例1 兄弟倆騎車出外郊游,，弟弟先出發(fā),，速度為每分鐘200米，弟弟出發(fā)5分鐘后,，哥哥帶一條狗出發(fā),，以每分鐘250米的速度追趕弟弟，而狗以每分鐘300米的速度向弟弟追去,，追上弟弟后,，立即返回，見到哥哥后又立即向弟弟追去,，直到哥哥追上弟弟,，這時狗跑了多少千米？

分析（按順向綜合思路探索）：

這個分析思路可以用下圖（圖2.1）表示：

例2 下面圖形（圖2.2）中有多少條線段,？

分析（仍可用綜合思路考慮）：

我們知道,，直線上兩點間的一段叫做線段，如果我們把上面任意相鄰兩點間的線段叫做基本線段,，那么就可以這樣來計數(shù),。

然后把這些線段加起來就是所要求的線段,。

例1 兩只船分別從上游的A地和下游的B地同時相向而行,，水的流速為每分鐘30米，兩船在靜水中的速度都是每分鐘600米,，有一天,，兩船又分別從A、B兩地同時相向而行,，但這次水流速度為平時的2倍,，所以兩船相遇的地點比平時相遇點相差60米，求A,、B兩地間的距離,。

分析（用分析思路考慮）：

此分析思路可以用下圖（圖2.3）表示：

例2 五環(huán)圖由內(nèi)徑為4,，外徑為5的五個圓環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等（如圖2.4）,，已知五個圓環(huán)蓋住的總面積是122.5,，求每個小曲邊四邊形的面積（圓周率π取3.14）

分析（仍用逆向分析思路探索）：

其思路可用下圖（圖2.5）表示：

例1 一只桶裝滿10千克水,，另外有可裝3千克和7千克水的兩只空桶，利用這三只桶,，怎樣才能把10千克水分為5千克的兩份,？

分析（用一步倒推思路考慮）：

例2 今有長度分別為1,、2、3……9厘米的線段各一條,，可用多少種不同的方法,，從中選用若干條線段組成正方形？

分析（仍可用一步倒推思路來考慮）：

將上述各種組成法相加,，就是所求問題了。

此題思路圖如下（圖2.8）：

例1 一個數(shù)加上2，減去3,，乘以4,，除以5等于12，你猜這個數(shù)是多少,？

分析（用還原思路考慮）：

從運算結(jié)果12逐步逆推,，這個數(shù)沒除以5時應(yīng)等于多少？沒乘以4時應(yīng)等于多少,？不減去3時應(yīng)等于多少,？不加上2時又是多少？這里分別利用了加與減,，乘與除之間的逆運算關(guān)系,，一步步倒推還原，直找到答案,。

其思路圖如下（圖2.9）：

條件：

例2 李白街上走,，提壺去打酒；遇店加一倍,，見花喝一斗,，三遇店和花，喝光壺中酒,。試問酒壺中,，原有多少酒？

分析（用還原思路探索）：

李白打酒是我國民間自古以來廣為流傳的一道用打油詩敘述的著名算題。題意是：李白提壺上街買酒,、喝酒,，每次遇到酒店，便將壺中的酒量增添1倍,，而每次見到香花,，便飲酒作詩，喝酒1斗,。這樣他遇店,、見花經(jīng)過3次，便把所有的酒全喝光了,。問：李白的酒壺中原有酒多少,？

下面我們運用還原思路，從“三遇店和花,，喝光壺中酒”開始推算,。

見花前——有1斗酒。

第三次：見花后——壺中酒全喝光,。

第三次：遇店前——壺中有酒半斗,。

第一次：見花前——壺中有酒為第二次遇店前的再加1斗。

遇店前——壺中有酒為第一次見花前的一半,。

其思路圖如下：

例1 中山百貨商店，委托運輸隊包運1000只花瓶,，議定每只花瓶運費0.4元,，如果損壞一只，不但不給運費,，而且還要賠償損失5.1元,。結(jié)果運輸隊獲得運費382.5元。問：損壞了花瓶多少只,？

分析（用假設(shè)思路考慮）：

例2 有100名學(xué)生在車站準備乘車去離車站600米的烈士紀念館搞活動,，等最后一人到達紀念館45分鐘以后,，再去離紀念館900米的公園搞活動。現(xiàn)在有中巴和大巴各一輛,，它們的速度分別是每分鐘300米和150米,，而中巴和大巴分別可乘坐10人和25人，問最后一批學(xué)生到達公園最少需要多少時間,？

分析（用假設(shè)思路思索）：

假設(shè)從車站直接經(jīng)烈士紀念館到公園,，則路程為（600＋900）米。把在最后1人到達紀念館后停留45分鐘,，假設(shè)為在公園停留45分鐘,，則問題將大大簡化。

