成了“利用幾何意義理解平面向量數(shù)量積”完備的結(jié)構(gòu)體系,。深刻探究了內(nèi)積運(yùn)算與線性運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系,。

在天津高考中，向量是考察的重點(diǎn)和難點(diǎn),，數(shù)量積作為平面向量的重要理論有著舉足輕重的地位,。向量題目借著豐富的幾何背景，變化無(wú)窮,。使用幾何意義解決數(shù)量積問(wèn)題能夠快速,、準(zhǔn)確地找到答案，這種操作上的“迅速”與思路上的“明晰”是“基地分解”,、“建系”等方法難以逾越的,。

反過(guò)來(lái)，“基地分解”和“建系”則是向量數(shù)量積幾何意義的根基,，由本文例題不難看出,，幾何意義往往需要其他知識(shí)的輔助才能最終解決問(wèn)題。所以,，良好的基礎(chǔ)是使用幾何意義最堅(jiān)實(shí)的后盾,。