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對于數(shù)域 K 上的 n 維線性空間 V,，當給定一組基 {ε?, ε?, ..., ε_n} 后,，其中任意一個向量（也叫矢量） α 都對應(yīng)唯一的坐標系數(shù) (a?, a?, ..., a_n) 使得： 又有另外一個向量 β = b?ε? b?ε? ... b_nε_n，將 α 和 β 自然相乘,，有： 令,， 則有： 稱 ω 為 二階（秩）張量，在 V 確定一組基 {ε?, ε?, ..., ε_n}后,，對應(yīng) 一個系數(shù)方陣 Z,。 當然,，這個定義是非常粗糙的，甚至有如下缺陷：
中任何一對之積都一樣,，即，
于是，得到 z_{ij} 之間的比例關(guān)系： 顯然 就不滿足上面的比例關(guān)系,。 因此,，考慮脫離乘法而用 (1) 的形式直接定義張量，但是顯然不能是任意 n2 個數(shù)就可以構(gòu)成張量的系數(shù)矩陣,，我們需要找到規(guī)律,。 我們知道，n 維度線性空間中的向量 α ,，其坐標向量 (a?, a?, ..., a_n) 是依賴于基 {ε?, ε?, ..., ε_n} 的,，當基變?yōu)?{ε?', ε?', ..., ε_n'} 后就相應(yīng)的變?yōu)?(a?', a?', ..., a_n')。若已知,，{ε?, ε?, ..., ε_n} 到 {ε?', ε?', ..., ε_n'} 過渡矩陣是 T,，即： 則，有：
于是,，有：
等式兩邊左乘 (T?)?1,，整理后得到：
以上推導(dǎo)說明：向量 α 的坐標向量 雖然 隨著基的不同而變化，但是向量 α 從未改變,，是一個不變量,，即：
并且，不同基下的坐標向量之間滿足(2) ,。 受此啟發(fā),，分析：ω 的系數(shù)矩陣 Z = (z_{ij}) 也是依賴于基 {ε?, ε?, ..., ε_n} 的，當基變?yōu)?{ε?', ε?', ..., ε_n'} 后就相應(yīng)的變?yōu)?Z' = (z_{ij}'),，并且有：
于是,，有：
等式兩邊左乘 (T?)?1，右乘 T?1,，整理后得到：
于是,，給出二階張量的正式定義： 與 n 維線性空間 V 有關(guān)的量 ω，在線性空間 V 的基變化時,，具有不變性，滿足,，
并且,，不同基下的系數(shù)矩陣之間滿足 (3),，則稱 ω 為 二階張量。 依照以上思路我們可以定義三階張量,，這時系數(shù)矩陣就已經(jīng)不夠用了,，于是我們只能老老實實用多項式表示，為了簡化書寫引入愛因斯坦和式：
在一項中同時出現(xiàn)兩次的上下標 i 稱為啞標表示該項是多項相加的縮寫,，只出現(xiàn)一次的 j 是自由標,，禁止多于兩次。 新設(shè) V 中向量 γ = c?ε? c?ε? ... c_nε_n 有：
令 ω = αβγ,，z_{ijk} = a_ib_jc_k,，則有（從這里開始使用愛因斯坦和式）：
ω 就是三階張量。 設(shè) V 的基從{ε?, ε?, ..., ε_n} 變換到 {ε?', ε?', ..., ε_n'} 的過渡矩陣 T 以及其 轉(zhuǎn)置逆陣 S 分別為：
則有：
在新基下,，令 ω = z'_{ijk}ε'_iε'_jε'_k,，于是有：
最終得到：
于是我們定義： 與 n 維線性空間 V 有關(guān)的量 ω，在線性空間 V 的基變化時,，具有不變性,，滿足，
并且,，不同基下分量之間滿足 (4),，則稱 ω 為 三階張量。 繼續(xù)延續(xù)以上思路,，可以將張量擴展到任意 p 階,。 對于 和 n 維線性空間 V 相關(guān)的量 ω，在 V 的基變化時,，具有不變性,，滿足：
