1901年春天,，數(shù)學界面臨著羅素悖論的挑戰(zhàn),，眾多的數(shù)學家感覺到數(shù)學的基礎正在他們腳下動搖。羅素悖論不僅對數(shù)學領域產(chǎn)生了深遠的影響,，而且引起了一場認識上的混亂,，時間長達10來年。羅素為此付出了卓絕的努力,，并且他很大一部分精力都花在應付眾多同行的批評上了,。

羅素通常被認為是邏輯主義運動的奠基者，擁有很多擁護者,，同時也引起了很多異議,。邏輯主義者想說明：所有的純粹數(shù)學都是從純粹的邏輯前提得出來的，并只運用可以用邏輯術語定義的概念,。

邏輯主義似乎在做兩方面的努力,。首先，宣稱所有的數(shù)學都可以用邏輯術語來詮釋,。因此,，數(shù)學術語和符號就組成了一個邏輯術語和符號的有效子集。其次,，宣稱所有的數(shù)學證明都可以用邏輯證明來重新表達,。也就是說，數(shù)學定理可以組成邏輯定理的合理子集,。

通過強調(diào)純粹數(shù)學是由邏輯的步驟組成的,，羅素說：“純粹數(shù)學完全是由斷言組成的，大意是如果某某命題在某種情況下為真,，那么另一個某某命題在那種情況下也為真,。”

羅素的觀點招致了批評,。后來羅素寫道：“在一開始,，這個論題是不受歡迎的，因為在傳統(tǒng)上,，邏輯是與哲學和亞里士多德聯(lián)系在一起的,，所以數(shù)學家們認為這跟他們不相干,，那些認為自己是邏輯學家的人也極不愿意被要求掌握一門新的有相當難度的數(shù)學技術?！?/p>

在眾多的批評人中,，有一位德高望重的法國數(shù)學家朱爾斯·亨利·龐加萊?？肆_內(nèi)克死后,，龐加萊成為康托爾超限數(shù)學的主要反對者，而羅素的邏輯大廈主要就建立在康托爾集合論的基礎上,，龐加萊對羅素的態(tài)度就可想而知了,，彼此間是毫不留情。

羅素

伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素,，1872年5月18日生于威爾士的特雷克,。不幸的羅素：2歲，失去母親,；4歲,，失去父親；6歲,，失去祖父,；因此主要由祖母帶大。羅素一直在家接受家庭教師的教育,，直到18歲,。

盡管祖母的品行好，但成年后,，羅素感到很壓抑,。如他所說：“在我到14歲后，我祖母的知識局限讓我很難受,，她的清教徒道德規(guī)范也開始顯得有些過分,。”事實上,，終其一生,，羅素經(jīng)常發(fā)現(xiàn)自己陷入理智與情感的沖突之中。

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十幾歲的羅素表現(xiàn)出了優(yōu)異的智力,，羅素在《自傳》中寫道：

在11歲時，我的哥哥做我的導師,，開始教我歐幾里得幾何,。在我的一生中，這是一樁重大事件,，像初戀一樣讓我激動狂喜。我從來沒想到，世界上還有這么美好的東西,。在學完第五命題后,，哥哥告訴我通常人們認為它很難，但我發(fā)現(xiàn)根本就不難,。第一次我突然明白我也許有些聰明,。從那一刻起，直到38歲與懷特海合作完成《數(shù)學原理》,，數(shù)學是我主要的興趣,，也是我主要的快樂源泉。然而像其他所有的快樂一樣,，它不是純粹的,。有人告訴我歐幾里得幾何里的內(nèi)容都是依據(jù)于證明，但我失望地發(fā)現(xiàn)它是從公理出發(fā)的,。在開始的時候,，如果哥哥不能給我講清楚這樣做的理由，我就拒絕接受它們,。但他說：“如果你不接受它們,，我們沒法續(xù)學習了?！蔽蚁Ｍ^續(xù)學下去,，于是我暫時不情愿地接受了它們。當時對那些數(shù)學前提的疑惑一直伴隨著我,，決定了我后來所從事研究的方向,。