例1 師徒兩人合做一批零件，徒弟做了6小時,，師傅做了8小時,，一共做了312個零件，徒弟5小時的工作量等于師傅2小時的工作量,，師徒每小時各做多少個零件,？

分析（用消去思路考慮）：

這里有師、徒每小時各做多少個零件兩個未知量,。如果以徒弟每小時工作量為1份，把師傅的工作量用徒弟的工作量來代替,，那么師傅8小時的工作量相當于這樣的幾份呢,？很明顯，師傅2小時的工作量相當于徒弟5小時的工作量，那么8小時里有幾個2小時就是幾個5小時工作量,，這樣就把師傅的工作量換成了徒弟的工作量,，題目里就消去了師傅工作量這個未知數(shù)。

然后再看312個零件里包含了多少個徒弟單位時間里的工作量,，就是徒弟應(yīng)做多少個,。求出了徒弟的工作量，根據(jù)題中師博工作量與徒弟工作量的倍數(shù)關(guān)系,，也就能求出師傅的工作量了,。

例2 小明買2本練習本、2枝鉛筆,、2塊橡皮,，共用0.36元，小軍買4本練習本,、3枝鉛筆,、2塊橡皮，共用去0.60元,，小慶買5本練習本,、4枝鉛筆、2塊橡皮,，共用去0.75元,，問練習本、鉛筆,、橡皮的單價各是多少錢,？

分析（用消去法思考）：

這里有三個未知數(shù)，即練習本,、鉛筆,、橡皮的單價各是多少錢？我們要同時求出三個未知數(shù)是有困難的,。應(yīng)該考慮從三個未知數(shù)中先去掉兩個未知數(shù),，只留下一個未知數(shù)就好了。

如何消去一個未知數(shù)或兩個未知數(shù),？一般能直接消去的就直接消去,，不能直接消去，就通過擴大或縮小若干倍,，使它們之間有兩個相同的數(shù)量,，再用加減法即可消去，本題把小明小軍,、小慶所購買的物品排列如下：

小明 2本 2枝 2塊 0.36元

小軍 4本 3枝 2塊 0.60元

小慶 5本 4枝 2塊 0.75元

現(xiàn)在把小明的各數(shù)分別除以2,，可得到1本練習本,、1枝鉛筆、1塊橡皮共0.18元,。

接著用小慶的各數(shù)減去小軍的各數(shù),，得1本練習本、1枝鉛筆為0.15元,。

再把小明各數(shù)除以2所得的各數(shù)減去上數(shù),，就消去了練習本、鉛筆兩個未知數(shù),，得到1塊橡皮0.03元,，采用類似的方法可求出練習本和鉛筆的單價。

例

分析（用轉(zhuǎn)化思路分析）：

本題求和,，題中每個分數(shù)的分子都是1，分母是幾個連續(xù)自然數(shù)的和,，好像不能把每個分數(shù)分成兩個分數(shù)相減,，然后相加抵消一些數(shù)。但是只要我們按等差數(shù)列求和公式,，求出分母就會發(fā)現(xiàn),，可將上面各分數(shù)的分母轉(zhuǎn)化為兩個連續(xù)自然數(shù)積的形式。

然后再相加,，抵消中間的各個分數(shù)即可

例1 有一個掛鐘，每小時敲一次鐘,，幾點鐘就敲幾下,，鐘敲6下，5秒鐘敲完,；鐘敲12下,，幾秒敲完？

分析（用類比思路探討）：

有人會盲目地由倍數(shù)關(guān)系下結(jié)淪,，誤認為10秒鐘敲完,，那就完全錯了。其實此題只要運用類比思路,，與植樹問題聯(lián)系起來想一想就通了：一條線路植樹分成幾段（株距）,，如果不包括兩個端點，共需植（n-1）棵樹,，如果包括兩個端點,，共需植樹（n＋1）棵，把鐘點指數(shù)看作是一棵棵的樹,，把敲的時間看作棵距,，此題就迎刃而解了。

例2 從時針指向4點開始,，再經(jīng)過多少分鐘,，時針正好與分鐘重合。

分析（用類比思路討論）：

本題可以與行程問題進行類比,。如圖2.11,，如果用時針1小時所走的一格作為路程單位，那么本題可以重新敘述為：已知分針與時針相距4格,，分

如果分針與時針同時同向出發(fā),，問：分針過多少分鐘可追上時針？這樣就與行程問題中的追及問題相似了,。4為距離差,，速度差為，重合的時間,，就是追上的時間,。

例1 如圖2.12,，共有多少個三角形？

分析（用分類思路考慮）：

這樣的圖直接去數(shù)有多少個三角形,，要做到能不重復(fù),，又不遺漏，是比較困難的,。怎么辦,？可以把圖中所有三角形按大小分成幾類，然后分類去數(shù),，再相加就是總數(shù)了,。本題根據(jù)條件，可以分為五類（如圖2.13）,。