并且，不同基下分量之間滿足：
則稱 ω 為 p 階張量,。 注意到,，當 p = 1 時有：
這和向量完全一致，因此 一階張量 就是 向量,，向量就是一階張量,。 規(guī)定，當 p = 0 時為：
即,， 零階張量 就是 標量,。 線性空間 V 上的函數(shù) f: V → K，如果滿足線性：
則稱 f 為線性函數(shù)。定義線性函數(shù)的加法和數(shù)乘運算：
可以證明 V 上的全體線性函數(shù)構(gòu)成一個新的線性空間,，稱為 V 的對偶空間，記為 V*,。 對于 V 中給定的基 {ε?, ε?, ..., ε_n} ,，如果 V* 中的一組函數(shù) {ε1, ε2, ..., ε^n} 使得：
注：δ_{ij} 稱為 Kronecker 符號。 可以證明 滿足上式的 ε1, ε2, ..., ε^n 是 唯一的,，并且 是V* 的一組基,，稱 {ε1, ε2, ..., ε^n} 是 {ε?, ε?, ..., ε_n} 的對偶基。 也就是說,，對于 V* 中的任意線性函數(shù) f ,，有 f = a?ε1 a?ε2 ... a_nε^n ，這和 V 中向量的性質(zhì)完全相同,。 當 V 的基變?yōu)?{ε’?, ε'?, ..., ε'_n} 對偶基變?yōu)?{ε'1, ε'2, ..., ε'^n} ,，設(shè)， V 和 V* 中的過渡矩陣 分別為 T = (t_{ij}) 和 S = (s_{ij}),，則有：
這說明 S(T?) = E 于是 S = (T?)?1,，S 和 T 互為轉(zhuǎn)置逆陣。 同時,，對于線性函數(shù) f 又有：
于是,，得到：
由此可見，V* 的坐標變換矩陣就是 V 的過渡矩陣 T,。 綜上可以得出：
考慮,，V* 的對偶空間 V** ，定義映射： ψ: V → V**,，對于 V 中任意元素 α 對應(yīng) V** 中的唯一元素 ψ(α) : V* → K,，使得：
可證明 ψ 是線性同構(gòu)，也就是 V ≌ V**,，于是我們將 V** 和 V 當做同樣的線性空間,。這說明 V 和 V* 互為對偶空間，{ε?, ε?, ..., ε_n} 和 {ε1, ε2, ..., ε^n} 互為對偶基,。 既然 V* 是線性空間,，我們可以仿照 V 上定義 p 階張量，在 V** 上定義 q 階張量： 對于 和 n 維線性空間 V 的對偶空間 V* 相關(guān)的量 ω,，在 V 的基變化（V* 中的對偶基跟著變化）時,，具有不變性，滿足：
并且,，不同對偶基下分量之間滿足：
則稱 ω 為 q 階張量,。 因為 V** 上的 q 階張量的坐標變換就是 V 過渡矩陣 T 的元素相乘，而 V 上的 p 階張量的坐標變換時 過渡矩陣 的轉(zhuǎn)置逆陣 S 的元素相乘,，因此稱 V** 上的 q 階張量,，為 q 階協(xié)變張量,，稱 V 上的 p 階張量 為 p 階逆變張量,。 最終,，將 V* 和 V 混在一起定義混合型張量： 對于 和 n 維線性空間 V 以及 其對偶空間 V* 相關(guān)的量 ω，在 V 的基變化 以及 V* 中的對偶基跟著變化 時,，具有不變性,，滿足：
則稱 ω 為 (p,q) 型混和張量,，p 為逆變階數(shù),，q 為協(xié)變階數(shù)。 在基確定的情況下,，向量 和 坐標向量 一一對應(yīng),，我們可以將坐標向量當做向量；同理,，在基確定的情況下,，(p, q) 型混合張量 和 一組數(shù) {z_{i?i?...i_pj?j?...j_q}} 一一對應(yīng)，我們可以將 這組數(shù) 當做張量,。于是有如下張量的第二種定義： 對于 n 維線性空間 V 以及對偶空間 V*,，對于任意給定 的基 {ε?, ε?, ..., ε_n} 指定 n^{p q} 個數(shù) :
