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- 盧昌海 - 擅寫短詩的古希臘詩人卡利馬科斯 (Callimachus) 曾經(jīng)言道： “一部大書便是一項大罪”[注一],。 1959 年， 英國哲學(xué)家羅素 (Bertrand Russell) 在《西方的智慧》(Wisdom of the West) 一書中引用了這句話,， 并 “謙虛” 地表示,， “以罪而論， 這是一部小書” (as evils go, this book is a minor one),； 1982 年,， 印度裔美國科學(xué)史學(xué)家梅拉 (Jagdish Mehra) 在 《量子理論的歷史發(fā)展》 (The Historical Development of Quantum Theory) 一書中也引述了這句話， 且跟羅素一樣 “謙虛”,， 表示以罪而論,， 他那部也是小書。 其實,， 梅拉那部書是很大的,， 6 卷 9 冊 5,000 多頁， 恐怕是有史以來最大的科學(xué)史專著,， 照卡利馬科斯的說法,， 罪是小不了的。 倒是羅素的 “謙虛” 還稍有些道理,， 因為《西方的智慧》并不是他最大的書,， 他有一部大得多的書叫做《數(shù)學(xué)原理》(Principia Mathematica)， 3 卷近 2,000 頁,， 那才是 “大罪”,。 不過那恐怕不是書之罪， 而是書帶給作者的罪——那部大書著實讓作為主要作者的羅素受了 “大罪”,。 那 “大罪” 從寫作之初就開始了,。
羅素年輕時雄心勃勃,， 二十出頭就立下宏愿， 要寫兩個系列的 “大書”： 一個涵蓋所有的科學(xué)領(lǐng)域,； 另一個涵蓋所有的社會學(xué)領(lǐng)域,。 他并且暢想： 一個系列將從抽象出發(fā)， 逐漸向應(yīng)用靠攏,， 另一個系列則從應(yīng)用出發(fā),， 逐漸向抽象靠攏， 最終交融成一個巨無霸系列,。 羅素后來確實算得上著作等身,， 但年輕時的這個宏愿實在是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了任何個人的能力， 終其一生也未能實現(xiàn),， 而只在某些局部領(lǐng)域中取得過局部成果,。 如果要在其中找出一個努力得最系統(tǒng)的,， 那恐怕是數(shù)學(xué),。 1897 年， 25 歲的羅素撰寫了一本關(guān)于幾何的書： 《論幾何的基礎(chǔ)》(An Essay on the Foundations of Geometry),， 隨后又開始構(gòu)思一本有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的書： 《數(shù)學(xué)的原理》(The Principles of Mathematics),。 這本中譯名僅一字之差， 英文名也有些相近的書是《數(shù)學(xué)原理》的前身,。 仿佛在預(yù)示《數(shù)學(xué)原理》將要讓羅素受 “罪”,， 《數(shù)學(xué)的原理》一起頭就不順利， 幾次努力都止于片斷,。 這一局面直到 1900 年 8 月羅素在巴黎國際哲學(xué)大會 (International Congress of Philosophy) 上遇見意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾 (Giuseppe Peano) 才有了被他稱為 “智力生活轉(zhuǎn)折點” (a turning point in my intellectual life) 的改變[注二],。 皮亞諾是研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的先驅(qū)人物之一， 在思維方式乃至所采用的數(shù)學(xué)符號等方面都對羅素有著巨大影響,。 