上次我們已經(jīng)講了第一次數(shù)學(xué)危機(jī),，這是一場由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派引發(fā)的危機(jī)，從提出到解決,，用了近一百年,。這次危機(jī)為數(shù)學(xué)發(fā)展帶來了無理數(shù)，將數(shù)學(xué)理論發(fā)展帶到了一個(gè)新的高度,，感興趣的朋友可去主頁查看,。

今天我們就來聊聊第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，這次危機(jī)導(dǎo)致了微積分的出現(xiàn),，給人類發(fā)展帶來翻天覆地的變化,，整個(gè)人類現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展史都因此改變。值得一提的是,，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)在古希臘時(shí)期就已出現(xiàn)萌芽,，和第一次數(shù)學(xué)危機(jī)爆發(fā)基本處于同一時(shí)期。由此可見,，西方世界古代科學(xué)的心臟,，基本就是古希臘確定無疑了,。

當(dāng)時(shí)有個(gè)叫做芝諾的數(shù)學(xué)家，這個(gè)人偏愛悖論,，其中非常著名的就是“芝諾的烏龜”,。這個(gè)“烏龜”還和拉普拉斯獸、麥克斯韋妖,，薛定諤的貓組成了大名鼎鼎的物理學(xué)四大神獸,。

芝諾研究了大量的悖論，只為了一件事：反駁時(shí)間和空間的連續(xù)性,。在這個(gè)過程中,，有很多著名的悖論被提出，比如什么“芝諾的烏龜”問題,，“飛矢不動”問題,，就是其中比較著名的。其中“芝諾的烏龜”講的是阿基里斯追趕一只烏龜?shù)墓适拢?/span>

阿基里斯在古希臘的傳說里,，是一個(gè)英雄（神與人的子嗣）,，他以速度快而聞名，全身刀槍不入,，只有腳后跟是他的罩門,，后來也因此而死。

有一次,，阿基里斯遇到了一只烏龜,。烏龜對阿基里斯說：“雖然你跑得快，但是你永遠(yuǎn)無法追上我,?！卑⒒锼咕推婀至耍瑔枮觚敚骸盀樯堆?？”,，烏龜說：“因?yàn)槲以谀闱懊妫偃缥覀兊木嚯x是1000米,，你的速度是10米/秒,，我的速度是1米/秒。你想要追上我,，就有這么幾個(gè)階段,。”

1,、你跑完1000米,，花100秒，在這個(gè)時(shí)間段內(nèi),，我向前走了100米,，我還在你前面。

2,、你跑完剩下的100米,，又花了10秒，在這個(gè)時(shí)間段內(nèi),，我又跑了10米,。

3、你繼續(xù)追趕10米,，花了1秒,，我則又跑了1米。

烏龜說：按照這個(gè)過程追趕下來,，我一直在你前面,。雖然我們之間的距離雖然越來越近，但是始終存在一個(gè)微小的距離,，因此,，阿基里斯你永遠(yuǎn)也追不上我。

按照烏龜?shù)恼f法,，他們二者之間的距離只會不停地變小,，但是永遠(yuǎn)不會變成0，因此阿基里斯永遠(yuǎn)也追不上烏龜,。但是我們知道,，事實(shí)不是這樣的，阿基里斯是能追上烏龜?shù)?，但是我們又說不出個(gè)所以然來,，那這個(gè)問題出在哪里呢？

我們完全可以將阿基里斯需要追趕的距離算出來：

S=1000+100+10+1+0.1+···10^（4-n）米,。

這是一個(gè)比值為1/10的等比數(shù)列,，大家知道一直加下去是多少嗎？

S=[10^4-10^（4-n）]/9米,，n趨近于無窮大,。

追趕所需要的時(shí)間：

T=100+10+1+0.1+···10^（3-n）秒。

這也是一個(gè)比值為1/10的等比數(shù)列,，同樣的道理,。

T=[10^3-10^（3-n）]/9秒，n趨近于無窮大,。

當(dāng)n趨近于無窮大的時(shí)候,，△S，△T都趨近于無窮小,，所以我們可以將10^（4-n）和10^（3-n）叫做無窮小項(xiàng),。在芝諾悖論里存在的問題就是：它將一個(gè)有限的長度分成了無限多份,，但是被分成的這無限多份加起來并不是無窮大。

這個(gè)問題的答案很簡單,，現(xiàn)在我們知道S=10000/9米,，T=1000/9秒。但是在這個(gè)過程中,，我們認(rèn)識到了一個(gè)非常重要的概念：無窮小,。當(dāng)時(shí)古希臘的數(shù)學(xué)家們沒來得及深入研究這個(gè)概念，古希臘文明就走向了沒落,，因此就不了了之了,。

這個(gè)問題就這樣一直被耽擱，直到歐洲文藝復(fù)興爆發(fā),，這個(gè)問題才開始被重新研究,。在此期間，歐洲出現(xiàn)了幾個(gè)數(shù)學(xué)上的“猛人”,，牛頓,、萊布尼茨就是其中的佼佼者。他們兩個(gè)人各自獨(dú)立地發(fā)明了一項(xiàng)驚天動地的數(shù)學(xué)工具：微積分,。（雖然牛頓和萊布尼茨為此爭論不休,，但是現(xiàn)在普遍認(rèn)為微積分他們是各自單獨(dú)發(fā)明的）

在微積分的領(lǐng)域里，有一個(gè)非常重要的概念：導(dǎo)數(shù)這個(gè)在高中數(shù)學(xué)里有大量的介紹,，我們在此不做過多解釋,，對于一個(gè)函數(shù)y=f(x)，圖像上任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)△y/△x（△x趨近于0）,。

現(xiàn)在我們知道,，科學(xué)家們通過導(dǎo)數(shù)和微積分解決了很多數(shù)學(xué)和物理上過去無法解決的問題。人們覺得這個(gè)工具很好用,，于是就覺得這個(gè)工具是100%正確的,，但是事情的發(fā)展并不是一帆風(fēng)順，總要起一點(diǎn)幺蛾子,。一個(gè)名叫貝克萊的英國大主教就提出了一個(gè)致命的問題,，也叫做貝克萊悖論。

這個(gè)問題簡單來說就是,，除法里,，除數(shù)不能是0。在導(dǎo)數(shù)里,，△x如果是0的話,，就不能做分母，如果不是0的話，那怎么又說是“一個(gè)點(diǎn)”的導(dǎo)數(shù)呢,？這不是自相矛盾嗎,？

所以這個(gè)問題就是：無窮小究竟是不是0。這個(gè)問題在當(dāng)時(shí)完全沒有答案,，所以微積分的基礎(chǔ)是存在理論缺陷的,。雖然好用,，但是是知其然,，不知其所以然。因此,，這件事,，就是第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)就這樣一直持續(xù)了150多年,。在這段漫長的時(shí)間里,，很多的牛人數(shù)學(xué)家試圖平復(fù)這次危機(jī)，但是都失敗了,，但是在失敗的過程中也出了很多成果,。150多年后，多位數(shù)學(xué)家,，像大名鼎鼎的柯西,、康托爾和阿貝爾等人對“無窮小”的概念進(jìn)行了嚴(yán)格的定義，從而使得微積分有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),。

自此,，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)圓滿解決。歸根結(jié)底,，第二次危機(jī)是一場關(guān)乎無窮小量究竟是不是0的問題,，它關(guān)乎微積分的存在基礎(chǔ)。這次危機(jī)從萌芽到解決,，中間經(jīng)歷了2000多年,，這次危機(jī)，使得人類徹底進(jìn)入了現(xiàn)代科學(xué)的殿堂,。