張量(Tensor) 是在坐標變化下不變的一種形式量，比如數(shù)量,、線性空間里的向量,，通常以分量形式表現(xiàn)，是近代表述流形的幾何性質(zhì)和物理規(guī)律的重要數(shù)學工具,。最初在19世紀末,，意大利數(shù)學家 Ricci 利用分量的變換規(guī)律來定義張量,，近代數(shù)學則已經(jīng)將張量優(yōu)雅地看做向量空間及其對偶空間上的多重線性函數(shù)，使得張量的性質(zhì)和意義愈加明確,。

張量的數(shù)學定義

設V是向量空間,，V*是其對偶空間。笛卡爾乘積空間

上的一個p+q 重線性函數(shù),，稱作一個 (p,q) 型張量,。其中 p 為反變 (contravariant) 階數(shù)， q為協(xié)變(covariant )階數(shù),。

注：這里多重線性函數(shù)是指：

對偶空間是指：向量空間 V 上所有的線性函數(shù)所組成的線性空間,，稱為V的對偶空間，記作 V*.

特別地,，(1,0)型張量就是向量空間V中的元素,，(0,0)型張量即為實數(shù)。

張量的分量

我們知道,，要確定一個線性函數(shù),，只要知道它在向量空間基底上的取值即可。如果在n維向量空間V中取定一個基底

相應地,，對偶空間 V* 的對偶基底記為

即滿足

則

稱為(p,q)型張量 f 的分量,，一共有

個。

如果V的基底變成另一組

對偶基底為

基底之間的變換關系為：

其中a' 是 a 的逆矩陣,，即：

這里用到了Einstein求和約定：在一單項式里,，上指標和下指標有重復，代表對該指標求和,，比如：

這時,，對應張量 f 的分量變?yōu)?/p>

滿足

可以看到，張量 f 的分量中,，上指標的變換系數(shù)是基底變換矩陣的逆的乘積,，下指標的變換系數(shù)恰就是基底變換矩陣的乘積。這就是稱上指標為逆變階數(shù),，下指標為協(xié)變階數(shù)的原因,。歷史上，Ricci 就是用上述分量的變換規(guī)律來定義(p,q)型張量,，這與線性映射的定義方式是一致的,。也就是說，每一個張量在基底變換時,，其分量必定滿足上述的變換規(guī)律,；反過來，滿足上述變換規(guī)律的一組分量必定可以對應一個 p+q 重線性函數(shù),。

根據(jù)指標的對稱性,，張量可以分為對稱張量與反對稱張量，其中流形上的反對稱協(xié)變張量是外微分理論的基礎,。物理里很多重要的方程都是張量方程,，比如廣義相對論中著名的愛因斯坦場方程：

這里R和g分別是時空的Ricci曲率和度量，都是二階對稱協(xié)變張量,。