在這種影響下,，《數(shù)學(xué)的原理》的寫作大為 “提速”。 那年的最后三個月,， 羅素幾乎以每天 10 頁的速度推進著,， 年內(nèi)就完成了數(shù)十萬字的文稿[注三]。 在那段被他稱為 “智力蜜月” (intellectual honeymoon) 的時期里,， 他不僅寫作神速,， 而且每天都感覺到比前一天多領(lǐng)悟了一些東西。 但好景不長,， “智力蜜月” 隨著新世紀(jì)的到來很快就終結(jié)了： 1901 年春天,， 羅素發(fā)現(xiàn)了著名的羅素悖論 (Russell's paradox)[注四]。 這個以他名字命名的悖論如今已是羅素頭上的一道光環(huán),， 當(dāng)時卻著實讓人消受不起,， 對撰寫中的《數(shù)學(xué)的原理》， 乃至對整個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究都造成了沖擊。 羅素在劍橋大學(xué)三一學(xué)院 (Trinity College) 時的老師,、 著名哲學(xué)家懷特海 (Alfred North Whitehead) 在得知這一悖論后,， 引了勃朗寧 (Robert Browning) 詩歌《迷途的領(lǐng)袖》(The Lost Leader) 中的一句 “愉快自信的清晨永不再來” (Never glad confident morning again) 作為 “贈言” 寄給了羅素。 羅素悖論使本已接近完成的《數(shù)學(xué)的原理》的出版推遲了兩年左右,， 但即便如此也未能解決羅素悖論,。 這一點讓羅素深感沮喪， 在給一位朋友的信中稱《數(shù)學(xué)的原理》為 “一本愚蠢的書” (a foolish book),， 甚至表示一想到為這樣一本書花費了那么多時間就感到羞愧,。 不過那時候， 真正的 “大書” 《數(shù)學(xué)原理》的撰寫早已展開 (1900 年底左右就啟動了),， 徹底解決羅素悖論的任務(wù)被順理成章地轉(zhuǎn)移到了《數(shù)學(xué)原理》上,。 《數(shù)學(xué)原理》的作者陣容比《數(shù)學(xué)的原理》擴大了一倍： 在羅素的動員下， 懷特海成為了合作者,。 懷特海對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)也有濃厚的興趣,， 曾于 1898 年撰寫過一本標(biāo)題為《泛代數(shù)》(A Treatise on Universal Algebra) 的著作， 且有續(xù)寫的想法,。 羅素自己的最初打算則是將《數(shù)學(xué)原理》寫成《數(shù)學(xué)的原理》的第二卷,。 不過， 這兩位想寫 “續(xù)集” 的作者 “強強聯(lián)合” 的結(jié)果,， 是各自拋棄了 “前集”,， 寫出了一套篇幅和深度都遠(yuǎn)超 “前集” 的獨立著作。 合作之初,， 羅素和懷特海對工作進展有一個很樂觀的估計,， 認(rèn)為一年左右即可完成， 但羅素悖論的出現(xiàn)將這一估計掃進了垃圾箱,， 《數(shù)學(xué)原理》的實際耗時約為十年,， 比當(dāng)初的預(yù)計高了一個數(shù)量級。 而比耗時增加更受罪的,， 則是羅素悖論似乎在嘲弄著羅素的直覺和智力,。 在很長一段時間里， 羅素始終覺得羅素悖論是一個 “平庸” (trivial) 的問題,， 卻偏偏繞不過,， 也突破不了。 這種不得不把精力花在自己認(rèn)為不值得的地方,， 且還像掉進了無底洞一樣看不到盡頭,， 無疑是很受罪的感覺。 除了遭遇像羅素悖論那樣技術(shù)性的 “攔路虎” 外,， 撰寫《數(shù)學(xué)原理》的十年間羅素在生活上也頗受了幾樁 “罪”,。 