1890年，羅素進入劍橋大學三一學院學習數(shù)學和哲學,。兩年后,，被邀加入一個人數(shù)不多、人員經(jīng)過精心挑選的“使徒社',，社團經(jīng)常在大學里組織聚會,。對羅素有著重要影響的A·N·懷特海也是社團成員之一。羅素自認為在社團的活動是一生中在劍橋最大的快樂,，甚至遠比他的成就給他的快樂多,。

關于自己的早期發(fā)展，羅素寫道：

在上劍橋之前,，我就已經(jīng)對哲學感興趣了,，但除了密爾的書，我沒有讀別的,。為假設數(shù)學是對的找到一些理由,，是我最大的期望,。密爾的《邏輯》在這個學科上的主張給我的印象是很不完全的……除了一堆錯誤，我的數(shù)學導師從未向我說明假定微積分正確的理由……在第四學年,，我讀了大部分偉大哲字家的著作,，也讀了很多數(shù)學哲學上的著作。詹姆斯·沃德一直都給我這個學科最新的書看,。每次我把它們還給他時,，我都說它們寫得很糟糕。我清楚地記得他的失望和他為了讓我滿意而去找書所付出的艱辛努力,。之后,，我已經(jīng)成為劍橋的一名教員了，我從他那里得到兩本薄書,，兩本書他都沒讀過,，也不認為有什么價值。它們是格奧爾格·康托爾的《集合論》和弗雷格的《概念文字》,。最終,，這兩本書給了我想要的依據(jù)。

很快,，羅素對康托爾入了迷,。在19世紀的最后幾年，羅素每天走到岳父母在格羅斯菲那路的家去,，在那里花時間讀格奧爾格·康托爾,，并把要點抄到一個筆記本里。

羅素在校的時候,，劍橋進行了一場意義深遠的變革,。管理層開始認為學術研絕不僅是課后打發(fā)時間的業(yè)余愛好，更應該是教師工作的重要組成部分,。原創(chuàng)性的研究成果可以贏得豐厚的獎學金,，在1895年，羅素因為關于幾何基礎的一篇論文獲得獎學金,，并發(fā)表于1897年,。

在這次成功之后，羅素開始匯集各種觀點,，以對數(shù)學的基礎做一番綜合的整理,，并開始思考：在少數(shù)幾個基本邏輯概念的基礎上創(chuàng)建數(shù)學是可能的。

邏輯主義

羅素不認為,，數(shù)理邏輯甚至邏輯主義是突然從自己的腦子里蹦出來的,。其他數(shù)學家對數(shù)理邏輯和數(shù)學的基礎的審視，引導了羅素,。

19世紀70年代末,，德國邏輯學家,、數(shù)學家、哲學家戈特洛布·弗雷格已發(fā)現(xiàn)大部分數(shù)學都可以由很少量的邏輯陳述推導出來,，1884年,，發(fā)表《算術基礎》，書中對算法公理化作了早期嘗試,。可惜在很大程度上這本書被忽視了,。

弗雷格相信,，邏輯和數(shù)學的結合在理論上是可能的，于是他開始設計用來作為源頭和基礎的命題,。到1902年,，他已經(jīng)將自己的成果匯總起來，并發(fā)表了《算術基礎》的第一卷,。弗雷格正出版第二卷的時候,，對他早期的《算術基本定律》印象極深的羅素意識到,，自己的悖論在弗雷格的公理體系中產(chǎn)生了矛盾,。羅素寫信告知弗雷格的，弗雷格極為震驚,。

對弗雷格來說,，由于《算術基礎》的第二卷已經(jīng)印好了,，很難對其再做出任何修改。因此,，他加了一個附錄作聲明,，聲明開頭是這樣寫的：

工作剛剛完成，其賴以維系的根基就垮掉了,，對于一位科學家來說,，沒有比這更郁悶的遭遇了。當我的書接近出版的尾聲時,，伯特蘭·羅素先生的一封信就把我置于這樣的境地,。

