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50.探 索 法 就是多方尋求答案,，解決疑難。
51.觀 察 法 數(shù)學(xué)知識是通過數(shù),、式,、形三方面的內(nèi)容，體現(xiàn)客觀事物和空間形式相互間數(shù)量關(guān)系的,。這常常需要觀察,。 例1 計算下組算式的(1)、(2),、(3),，類推出(4)的結(jié)果。 (1)1＋1×8 (2)2＋12×8 (3)3＋123×8 (4)4＋1234×8 仔細(xì)觀察算式間的聯(lián)系,， 第一個加數(shù),，逐次增加1,；第二個加數(shù)逐次增加11,，111， 1111,，……而乘數(shù)都是8,，即第二個加數(shù)中兩個數(shù)的乘積，逐次多11個8,，111個8,，……,；(1)式，(2)式,，(3)式,，……的結(jié)果逐次增加 89，889,，8889,，…… 由式(3)的結(jié)果9＋89＋889＝987，知 式(4)為 987＋8889＝9876,。 例2 觀察 不難發(fā)現(xiàn)：自然數(shù)從1開始,，累加到任何一個自然數(shù)，其和除以下一個 是偶數(shù),，商是小數(shù),，是奇數(shù)時，商是整數(shù),。 如：(1＋2＋3＋…＋1000＋1001) 例3 由11＋1.1＝11×1.1,， 知其積等于其和。 特點：第一個加數(shù)是整數(shù),。第二個加數(shù)是帶分?jǐn)?shù),，整數(shù)部分是1，分?jǐn)?shù)部分的分子是1,，分母比第一個加數(shù)少1,。 例4 觀察分析 ………… 會產(chǎn)生一個直覺：如果a與b是互質(zhì)數(shù)(且a＞b)，那么a±b與ab是互質(zhì)數(shù),。 此結(jié)論成立的話,，兩個分子是1，分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)相加減,，所得結(jié)果豈不是不必考慮約分了嗎,？ 用反證法證明： 若a±b與ab不互質(zhì)，而有因子d的話,，設(shè)a±b＝cd,，ab＝ed。 則由ab＝ed,，d為素數(shù)可知,，或d｜a，或d｜b,。 若d｜a,，則由a±b＝cd，可知必有d｜b，這與ab是互質(zhì)數(shù)矛盾,。 同理,，若d｜b，也有矛盾,，所以a±b與ab互質(zhì),。 52.猜測與證明 美國數(shù)學(xué)家G·玻利亞在《數(shù)學(xué)與似真推理》一書中寫道：“人們對數(shù)學(xué)事實總是首先猜測，然后才加以證明,。” 例1 3×4＝12 它的積是由1和2依順序排列的數(shù),。 由33×34＝1122 333×334＝111222 n個 n個 n個 n個 為方便起見，在后面的n位數(shù)乘以n位數(shù)等于2n位數(shù)的乘法中,，用省略號連在一起的n個數(shù)字不再標(biāo)n個了,，它們的個數(shù)同上式一樣。 證明： 令S＝11…1,， 則S＝10n－1＋10n－2＋…＋10＋1,， 10S＝10n＋10n－1＋…＋102＋10， 9S＝10S－S＝10n－1,， 由此得
故33…3×33…4＝11…122…2,， 進(jìn)而可得33…3×33…5 ＝33…3×(33…34＋1) ?。?1…122…2＋33…3 ?。?1…155…5。 例2 abcd各不相同,，表示一個四位數(shù),。問各是什么數(shù)時，能同時被2,、3,、5整除？ 智力好的學(xué)生,，總是經(jīng)過一番嘗試和猜測后,，就力圖尋求一般規(guī)律，不遺漏地寫出符合要求的全部四位數(shù),。符合題意的數(shù)是,，各位上的數(shù)字和一定能被3整除，且個位數(shù)字是0,。 