第一樁跟個人興趣有關(guān),， 起因于懷特海夫人伊夫林·懷特海 (Evelyn Whitehead)， 而且發(fā)生得很突然,。 懷特海夫人年輕時經(jīng)常被類似心絞痛的病痛所折磨,， 1901 年上半年的某一天， 羅素親眼目睹了懷特海夫人遭受劇烈病痛折磨的情形,。 那情形對羅素產(chǎn)生了極深的影響,， 他從懷特海夫人孤立無助的痛苦中， 深切意識到了每個人的靈魂都處在難以忍受的孤獨之中,。 這一意識——用他自己的話說——讓他感覺到 “腳下的大地忽然抽走了”,， 使他在短短五分鐘的時間里 “變成了一個完全不同的人”， 由撰寫《數(shù)學(xué)原理》所需要的一味追求精確和分析 “渙散” 為了對人生和社會哲學(xué)也有了濃厚興趣[注五],。 第二樁跟家庭有關(guān),， 且同樣發(fā)生得很突然。 據(jù)羅素自己回憶,， 1902 年春天的一個下午,， 他在一條鄉(xiāng)間小路上騎車， 忽然 “頓悟” 到自己已不愛結(jié)婚八年的妻子了,。 那是一個最符合字面意義的 “頓悟”,， 因為在那之前他甚至沒有覺察到對妻子的愛有任何減弱,。 連減弱都沒有,， 突然就消失了， 天才人物的 “頓悟” 出現(xiàn)在不該出現(xiàn)的地方時,， 看來是很有些可怕的,。 羅素的妻子愛麗絲·皮爾索爾·史密斯 (Alys Pearsall Smith) 比羅素大 5 歲， 羅素 17 歲時結(jié)識了她,， 22 歲時將 “姐弟戀” 修成正果,， “七年之癢” 時因 “頓悟” 而陷入困境， 但在愛麗絲一度以自殺為威脅的抗?fàn)幭拢? 拖了約 20 年才最終離婚,。 第三樁則跟合作者懷特海有關(guān),。 據(jù)羅素在自傳中披露 (那時懷特海夫婦皆已去世， 從而只能算一面之詞了),， 外人眼里冷靜明智的懷特海其實常常陷入非理性的沖動,， 比如一方面對缺錢深懷恐懼， 一方面又花錢無度,； 有時候連續(xù)多日不吭一聲,， 有時候又嘟嘟噥噥對自己橫加貶低， 使懷特海夫人飽受驚嚇,， 甚至擔(dān)心他會崩潰或發(fā)瘋,。 為了幫助懷特海一家及維持在《數(shù)學(xué)原理》上的合作,， 自己有時也還要借錢度日的羅素小心翼翼地補貼著懷特海的家用， 且還必須瞞著懷特海,， 以免傷他自尊心,。 個人、 家庭,、 合作者,， 這幾乎涵蓋羅素整個世界的三大因素的共同煎熬， 加上論題本身的艱巨,， 以及羅素悖論的 “攔路”,， 使羅素撰寫《數(shù)學(xué)原理》的過程由艱苦變?yōu)橥纯唷?這種痛苦在 1903 和 1904 年的夏天達到了高峰。 那段日子被他稱為 “徹底的智力僵局” (complete intellectual deadlock),。 在那段日子里,， 他每天早晨拿出一張白紙， 除午飯外,， 整天就對著白紙枯坐,， 卻往往一個字也寫不出， 甚至焦慮地?fù)?dān)心自己一輩子都要對著白紙一事無成了,。 那些年,， 羅素常到牛津附近一座跨越鐵路的橋上去看火車， 在情緒悲觀時,， 看著一列列火車駛過,， 他有時會生出可怕的念頭： 也許明天干脆臥軌了結(jié)此生。 不過這時候,， 使他悲觀厭世的《數(shù)學(xué)原理》卻又變成了讓他活下去的動力,， 因為每當(dāng)黎明來臨， 他又會重新燃起希望： 活下去,， “也許某一天能完成《數(shù)學(xué)原理》”,。 1906 年之后， 《數(shù)學(xué)原理》所遇到的技術(shù)瓶頸開始被突破,， 寫作得以加速,。 那時候， 懷特海因教書工作的羈絆無法花足夠的時間在《數(shù)學(xué)原理》上,， 羅素開始以每天 10-12 小時,， 每年 8 個月左右的時間投入寫作。 但煩惱并未就此遠(yuǎn)離,， 隨著手稿數(shù)量的增多,， 他又陷入了近乎杞人憂天的擔(dān)憂之中， 害怕手稿會因房子失火而被毀,。 整整十年,， 痛苦,、 焦慮、 悲觀,、 擔(dān)憂終于都被熬過,。 1910 年， 《數(shù)學(xué)原理》的初稿完成,。 