歷史記載表明：在這以后，弗雷格變得非常沮喪,，甚至有了陰影,，盡管主要是出于個人甚至是政治原因。直到晚年他才再次做一些為人稱道的工作,，盡管不是這個領域了,。1923年，弗雷格得出這樣的結論：嘗試把數(shù)學建立在邏輯的基礎上是誤入歧途,。

具有諷刺意味的是,，當1901年提出羅素悖論時,，羅素已開始致力于邏輯主義上的《數(shù)學原理》。雖然弗雷格放棄了從邏輯中建立數(shù)學的努力,，但羅素決定繼續(xù)下去,，并發(fā)表了他的成果。弗雷格的第二卷雖然也發(fā)表了,，但己是在10年之后,，而第三卷一直都沒完成。

在《數(shù)學原理》的前言中,，羅素承認：“弗雷格教授的成果,，大部分都先于我，當他的現(xiàn)有成果開始出版時,，其中的大部分我都不懂,。我已經(jīng)見過他的《算術基礎》，但是由于他的符號系統(tǒng)太難,，我沒有領會它的重要性,，也不懂它的內(nèi)容。在這么晚的時候,，對他的成果做出適當回應的唯一辦法就是給它加上一個附錄,。”換句話說,，羅素認為弗雷格的路線是正確的,，只是羅素悖論使弗雷格無法繼續(xù)工作了，而這個艱巨的任務就留給了羅素,。同時,，羅素還說：“盡管他（弗雷格）做出了劃時代的發(fā)現(xiàn)，但在1903年我注意到他之前,，他一直完全得不到賞識,。”

為數(shù)學的原理創(chuàng)建一個更全面的處理方法是羅素的目標,，他開始更堅定地相信：純粹數(shù)學能夠建立在一小部分基本的邏輯概念上,，它的命題也能從為數(shù)不多的基本邏輯原理推異出來。但對初稿,，羅素并不滿意,。

1900年，羅素參加巴黎召開的國際哲學大會,。他后來寫道：

這次會議是我知識生命的一個轉折點,，因為在這里我遇到了皮亞諾……在大會的討論中，我發(fā)現(xiàn)他一直都比其他任何人更精確，在他參與的辯論中,，他總是能獲勝,。過了一段時間，我明白這應該是由于他精通數(shù)理邏輯,。因此,，我讓他把他所有的研究成果都送給我。大會一結束,，我就隱退到芬赫斯特,，安靜地琢磨他和他的弟子寫的每一個字。對我來說,，很明顯他的符號為邏輯分析提供了一個工具,，這正是我尋求多年的。

羅素很快就領會了皮亞諾的想法和內(nèi)涵豐富的符號系統(tǒng),，并開始在此基礎上重寫他的書。

邏輯主義的面世

1903年面世的《數(shù)學原理》第一卷受到了歡迎,，提出了很多支持邏輯與數(shù)學間有密切關聯(lián)的觀點,。第二卷將寫入這些觀點所需要的證明，但它一直沒有完成,。結果是它演變成了鴻篇巨制的三卷本《數(shù)學原理》,。而且這套書，是分階段在與好友兼同事阿爾弗萊德·諾斯·懷特海合作下完成的,。

后來,，羅素發(fā)出一個挑戰(zhàn)：

如果還有人不承認邏輯和數(shù)學的一致性，我們可以挑戰(zhàn)他們,，讓他們指出,，在《數(shù)學原理》嚴密的定義和推導過程中，哪個地方?jīng)]有邏輯而只有數(shù)學,？,！

在寫作《數(shù)學原理》的同時，羅素并未停止解決悖論問題,。他開始懷疑這些悖論構成了某種惡性循環(huán),，并尋求規(guī)避這個悖論的方法。開始,，曾嘗試用一種稱作類型論的方法,，該方法的基本觀點是區(qū)分個體、個體的范圍的范圍,，依此類推,。每一層次成為一個類型。他把這寫在《數(shù)學原理》的附錄里,。至此,，這個被大家紛紛議論了很多年的觀念,，第一次出現(xiàn)在了書面上。然而盡管它能解決羅素悖論,，卻不能解釋康托爾的,。