如果這組數(shù)在基變換時的變換，符合 (5) 的變化規(guī)律,，則稱這組隨著基改變的數(shù),，為 (p, q) 型混合張量。 這就 G.Ricci 最初引入張量概念時所下的定義,。 再進一步觀察發(fā)現(xiàn),，在 V 基給定下，每一個 (p, q) 型混合張量,，都可以用 基和對偶基的乘積組：
進行線性表示,，這說明 所有的 (p, q) 型混合張量 構(gòu)成一個線性空間，那么這個線性空間是什么,？ 考慮：
受此啟發(fā),，可以證明：(p, q) 型混合張量，就是多元線性函數(shù) V* × ... × V* × V × ... × V → K （p 個 V*,， q 個 V）,。所有多元函數(shù)組成的集合記為 L(V*, ..., V*, V , ..., V ; K),，可以證明 L(V*, ..., V*, V , ..., V ; K) 是一個線性空間。定義,，
它就是 ε_{i?}ε_{i?}...ε_{i_p}ε^{j?}ε^{j?}...ε^{j_q} 在 L(V*, ..., V*, V , ..., V ; K) 中對應(yīng)的基,。 注：多元線性函數(shù)的定義和 線性函數(shù)類似。 于是,，就有了第三種定義張量的方法： 稱 一個 多元線性函數(shù) V* × ... × V* × V × ... × V → K （p 個 V*,， q 個 V）為 (p, q) 型混合張量。 最后,，回到最初,，我們知道 兩個 向量 α, β 的乘積 是一個二階逆變張量，而向量就是一階逆變張量,，于是這種乘積就是張量之間的乘積,，稱為張量積，為了明確用 ? 表示,。 對于 V 中任意兩向量 α, β 的 都有張量積 α ? β ,，令 X 是所有這些 α ? β 組成的集合。一開始我們提到的 向量 α, β 的乘積的缺陷問題導(dǎo)致 X 不能構(gòu)成線性空間,，但是 X 可以生產(chǎn)一個線性空間,，記為 V ? V ，稱為 V 和 V 的張量積,。 以上是從張量引入了張量積,，其實數(shù)學(xué)上是脫張量，直接用范疇的語言定義張量積如下： 對于K 域上的線性空間 U, V, W ,，如果 雙線性映射 ψ : U × V → W ,， 對于 K 上的任意 線性空間 W' 以及線性映射 ψ' : U × V → W' 都存在 唯一的 線性映射 σ: W → W' 使得 ψ' = σψ 則稱 (W, ψ) 為 從 U 到 V 的一個張量。 可以證明 (W, ψ) 在線性同構(gòu)意義下唯一,，于是令 U ? V = W, u ? v = ψ(u, v),。 于是，就有了張量的第四種定義： 稱 張量積 V ? ... ? V ? V* ? ... ? V* （p 個 V,， q 個 V*）中的元素為 (p, q) 型混合張量,。 第一種定義中的
在這里就是
就是說，第四種定義是對第一種定義的嚴謹化,。 而 L(V*, ..., V*, V , ..., V ; K) 恰恰就是 一個 V ? ... ? V ? V* ? ... ? V* 張量積,，于是第四種定義和第三種定義保持一致。 （回答的篇幅已經(jīng)很長了,，所以有些非關(guān)鍵性的證明只能省略,。另外，由于本人數(shù)學(xué)水平有限，出錯在所難免,，歡迎大家指正,。) |
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