在給朋友的信中,， 羅素很不吉利地把當(dāng)時的心情形容為： 一個因照顧重病患而精疲力盡的人， 看到可惡的病患終于死去時的那種如釋重負(fù)的感覺,。 由于篇幅浩繁,， 羅素將手稿裝了兩個箱子， 雇了四輪馬車運到劍橋大學(xué)出版社 (Cambridge University Press),。 出版社對出版這部巨著的 “利潤” 進行了評估,， 得出一個很不鼓舞人心的結(jié)果： 負(fù) 600 英鎊。 當(dāng)然,， 劍橋大學(xué)出版社并非唯利是圖的地方,， 他們愿意為這樣的巨著賠上一些錢， 問題是 600 英鎊在當(dāng)時實在是一個不小的數(shù)目,， 他們只能承擔(dān)一半左右——即約 300 英鎊,。 剩下的 300 英鎊怎么辦呢？ 在羅素與懷特海的申請下,， 皇家學(xué)會慷慨解囊,， 贊助了 200 英鎊。 但最后的 100 英鎊實在是沒辦法籌措了,， 只能攤派到羅素和懷特海這兩位作者頭上,， 每人 50 英鎊 (相當(dāng)于 2006 年的 7,000 多美元),。 對于這一結(jié)果,， 羅素在自傳中感慨地寫道： 我們用 10 年的工作每人賺了負(fù) 50 英鎊。 大書出版了,， 大錢賠掉了[注六],， 但羅素把大書的完成比喻為重病患的死去并不恰當(dāng)， 書之于作者其實更像孩子之于父母,， 書的出版好比孩子的降生,， 未必是一個能讓父母如釋重負(fù)的時刻。 事實上,， 羅素因這部大書而受 “大罪” 的歷史并未就此終結(jié),。 羅素和懷特海的這部大書顧名思義， 是研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的,。 這類研究有幾個主要流派,， 比如以德國數(shù)學(xué)家希爾伯特 (David Hilbert) 為代表的形式主義 (Formalism),、 以荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾 (L. E. J. Brouwer) 為代表的直覺主義 (Intuitionism)， 等等,。 羅素這部《數(shù)學(xué)原理》也屬于一個著名流派,， 叫做邏輯主義 (Logicism)， 主張數(shù)學(xué)可以約化為邏輯,。 《數(shù)學(xué)原理》不是邏輯主義的奠基之作,， 卻是它的高峰。 在《數(shù)學(xué)原理》中,， 數(shù)學(xué)大廈的一部分被從邏輯出發(fā)直接構(gòu)筑了出來,。 羅素和懷特海對此深感自豪， 在向皇家學(xué)會申請贊助的信里,， 特別強調(diào)了這部書的精確性 (exactness),、 推理的縝密性 (particularity of reasoning) 以及內(nèi)容的完備性 (completeness)。
但是,， 這一切并非沒有代價,， 那代價就是推理的極度曲折和冗長。 比方說,， “1” 這個小學(xué)數(shù)學(xué)第一課的內(nèi)容在《數(shù)學(xué)原理》中直到第 363 頁才被定義,； 1+1 這個最簡單的小學(xué)算術(shù)題直到第 379 頁才有答案。 比這種曲折和冗長更糟糕的,， 是《數(shù)學(xué)原理》雖然是邏輯主義的高峰,， 卻在一定程度上背離了邏輯主義的初衷， 即借助邏輯所具有的自明性 (self-evidence) 來構(gòu)筑數(shù)學(xué),。 在《數(shù)學(xué)原理》中,， 羅素和懷特海引進了幾條不僅不自明， 甚至未必能算邏輯的公理,， 比如無窮公理 (axiom of infinity),、 選擇公理 (axiom of choice)， 以及可化歸性公理 (axiom of reducibility),。 這其中無窮公理和選擇公理在集合論中也采用,， 倒還罷了， 可化歸性公理則完全是另類,。 