1905年，羅素嘗試使用新想法,，摸索出三個不同的方法：

曲折論,，在考慮定義清楚的類時，對命題函數(shù)的復雜程度加以限制,；

限量論,，制定規(guī)則以防止某些類過大而引起矛盾；

非類論,，提議完全廢除類,。

這三個方法都成為后來研究的對象。羅素在名為《關于超窮數(shù)和超窮序型理論中的一些困難》的論文中提出這些方法,。1905年12月14日,，在倫敦數(shù)學學會上宣讀了這篇論文，并發(fā)表在《倫敦數(shù)學學會會報》上,。論文中,，羅素這樣開頭：“在某些邏輯推理的思考方法幫助下，我們可以相信三個理論中的每一個都是合理的,?！?/p>

龐加萊

朱爾斯·亨利·龐加萊于1854年4月29日生于法國的南希。在專業(yè)化迅猛發(fā)展的時代,，他是屈指可數(shù)的,，涉獵廣泛的數(shù)學科學家之一：在世紀之交，他已經(jīng)在包括數(shù)論,、拓撲學,、概率論和數(shù)學物理學等諸多領域有所建樹；還寫了一套關于天體力學的三卷本著作,；在狹義相對論方面也做出了開創(chuàng)性的工作,。

龐加萊在工作方法上有某些特別之處：

他特殊的工作時間，從上午10點到中午,，從下午5點到7點,。在晚上，他讀期刊,。

閱讀面廣泛,，但不利用別人的成果來開展自己的研究思路。在自己的研究工作中，龐加萊直接從最基本的地方入手來得出觀點,。

到和羅素發(fā)生爭論時,，龐加萊獲得了所有能夠獲得的獎章和獎金，還被選為最顯赫的科學和數(shù)學組織的成員,。1887年,，年僅32歲就被選為法國科學院的成員，他開始為更多讀者寫東西,。非技術類書籍和文章總數(shù)接近100本（篇）,，幾乎都是在入選科學院后所寫。

在國內(nèi)國外的聲譽日隆的龐加萊,，經(jīng)常被邀請為大眾就數(shù)學和科學發(fā)表演講或撰寫文章,。作為一位不平凡的數(shù)學家和科學家，他有著異常廣泛的興趣,、博覽群書并且都能掌握,，而且還開始更多地關注自然和數(shù)學哲學的基本問題。

與克羅內(nèi)克和他同時代的其他人一樣,，對于在當時生根的新數(shù)學觀念,，龐加萊有一些非常明確的想法，例如：

沒有必要去給整數(shù)下定義或者將它們的性質公理化,；

如果不能用有限的語句給一個對象作出清楚而完整的定義，我們就不能引入它,；

集合論是一個病例,，并預測：“后人會認為集合論是一場我們設法痊愈的病?！?/p>

龐加萊認為一些數(shù)學觀點比邏輯更基礎,，不能用邏輯術語來表述。1904年,，他寫道：“運用邏輯,，我們證明；利用直覺,，我們創(chuàng)造,。”后來他聲明：“因此,，如果沒有直覺的澆灌,，邏輯還是荒漠一片?！?/p>

基于龐加萊所篤信的數(shù)學理念,，不難理解他更傾向于研究應用數(shù)學。他說：“經(jīng)驗是所有真理的唯一來源?！彪m然這最終導致他去深刻思考科學知識的基礎,，但對具體有形事物的傾向還是根深蒂固。因此,，與視無窮為一個實在且可演算的概念的康托爾形成對比,，龐加萊反對無窮集的主張。他主張：“實無窮是不存在的,。無論多少事物已經(jīng)存在,，我們稱為無窮的東西只具有創(chuàng)造新事物的無限可能性?！蹦锼埂た巳R因寫道：

（龐加萊）非常討厭嚴重依賴符號邏輯的方法,，在他的《科學與方法》中，他甚至對這種行為作了諷刺,。布拉利一福蒂在1897年的一篇文章中針對整數(shù)運用了一個這樣的方法,，人們會發(fā)現(xiàn)文中用了令人暈眩的符號來定義1這個數(shù)，談到這時,，龐加萊說,，對于以前從來沒有聽說過1這個數(shù)的人來說，這是一個極好的定義,，很合適讓人們了解它,。