例2 如圖2.14,，象棋棋盤上一只小卒過河后沿著最短的路走到對方“將”處，這小卒有多少種不同的走法,？

分析（運用分類思路分析）：

小卒過河后,，首先到達A點，因此,，題目實際上是問：從A點出發(fā),，沿最短路徑有多少種走法可以到達“將”處，所謂最短,，是指不走回頭路,。

因為“將”直接相通的是P點和K點，所以要求從A點到“將”處有多少種走法,，就必須是求出從A到P和從A到K各有多少種走法,。

分類。一種走法：A到B,、C,、D、E,、F,、G都是各有一種走法。

二種走法：從A到H有兩種走法,。

三種走法：從A到M及從A到I各有三種走法,。

其他各類的走法：因為從A到M,、到I各有3種走法，所以從A到N就有3＋3＝6種走法了,，因為從A到I有3種走法,，從A到D有1種走法，所以從A到J就有3＋1=4種走法了,；P與N,、J相鄰，而A到N有6種走法,，A到J有4種走法，所以從A到P就有6+4=10種走法了,；同理K與J,、E相鄰，而A到J有4種走法,，到E有1種走法,，所以A到K就有4+1=5種走法。

再求從A到“將”處共有多少種走法就非常容易了,。

例1 如圖2.15的正方形邊長是6厘米,，甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面積比甲三角形大6平方厘米,，求CE長多少厘米,？

分析（用等量代換思路思考）：

按一般思路，要求CE的長,，必須知道乙三角形的面積和高,，而這兩個條件都不知道，似乎無法入手,。用等量代換思路,，我們可以求出三角形ABE的面積,，從而求出CE的長，怎樣求這個三角形的面積呢,？設(shè)梯形為丙：

已知乙=甲+6

丙+甲=6×6=36

用甲+6代換乙,，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42

即三角形ABE的面積等于42平方厘米，這樣,，再來求CE的長就簡單了,。

例2 有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多,，并且都只有黑白兩色棋子,。第一這三堆棋子集中一起，問白子占全部棋子的幾分之幾,？

分析（用等量代換的思路來探討）：

這道題數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜,，如果我們把第一堆里的黑子和第二堆的白子對換一下，那么這個問題就簡單多了,。出現(xiàn)了下面這個等式,。

第一堆（全部是白子）=第二堆（全部是黑子）=第三堆（白子+黑子）（這里指的棋子數(shù)）份，則第二堆（全部黑子）為3份,，這樣就出現(xiàn)了每堆棋子為3份,，3堆棋子的總份數(shù)自然就出來了。而第三堆黑子占了2份,，白子自然就只有3—2=1份了,。第一堆換成了全部白子，所以白子總共是幾份也可求出,。最后去解決白子占全部棋子的幾分之幾就非常容易了,。

例1 有一塊菜地和一塊麥地,，菜地的一半和麥地的三分之一放在一起是91公畝,，麥地的一半和菜地的三分之一放在一起是84公畝，那么,，菜地是幾公畝,？

分析（用對應(yīng)思路分析）：

這是一道復(fù)雜的分數(shù)應(yīng)用題，我們不妨用對應(yīng)思路去思索。如能找出91公畝,、84公畝的對應(yīng)分率,，此題就比較容易解決了。但題中有對應(yīng)分率兩個,，究竟相當于總公畝數(shù)的幾分之幾呢,？這是解題的關(guān)鍵。而我們一時還弄不清楚,，現(xiàn)將條件排列起來尋找,。

求出總公畝數(shù)后，我們?nèi)晕凑业讲说鼗螓湹卣伎偣€數(shù)的幾分之幾,，故還不能直接求出菜地或麥地的公畝數(shù),。但我們把條件稍作組合，就可以求出

分析到這一步,，那么再去求菜地有多少公畝,，則就變成了一道很簡單的分數(shù)應(yīng)用題了。

例2 蓄水池有甲,、丙兩條進水管，和乙,、丁兩條排水管,，要灌滿一池水，單開甲管需要3小時,，單開丙管需要5小時,，要排完一池水，單開乙管

順序,，循環(huán)各開水管,，每次每管開一小時，問多少時間后水開始溢出水池,？

分析（用對應(yīng)思路考慮）：

本題數(shù)量關(guān)系復(fù)雜,，但仍屬分數(shù)應(yīng)用題，所以仍可用對應(yīng)思路尋找解題途徑,。

首先要找出甲,、丙兩管每小時灌水相當于一池水的幾分之幾，乙,、丁兩管每小時排水相當于一池水的幾分之幾,，然后才能計算。

通過轉(zhuǎn)化找到了對應(yīng)分率就容易計算了,。假設(shè)甲,、乙、丙、丁四個水管按順序各開1小時,，共開4小時,，池內(nèi)灌進的水是全池的：　　

也就是20小時以后，池內(nèi)有水

總共是多少時間后水開始溢出水池不就一目了然了嗎,？