《數(shù)學(xué)原理》的這一特點——尤其是可化歸性公理——遭到了猛烈批評,， 批評者包括第一流的數(shù)學(xué)家、 邏輯學(xué)家和哲學(xué)家,， 幾乎是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的一個明星陣容,。 比如著名德國數(shù)學(xué)家外爾 (Hermann Weyl) 就質(zhì)疑道， 有任何具備現(xiàn)實頭腦的人敢說自己相信這樣一個不自然的體系嗎,？ 羅素的學(xué)生,， 著名哲學(xué)家維特根斯坦 (Ludwig Wittgenstein) 也毫不客氣地 “叛變” 了,， 表示數(shù)學(xué)的真正基礎(chǔ)是像 “1” 那樣來自算術(shù)實踐的東西， 而不是用幾百頁篇幅才能推出 “1” 來的《數(shù)學(xué)原理》,， 理由很簡單： 一旦《數(shù)學(xué)原理》與那些算術(shù)實踐相矛盾,， 我們立刻就知道是《數(shù)學(xué)原理》而不是算術(shù)實踐錯了。 確實,， 像 “1” 和 “1+1=2” 那樣的 “小學(xué)數(shù)學(xué)” 果真需要像可化歸性公理那樣的公理及幾百頁的邏輯推理為 “基礎(chǔ)” 嗎,？ 這對邏輯主義堪稱是致命問題[注七]。 在這一問題前首先倒下的當(dāng)然就是已成眾矢之的的可化歸性公理,。 羅素自己后來也不得不承認(rèn),， “沒有任何理由相信可化歸性公理是邏輯上必要的”， “把這一公理引進體系是一個缺陷”,。 但另一方面,， 羅素也不無感慨地意識到， 很多困難似乎只有用 “并不漂亮的理論” 才能解決,， 而可化歸性公理就是這種 “并不漂亮的理論” 的一個例子,， 放棄它會使得《數(shù)學(xué)原理》的很多部分——比如有關(guān)實數(shù)的部分——失去依托。 在 1927 年出版的《數(shù)學(xué)原理》第二版的序言里,， 羅素表示希望由一些自己迄今未能找到的別的公理來頂替可化歸性公理,。 常言道： 曲高和寡。 推理的極度曲折和冗長使《數(shù)學(xué)原理》的讀者群體小得可憐,， 這一點讓羅素和懷特海深感失望,。 距離《數(shù)學(xué)原理》的出版將近半個世紀(jì)的 1959 年， 羅素在《我的哲學(xué)的發(fā)展》 (My Philosophical Development) 一書中表示讀過《數(shù)學(xué)原理》后面部分的據(jù)他所知只有六人,。 這簡直跟傳說中的只有少數(shù)人懂得相對論有一拼了——而且關(guān)于相對論的傳說很可能是虛的,， 讀過《數(shù)學(xué)原理》后半部分的人卻恐怕真的很少。 事實上,， 羅素在《數(shù)學(xué)原理》發(fā)表多年之后,， 還不止一次遇到有人試圖重復(fù)解決早已被《數(shù)學(xué)原理》解決掉的問題。 寫了一部大書卻讀者寥寥無幾,， 這是不幸,。 比這更不幸的， 是那寥寥無幾的讀者之中,， 卻有一人捅出了婁子。 此人名叫哥德爾 (Kurt G?del),， 1931 年,， 他發(fā)表了一篇劃時代的論文， 題為 “論《數(shù)學(xué)原理》及相關(guān)體系中的形式上不可判定命題” (On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems)[注八],。 那篇論文給出了著名的哥德爾不完全性定理 (G?del's incompleteness theorem),， 它表明像《數(shù)學(xué)原理》那樣的體系假如是自洽的,， 就必然是不完備的——即存在一些無法證明的真命題。 除此之外,， 那篇論文還表明像《數(shù)學(xué)原理》那樣的體系的自洽性本身也是不能在體系之內(nèi)被證明的,。 