在另一篇龐加萊的早期文章中，有一個更偏激的聲明：

邏輯有時候制造怪物,。半個世紀（以來),，我們已經(jīng)看到，一些怪異的方程出現(xiàn)了,，它們看起來竭力要跟有些實際用途的方程盡可能地不像……以前,，發(fā)明一個新的方程是為了一些實際的目的；現(xiàn)在,，它們發(fā)明出來,，就是為了給我們前輩的推導找茬，除此之外,，我們永遠也不會從中得到什么,。

因此，龐加萊注定會成為倚重集合論的邏輯主義的主要反對者,。在法國有一段時間,，羅素的邏輯主義主要反對者是法國數(shù)學家路易斯·庫蒂拉特，他在1904年和1906年發(fā)表了一些文章,。羅素的文章發(fā)表在1906年的《倫敦數(shù)學學會會報》上,。龐加萊找到了自己的靶子,，該扣動扳機開火了。

龐加萊的攻勢

龐加萊決定對羅素的邏輯主義發(fā)起一個全面的批判,。為了使哲學和各種科學能相互理解,，法國期刊《形而上學與倫理學雜志》于1893年開始出版。龐加萊成為該雜志的主要投稿人之一,。在羅素的論文發(fā)表兩個月后,，龐加萊以《數(shù)學與邏輯》為題在《形而上學與倫理學雜志》上刊發(fā)了反對文章。激烈的爭論就此拉開序幕,。

龐加萊從回溯康托爾開始他的批判：

很多數(shù)學家跟隨（康托爾的）指引……在他們的眼中,，為了用真正邏輯的方法教算術，我們應該從確定超窮基數(shù)的一般性質入手,，然后從它們中間區(qū)分出一個非常小的類,，即普通整數(shù)的類。由于這條便道,，我們會在證明所有與這個小類相關的命題上取得成功,，而無需運用任何與邏輯不相關的原理。

然而龐加萊主張：

這種方法顯然與任何健全的心理相悖,；當然,，人的智力也不是用這種方法在構建數(shù)學中取得進展的。因此我想,，它的作者該不會夢想到在中學教學中引入這種方法吧,。它符合邏輯嗎？或者這樣說更好,，它是對的嗎,？這讓我疑惑……

他接著說：

不幸的是，他們得出了稱之為康托爾悖論的矛盾結果……這些矛盾沒有讓他們沮喪,，他們努力去修正他們的規(guī)則，以便讓那些已經(jīng)不言自明的矛盾消失,。盡管如此,，他們還是不能確定，新出現(xiàn)的矛盾是否也是不言自明的,。

該是對這些不實學問進行審判的時候了,。我不奢望讓他們明白，因為他們已經(jīng)在這種氛圍中呆得太久,。另外,，當他們的一個例證被駁倒后，我們肯定會看到它以一種無意義的變化形式復活了,，它們中的一些已經(jīng)從它們的骨灰中復活過好多次了,。

然后,，他說：

這樣，可以被理解為,，說明一個定理,，知道它是什么意思既沒有必要，也沒有什么優(yōu)勢可言,。幾何學家也許會被“邏輯鋼琴”所替代……或者如果你愿意,，可以想象一臺機器，一端輸入假定,，另一端就會輸出定理,，就像傳說中的芝加哥機器一樣，扔進活豬,，出來的都變成火腿和香腸,。除了這些機器，對于他們所要做的,，數(shù)學家們不需要知道更多,。

因此，從假定推導到定理的邏輯正確性不應該是唯一讓我們投入的事,。完美邏輯的規(guī)則是數(shù)學的全部嗎,？這就好比說，下棋的全部美妙之處就在于移動棋子的規(guī)則,。在所有能由邏輯提供的材料建立的構造中,，我們必須做出選擇。真正的幾何學家會明智地作出這種選擇,，因為有可靠的直覺或模糊的意識在指引著他,。我知道，這種模糊的意識不會是更深奧和更隱秘的幾何,，只憑它就可以賦予這棟在建造的大廈以價值,。