如果a,、b、c分別取1,、2,、3作為一組的話,，有1230,、1320,、2130、 2310,、3120,、3210。 這樣的數(shù)組有： 1,、2,、3 1、2,、6 1,、2、9 1,、3,、5 1、3,、8 1,、4、7 1,、5,、6 1、5,、9 1,、6、8 1,、8,、9 2、3,、4 2,、3、7 2,、4,、6 2、4,、9 2,、5、8 2,、6,、7 2,、7、9 3,、4,、5 3、8,、4 3,、5、7 3,、6,、9 4、5,、9 4,、6、8 5,、6,、7 5、7,、9 6,、7、8 7,、8,、9 符合題意的全部四位數(shù)是， 6×27＝162(個) 例3 證明：任意10個連續(xù)的自然數(shù)一定能找出4個a,、b,、c、d,，使(a－b)×(c－d)能被56整除,。若使(a－b)×(c－d)能被56整除，只要a－b能被8(或7)整除,，c－d能被7(或8)整除,。 在10個連續(xù)自然數(shù)中，必有兩數(shù)的差為8,，其余8個數(shù)中必有兩數(shù)的差為7,。 設(shè)10個連續(xù)自然數(shù)為： n、n＋1,、n＋2,、…、n＋9,， 則(n＋8)－n＝8,， (n＋9)－(n＋2)＝7,。 這里 a＝n＋8， b＝n,， c＝n＋9,， d＝n＋2， 或 a＝n＋9,， b＝n＋2,， c＝n＋8,， d＝n,。 或者(n＋9)－(n＋1)＝8， (n＋7)－n＝7,。 這里a＝n＋9,， b＝n＋1， c=n＋7,，d=n,， 或 a=n＋7， b=n,， c=n＋9,，d=n＋1。 例4 任意連續(xù)4n個自然數(shù)的和除以2的商是第一個數(shù)與最后一個數(shù)和的n倍,。 證明：設(shè)任意的連續(xù)自然數(shù)m,，m＋1，m＋2,，…… 當(dāng)n＝1時,，因為m＋(m＋1)＋(m＋2)＋(m＋3)＝4m＋6，所以 ?。?m＋3＝［m＋(m＋3)］×1,。 當(dāng)n＝2時，因為m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×2－1)＝8m＋(1＋2＋…＋7)＝8m＋28,。所以 ?。?m＋14＝［m＋(m＋7)］×2。 當(dāng)m＝3時,，因為m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×3－1)＝12m＋(1＋2＋…＋11)＝12m＋66,。所以 ＝6m＋33＝［m＋(m＋11)］×3,。
?。剑踡1＋(m＋k－1)k］×n。 這里m1＝9,，(m＋k－1)k＝40,， 原式＝(9＋40)×8＝392,。
53.相似運算 例1 在0、1,、2,、3、4,、5,、6、7,、8,、9中，任選一個數(shù)字,，把它與9相乘,，得到一個積，把這個積再乘上12345679,，答案所有數(shù)位上的數(shù)字總是和選擇的那個數(shù)字一樣,。 比如說，選擇5,，5×9＝45,。 兩邊都除以5， 12345679×9=11 11 11 11 1,。 對于任何其它數(shù)字,，可進(jìn)行同樣的推理。用數(shù)字a乘等式兩邊,， 12345679×(a×9)＝(11 11 11 11 1)a ?。絘aaaaaaaa 。 例2 任意選出小于10的三個不同的自然數(shù),，如1,、6、8,。 從中任取兩個,，組成二位數(shù)16、18,、61,、68、81,、86,。其和為330。 1＋6＋8＝15,。 兩位數(shù)的和除以一位數(shù)的和,，
設(shè)a,、b、c表示任意三個不同的小于10的自然數(shù),，組成兩位數(shù),， 10a＋b 10a＋c 10b＋a 10b＋c 10c＋a 10c＋b 其和為 22a＋22b＋22c ＝22(a＋b＋c) 遇到類似的運算,，可不假思索地寫出22,。
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