如果說可化歸性公理所面臨的還只是自明不自明， 漂亮不漂亮的問題,， 那么哥德爾不完全性定理對《數(shù)學(xué)原理》的沖擊可就有點顛覆性的了,。 因為在早年， 幾乎所有研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的人都默認(rèn)數(shù)學(xué)體系應(yīng)當(dāng)是自洽和完備的,， 比如我們前面提到過的,， 羅素和懷特海在為出版《數(shù)學(xué)原理》而向皇家學(xué)會申請贊助的信里， 就強調(diào)了《數(shù)學(xué)原理》的完備性[注九],。 羅素曾感慨很多困難似乎只有用 “并不漂亮的理論” 才能解決,， 現(xiàn)在哥德爾告訴他， 甚至在那 “并不漂亮的理論” 里,， 困難依然存在,。 這對羅素和他所執(zhí)著的邏輯主義都是一個沉重打擊， 用羅素自己的話說,， “我一直希望在數(shù)學(xué)中找尋的壯麗的確定性失落在了令人困惑的迷宮里,。” 這也許是比 10 年的苦干和負(fù) 50 英鎊的 “賺頭” 更讓羅素受罪的,。 不知是否是受罪所致,， 羅素在厚厚的自傳中只有兩處提到哥德爾， 且不無 “差評”,。 其中一處認(rèn)為哥德爾相信天堂里有一個永恒的 “否” 字,， 真正的邏輯學(xué)家在死后可以遇到 (羅素自己似乎提前遇到了)。 羅素將之稱為哲學(xué)上的 “德國偏見” (Germany bias),， 并表示了失望[注十],。 另一處則是援引了自己給一位 “女粉絲” 的信[注十一]。 那位 “女粉絲” 盛贊了《數(shù)學(xué)原理》,， 羅素在信中感謝道： “哥德爾的追隨者幾乎使我相信為《數(shù)學(xué)原理》所花的 20 人年 (man-years) 已成浪費,， 那書也最好被忘記， 發(fā)現(xiàn)您并不這么看是一種安慰,?！薄f是安慰， 也不無酸楚吧,。 但更酸楚的是英國數(shù)學(xué)家哈代 (Godfrey Harold Hardy) 在名著《一個數(shù)學(xué)家的辯白》(A Mathematician's Apology) 中轉(zhuǎn)述的羅素的一個噩夢——那是從羅素本人那里聽來的： 公元 2100 年,， 劍橋大學(xué)圖書館的管理員拿著一個桶巡視在書架間， 他要把沒用的書扔進桶里處理掉， 管理員的腳步在三本大書前面停了下來,， 羅素認(rèn)出了那正是自己的《數(shù)學(xué)原理》,， 而且是最后幸存的一套。 管理員把那三本書從書架上抽了出來,， 翻了翻,， 似乎被數(shù)學(xué)符號所困惑， 然后他合上了書,， 思索著是否該扔進桶里…… 哈代的轉(zhuǎn)述沒有結(jié)局,， 也許到這里羅素被驚醒了， 未能 “看到” 結(jié)局,。 不過我對結(jié)局倒是毫不悲觀,， 科學(xué)史從來也不是如政治史那樣 “成王敗寇” 的歷史， 《數(shù)學(xué)原理》雖未能實現(xiàn)將數(shù)學(xué)約化為邏輯的夢想,， 作為一次可敬的嘗試無疑是該被銘記的,。 事實上， 哪怕像哥德爾不完全性定理那樣對《數(shù)學(xué)原理》造成沉重打擊的研究,， 它以《數(shù)學(xué)原理》作為表述框架本身也是《數(shù)學(xué)原理》對數(shù)學(xué)發(fā)展的一筆該被銘記的貢獻,。 因此， 若讓我來為羅素的噩夢想象一個結(jié)局的話,， 我愿相信公元 2100 年的圖書管理員的決定會是明智的,， 起碼會不亞于羅素那位 20 世紀(jì)的 “女粉絲”——那位 “女粉絲” 說過： “只要文明還存在， 并且珍視偉大智者的工作,， 它 [《數(shù)學(xué)原理》] 就不會被遺忘,。”
參考文獻
2015 年 1 月 28 日完稿 站長往年同日 (3 月 19 日) 發(fā)表的作品
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