還有龐加萊對于羅素嘗試解決“悖論”的諷刺：

依據(jù)曲折論，當“定義（命題函數(shù)）很簡單時,，它們決定一個類,；當它們復雜和含混時，它們不能決定一個類,?！爆F(xiàn)在，誰來決定一個定義是否可以被認為簡單到能被接受,？如果不對完全無能為力做一個忠實的坦白的話,，這個問題就沒有答案?！澳切┳屛覀冋J識到這些定義是否正確的規(guī)則將會極其復雜,，不能用任何合理的原因來解釋它們,。”……除了排除悖論以外,，我還沒能找到任何其他的指導性原則,。

龐加萊這樣結束這一個觀點：

因此，這個理論仍然很含混,；于是,，黑暗中出現(xiàn)了一線曙光一一“曲折”。羅素稱之為“曲折”的這個詞毫無疑問就是使艾皮米尼地斯狡辯顯得與眾不同獨特之處,。

龐加萊指的是艾皮米尼地斯的話“我在說謊”,。這句話引出了一個悖論。

關于限量論,，龐加萊爭辯說：

如果一個類范圍太廣,，它將沒有理由存在下去。也許它可以是無限的,，但它不應該大得過分了,。但我們經(jīng)常反復遇到同樣的難題：在哪一個點上，它才開始變得過大,？當然了,，這個難題還沒有解決，但羅素就接著去討論第三個理論了,。

接著,，龐加萊矛頭轉向羅素的非類論。矛頭指向羅素在《會報》上發(fā)表的論文的結尾的一個附錄：“通過進一步的研究,，我現(xiàn)在感覺到,，對于這篇論文第一部分中敘述到的所有難題，非類論都能提供一個完整的解決辦法,，這幾乎是沒有什么疑問的,。”

龐加萊不是很贊成這種說法,，指責說：

在非類論中,，不允許說“類”這個詞，這個詞必須用各種委婉的說法來代替,。對于只談類和類的邏輯來說，這是多么大的一個改變??！重組整個邏輯變得很有必要。想象一下,，在談論一個類問題的地方,，整頁的邏輯會讓所有的命題看起來怎樣地壓抑?。吭谝豁摲ξ兜恼撌鲋?，將會只有零散的命題幸存下來,。

龐加萊的其他指責：

在多產(chǎn)的問題上，看起來庫蒂拉特先生有些天真的幻想,。照他的說法,，邏輯給了創(chuàng)造以“支柱和翅膀”。接著,，在下一頁中有“10年前,，皮亞諾就出版了他的《匯編》”。有翅膀10年了,，還沒有飛起來,，怎么會這樣呢？

我對皮亞諾致以最高的敬意,，他出產(chǎn)了很多杰作,。但終歸是，他還沒有比大部分沒有翅膀的數(shù)學家走得更遠,、更高,、更快，也許他用他的雙腿行走會更好,。

相反,，在邏輯中，我只看到了束縛創(chuàng)造的鐐銬,。它對簡明沒有幫助一一而且差得很遠,。如果在說明1是一個數(shù)時需要27個函數(shù)，那么,，要證明一個實定理的時候得需要多少個函數(shù)呢,？

羅素的反擊

為確保龐加萊明白自己的觀點，羅素在龐加萊家鄉(xiāng)的《形而上學與倫理學雜志》上做出回應,。在1906年9月這一期上,，這樣開頭：

我相信，龐加萊先生發(fā)表在這份期刊上的文章《數(shù)學與邏輯》誤解了我關于邏輯的性質和目的……同時,，它還提出了困擾超窮集合論悖論的一個解決辦法,。龐加萊先生主張，這些悖論都起源于某種惡性循環(huán),，在這一點上,，我同意他的說法。但他沒有意識到避免這種惡性循環(huán)的難度,。我應該努力說明,，如果要避開它,，像我的“非類論”之類的東西似乎是必需的。的確,，正是為了這個目的,，我發(fā)明了這個理論。

