“曲中求直，蓄而后發(fā),，此謂借力打人,，四兩撥千斤也”。出自武術(shù)大家李亦畬的《五字訣》,，用于說明太極之奧義,。

今天介紹一個平面向量的極化恒等式，亦有“四兩撥千斤”之妙,。一個公式,，六種用法，小公式,，大力量,！

求解數(shù)量積常用的方法基底法、坐標(biāo)法和圖形法（幾何意義法）,，但有時(shí)其解題過程運(yùn)算復(fù)雜,、過程繁冗，經(jīng)常導(dǎo)致錯誤,。此時(shí)若能巧用極化恒等式,，往往化繁為簡，快速找到解題突破口,。本文以近幾年高考,、模擬試題為例，對極化恒等式在數(shù)量積問題中的應(yīng)用進(jìn)行分類整理,，有助于學(xué)生成績快速提升,！

定理：設(shè)a，b是平面內(nèi)的兩個向量,，則有a·b= 1/4［（a+b）2-（a-b）2］.

推導(dǎo)方式比較容易,，只需將右側(cè)平方公式打開即可！

幾何意義：△ABC中,，AD為中線,。則有：

即：向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長與半底邊長的平方差,，揭示了三角形中線與邊的關(guān)系,，也可以理解為向量的數(shù)量積可表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的1/4。

特征：兩個向量必須共起點(diǎn),，點(diǎn)D是兩個向量夾角所對第三向量（這兩個向量之差）上的中點(diǎn),。

題型一：三角形中數(shù)量積

【點(diǎn)評】利用極化恒等式構(gòu)造方程組,，從而求出數(shù)量積的值,。對于從中線與底邊這兩個方向?qū)ふ一紫蛄康臄?shù)量積問題，可以運(yùn)用極化恒等式,，把數(shù)量積轉(zhuǎn)化為數(shù)量的運(yùn)算,，大大簡化計(jì)算量！

【分析】此題是最值問題，標(biāo)準(zhǔn)答案是坐標(biāo)法,。計(jì)算量較大,，此時(shí)利用極化恒等式直接將數(shù)量積轉(zhuǎn)化,，利用均值非常簡單,。

以下是幾道三角形模型適合極化恒等式關(guān)于數(shù)量積的練習(xí)題,。用來給學(xué)生練習(xí)使用。

題型二 四邊形中數(shù)量積

配套練習(xí)

題型三 圓形中數(shù)量積

配套練習(xí)

題型四 圓錐曲線中數(shù)量積

配套練習(xí)

題型五 立體幾何中的數(shù)量積

配套練習(xí)

題型六 多動點(diǎn)數(shù)量積

【分析】此題初看是可以使用極化恒等式求解，但學(xué)生一經(jīng)分析便遇到了兩個動點(diǎn)的困難,，成了許多學(xué)生的“攔路虎”,，此題需要結(jié)合轉(zhuǎn)化的思想，挖掘靜態(tài)條件,，從而進(jìn)行突破,。需要將向量BP轉(zhuǎn)化為向量BC+向量CP處理。

【點(diǎn)評】遇到多動點(diǎn)的問題的時(shí)候，要考慮“化動為靜”,，逐漸將多動點(diǎn)轉(zhuǎn)化為少動點(diǎn),，這是一個重要的解題思想。

配套練習(xí)