阿基里斯是古希臘神話中的跑步健將,。假設(shè)他和烏龜賽跑,，他速度為烏龜?shù)?0倍，烏龜在前面10米出發(fā),，他在后面追,。芝諾可以證明，阿基里斯永遠不可能追上烏龜：

當阿基里斯追到10米時，烏龜已經(jīng)向前爬了1米,；而當他追過這1米時，烏龜又已經(jīng)向前爬了0.1米,，他只能再追向那個0.1米,。因為追趕者需要用一段時間才能達到被追者的出發(fā)點,，這段時間內(nèi)被追者已經(jīng)又往前走了一段距離，所以被追者總是在追趕者前面,。這樣,，阿基里斯就永遠也追不上烏龜,！

這個悖論的問題出在哪兒呢,？乍一看，其邏輯推理確實是無懈可擊的,，但實際上這個推理建立的基礎(chǔ)是：時間和空間是可以無限分割的,。因為芝諾將追趕的過程分成了無窮多個部分,，到后來阿基里斯與烏龜?shù)木嚯x無窮小，追上這段距離所需的

分成了無窮多個部分,，到后來阿基里斯與烏龜?shù)木嚯x無窮小,，追上這段距離所需的時間也無窮小,。如果時空真能無限分割，那么他就永遠也追不上,。

數(shù)學家們是這么解釋的：阿基里斯雖然需要追趕無窮多段路程,，每一段路程也需要一定時間,，但這無窮多個時間構(gòu)成的是收斂數(shù)列,，也就是說，這個無窮數(shù)列的總和是有限的,。假設(shè)阿基里斯速度是10米/秒，則這無窮多個時間的總和是10/9秒鐘,。

但是數(shù)學家們顯然回避了另一個問題,，就是阿基里斯如何在有限的時間里完成了這無窮多個過程？只要是無窮,，那就沒有盡頭，他怎么能一瞬間就完成呢,？

玄而又玄的無窮

事實上,，問題就出在這個無窮上！無窮大和無窮小都是數(shù)學中制造出來的很玄虛的概念,，很多悖論都是在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生的,。為什么說無窮大和無窮小很玄虛呢,？我們來看看下面的例子。

正整數(shù)有無窮多個,，正整數(shù)的平方也有無窮多個：

那么到底是正整數(shù)多呢，還是他們的平方數(shù)多呢,？數(shù)學家們認為,，他們是一樣多的,，因為上下兩列數(shù)字建立了一一對應(yīng)關(guān)系。

可是從另一個角度看,，平方數(shù)明明只是正整數(shù)的一部分，平方數(shù)應(yīng)該遠遠少于正整數(shù)啊,。從這個角度來看,，平方數(shù)只和正整數(shù)中的一小部分建立了一一對應(yīng)關(guān)系,，看下表：

這兩個數(shù)列都包含無窮多個數(shù)，也就是說他們的個數(shù)都是無窮大,，那么這兩個無窮大到底是什么關(guān)系呢？真是讓人困惑,。

無窮小也很玄虛,，無窮小到底是多小,？無窮小加無窮小是多少？無窮小乘無窮小呢,？都是無窮小嗎,？多少個無窮小相加才能不是無窮小呢,？恐怕誰也說不清楚,。

造成上述糊涂賬的原因就在于，無窮大和無窮小都是人們頭腦中想象出來的東西,，在真實世界中是不存在的,！

事實上,，人人都知道阿基里斯很快就能追上烏龜，既然如此，那就證明芝諾這個推理的基礎(chǔ)是錯的,，也就是說，他不能將追趕的過程分成無窮多個部分,，時間和空間是不能無限分割的,，或者說，時間和空間是不連續(xù)的,！