接下來是大約20頁的解釋,，當然少不了對龐加萊的指責的回復,。

一個特別有趣的例子是他對龐加萊輕視皮亞諾的回復。羅素回應說：

對于龐加先生對皮亞諾先生的評價,，我必須滿懷謙恭地斗膽提出與他不同的一點意見,。

現(xiàn)在，我要向龐加萊先生表明,，這只是說明皮亞諾先生的工作沒有引起他的興趣的一種表述方法,。皮亞諾先生已經(jīng)鍛造出一個對某些研究來說具有巨大力量的工具。我們中的一些人對這些研究感興趣,，從而對皮亞諾先生充滿敬意,。我們認為，他正如我們中的這些人所敬重的那樣,，比那些忽視他的“無翅膀”的數(shù)學家走得遠和快得多,。

羅素回應龐加萊對非類論的評價：

如果龐加萊先生能夠拋棄對邏輯與數(shù)學任何其他門類都截然不同的信念，他也會意識到：在倡議不把類當作獨立的實體上,，我不是在倡議做出一個改變,，以使它對于“重組所有邏輯”將是必須的；我也不希望禁止人們“說‘類’這個詞”,，就像哥白尼希望禁止人們說日出一樣,。

羅素認為，龐加萊的問題是他不了解自己在做什么：

也許,，一個類比會讓大家明白,，這個改變根本就不是那么大。現(xiàn)在廣為接受的無窮小量微積分學,，既不運用無窮小,，也不以它為前提。但是這在多大的程度上改變了無窮小量微積分的面貌,？幾乎沒有,。某些證明被重寫，某些困擾18世紀數(shù)學家的悖論已經(jīng)解決了,；否則微積分的規(guī)則會幾乎沒有改變,。

羅素總結道：

龐加萊先生告訴我們，“邏輯中更清楚的觀念”不是我們需要的，但他沒有向我們揭示他做出這個重要發(fā)現(xiàn)的過程,，對我來說，我只能想,，他對避免惡性循環(huán)的嘗試說明了那些輕視邏輯的人的命運,。

爭端在繼續(xù)

在又一次的反擊中，龐加萊寫道：

不存在……實無窮,?？低袪栔髁x者已經(jīng)忘了這個，并且他們已陷入矛盾中,。的確,，康托爾主義有用，但這是在運用到一個術語被精確定義的實際問題時……

像康托爾主義者一樣,，邏輯主義者也會忘了它,，并遭遇同樣的困境。

后來他又說：

羅素察覺到了這種危險,，并聽取了勸告,。他想改變一切，而且很容易理解的是,，他不光在準備引進新的原理,，這些原理的應用在以前是禁止的；他還在準備禁止一些他以前認為合理的應用,。他已燒毀的他又重拾起來,，他喜愛過的他又打算燒毀，而這種傾向更嚴重,。他不給大廈加上一個新翼,，反而掏空它的根基。

羅素在一篇題目為《以類型論為基礎的數(shù)理邏輯》的新論文中做出了回應,，發(fā)表在1908年的《美國數(shù)學雜志》上,。在文中，提出了一個新的類型論,。1909年,，龐加萊在《形而上學與倫理學雜志》上發(fā)表名為《無窮的邏輯》的文章做出回應：他給出了解決困擾邏輯悖論的方法，事后表明這是他在這上面最后的建議,。

只考慮能用有限語句定義的對象,；

永遠不要忘了，每一個關于無窮的命題肯定是一個關于有限的,、轉化了的,、有所刪改的陳述；

避免不肯定的定義和分類。

對于有限與無窮的區(qū)別,，龐加萊在他1909年的文章中說：

羅素先生將會毫無疑問地告訴我,，它們沒有心理學上的區(qū)分，只有邏輯和認識論上的區(qū)分,。我不得不被迫做出回應：沒有獨立于心理學的邏輯和認識論,。這段信念的表白大概會結束這場討論，既然它將展示我們觀點上無法調(diào)和的分歧,。

然而羅素并不會善罷甘休,。1910年5月，他再次在《形而上學與倫理學雜志》上發(fā)表名為《邏輯類型的理論》,。此時《數(shù)學原理》第一卷即將面世,，在其緒論中，與這篇最新的文章一樣,，提出了他在邏輯論上最新的想法,。

在文章中，他再次討論起幾個主題,，包括對“要避免的悖論都起源于某種惡性循環(huán)”的贊同,；還加上了一些關于類的最新的權威性研究；對他早期的研究做了拓展,。在這篇文章的后面,，再次解釋了他的類型論。在更后面他寫道：

龐加萊先生的文章《無窮的邏輯》中有一點需要做點解釋,。他斷言：‘除非我們假定序數(shù)論已經(jīng)成立,，否則類型論依然是不能理解的’。這個斷言對于我來說,，似乎存在著某種混亂,。

這種針鋒相對的交流還會繼續(xù)下去嗎？也許會,，但命運不允許,。不久后，龐加萊因前列腺疾病,，在手術后出現(xiàn)了并發(fā)癥,，于1912年7月12日去世了。

失落的羅素

龐加萊的反對,，對羅素及其在邏輯主義上的觀點有什么影響,？1938年，在他1903年的《數(shù)學原理》的再版中,，可以找到一個畫面,。羅素決定“這本書現(xiàn)在所具有的興趣是歷史上的，它存在于這樣一個事實中：它代表了在它這個科目發(fā)展中的某個階段。因此,，我沒有改變?nèi)魏螙|西,，但在這篇前言中，我應該盡力說明白：在哪些方面,，我堅持它表達的觀點,；在另外哪些方面，對于我來說,，后續(xù)的研究似乎表明它們是錯的?！?/p>

總而言之,，他告訴我們：“下文關于數(shù)學和邏輯是同一的基本論題，我從來沒有看到有任何理由要去修改它,?！比欢坪跤行┮恢弊屓死Щ蟮臇|西，包括邏輯本身的定義,，“因此,，定義邏輯或數(shù)學決不簡單，除非運用一些給定的前提”,。

他也提到了龐加萊,。即使在1938年，羅素仍然執(zhí)著于療救因龐加萊著名的評論所造成的傷痛：

我還是回到悖論的問題和類型理論,。亨利·龐加萊認為數(shù)理邏輯對發(fā)現(xiàn)沒有幫助,，因而鉆研它是白費工夫，并且他還對悖論的出現(xiàn)感到欣喜,，然而,，以前被所有邏輯學家接受的前提會引出悖論，數(shù)理邏輯所要做的就是讓這些悖論變得明顯,，不管數(shù)學有多么無辜,。這些悖論不一定都是新近出現(xiàn)的，有一些可以回溯到古希臘時代,。

但羅素不至于蠢到認為這些年邏輯主義理論一點變化都沒有,。他在前言承認：

在數(shù)理邏輯中，還是有很多有爭議的問題,，它們……我不打算去解決它們,。我只一次提到過關于這些悖論的問題，但在我看來,，自從我寫《數(shù)學原理》以來,，已經(jīng)有了非常明確的進步……對我來說，在這中間的34年，我們所需要的哲學上的變化似乎部分歸功于數(shù)理邏輯在技術上的進步,。

正如克萊因指出的：

盡管在《數(shù)學原理》的第一卷中,，羅素和懷特海毫不猶豫地引進無窮公理和選擇公理，但他們在后來確實放棄了這種做法,。他們不僅承認邏輯的基本定律不是絕對的真理,，而且承認這兩個公理不是邏輯的公理。在《數(shù)學原理》的第二版中,，這兩個公理沒有出現(xiàn)在書開頭的列表中,，在需要它們證明某些定理時，對它們的應用也作了特別說明,。

事實上,，在羅素1938年《數(shù)學原理》的前言中，他已經(jīng)沒有了早年的樂觀,，不再對自己的觀點抱有終極成功的自信了,。這要部分地歸因于1931年哥德爾對一致性與完備性不相容的證明。這多少與當年的弗雷格有點相似,。