如果你想理解現(xiàn)代物理,，張量是你無法繞過的概念,?！M曼

數(shù)學(xué)家對張量是怎么定義的？在 m 維空間中,，一個階數(shù)為 n 的張量是一個具有 n 個指標,、并且包含 m 的 n 次方個分量的數(shù)學(xué)對象，這些分量遵循特定的變換規(guī)則,。

我們可以講得更清楚點,！

如果你和我一樣，你可能會覺得課本里的定義總是讓人難以滿意,。不過,，說句公道話，這種定義的確是正確的,、完整的,，而且簡潔的?？傊?，正確性是絕對關(guān)鍵的。不管你的解釋多么清晰,，如果是錯的,，那就毫無意義。不過，完整性和簡潔性是可以靈活調(diào)整的,。所以,，讓我們來看看如何改進。

要達到這個目標,，我們得先了解一些背景知識,，因為那個定義實在是太抽象了！

“張量（tensor）”這個詞其實源自一個拉丁詞,，意思是“拉伸”,。當(dāng)你沿物體的長度方向拉伸時，物體會產(chǎn)生一種叫做“拉伸應(yīng)力”的現(xiàn)象,。物體的長度會因此增加,。

但實際上，拉伸并不是物體唯一可能承受的應(yīng)力類型,。立方體可以沿三個空間方向進行拉伸或壓縮,。

那么，用一個向量描述這些情況不就夠了嗎,？首先,，向量本身就是一種張量；其次,，還有六種應(yīng)力我還沒提到,。立方體還可以沿這些方向發(fā)生剪切變形。所以,，總共有九種可能的應(yīng)力形式,。

可是，我們不能把這些方向上的力簡單加在一起嗎,？絕對不行,！每種力都會讓立方體產(chǎn)生不同的反應(yīng)，必須分別考慮這些力的影響,。這九種不同的應(yīng)力通常被組織成一個 3×3 的矩陣,，稱為應(yīng)力張量。

張量之所以是張量,，并不是因為可以把它寫成矩陣的形式,。矩陣和張量不是一回事。矩陣有時候只是一個方便的數(shù)字排列方式而已,。

把應(yīng)力張量寫成這樣的矩陣形式,，可以清楚地看到它有九個分量。不過,，我們之前的定義提到了兩個關(guān)鍵特性：階數(shù)（rank）和維度（dimension）,。

立方體是三維的，所以描述它行為的任何張量也必須是三維的。這就是為什么應(yīng)力張量被組織成 3 行 3 列的形式,。每一行和每一列都對應(yīng)三維空間的一個特定方向,。

就是這么簡單！

階數(shù)是指需要多少信息才能找到一個具體的分量,。在這個例子中,，只需要一行和一列的信息。這意味著需要兩條信息,，所以我們說這個張量是二階的,。因此，應(yīng)力張量是二階,、三維的,。

對于任何維度的二階張量，矩陣表示法都非常方便,。例如,，電磁場張量也是二階的，因為我們依然只需要一行和一列的信息來找到一個分量,。

但是,，它有4 行4列，因此這個張量是四維的,。所以,，電磁場張量是二階、四維的,。

不過,，對于更高階的張量,，矩陣表示法就不太適用了,。例如，一個三階張量需要三條信息才能找到一個具體的分量,。

雖然技術(shù)上我們?nèi)匀豢梢园阉硎境删仃?，但相關(guān)的數(shù)學(xué)運算就不那么直觀了。四階張量的情況就更糟了,。像這樣的表示雖然看起來很有趣,，但實用性不強。

說實話,，矩陣表示法只是為了讓初學(xué)者在學(xué)習(xí)張量時感到更舒適,。那么，我們該用什么呢,？指標表示法（Index Notation）,！

零階張量意味著不需要任何信息來找到一個分量。這就是一個標量。一階張量意味著只需要一條信息來找到一個分量,。換句話說,，只需要一個指標。這就是向量,。比如,，一個小球在桌面上移動的速度向量。

二階張量意味著需要兩條信息或兩個指標,。傳統(tǒng)上,，用拉丁字母表示二維和三維的指標，用希臘字母表示四維的指標,。這樣一眼就能看出階數(shù)和維度,。

三階張量需要三個指標，四階張量需要四個指標,，以此類推,。

好那究竟是什么讓它們成為張量呢？它們的變換規(guī)則,！

人類對速度有一定的直覺感受,，所以我們就從速度開始講起。

一個小球球可能會受到風(fēng)的影響,，從而減速,，但我們討論的不是這種變化。我們討論的不是情境本身的變化,，而是坐標系的變化,。

為了用物理學(xué)來分析這個場景，需要給它指定一個坐標系,，

不過,，這只是一個工具而已。坐標系的選擇不應(yīng)該影響物理現(xiàn)實,。無論怎么變換坐標系,，小球的速度都不會改變。

旋轉(zhuǎn)坐標系難道不會改變方向嗎,？不會,，小球還是向右（或向左）運動的?？墒?span style="font-weight: 700;border-width: 0px;border-style: initial;border-color: initial;">分量值變了?。∈堑?，但那只是用來表示這個向量的方式變了,，向量本身的物理性質(zhì)沒有變,。

這個向量是一個一階、二維張量,。它有兩個分量,，每個維度對應(yīng)一個分量。任何坐標變化都會改變這些分量的值,，但這個向量的物理本質(zhì)是不會變的,。

那任何箭頭表示法不都這樣嗎？

實際上不是的,。舉個例子,，來看角動量。如果把坐標系放在這個圓軌道的中心,，角動量的方向是向上的,，而且恒定不變。

但是,，如果把坐標系移到圓的邊緣,，角動量就不再是恒定的了。角動量值會隨時間變化,，甚至?xí)谀硞€瞬間變成零,。

這太荒謬了！真實的物理量不應(yīng)該這樣變化,。

所以,，我們稱角動量為偽向量（pseudovector）。它有一個方向,，看起來像個向量,，但它其實并不是一個真正的向量。速度是一個真正的向量,，而角動量不是,，它是偽向量。

對于一個真正的向量,，如果它在某個坐標系下為零,，那么在所有坐標系下都必須為零,，沒有例外,。

但是，如果坐標系跟著物體一起移動,，速度不是就變成零了嗎,？是的，但那不是一個三維變換,，而是一個四維變換,。所以,，不能用三維向量來描述。這個小球相對于桌子在運動,，但它相對于自身沒有運動,。將坐標系切換到一個勻速移動的系統(tǒng)，我們稱之為引速變換（boost）,，而這種變換需要把時間也作為一個維度來考慮,。

這個小球可能正在穿過空間，但它也在穿越時間,。它有自己的時間軸,。我們把這種情況稱為時空，而引速變換其實就是一個四維坐標的旋轉(zhuǎn),。但是,，如果要討論速度，就需要一個四維速度,，也叫4-Velocity,。這是一個一階、四維張量,。

這個小球的4-Velocity是一個真實向量,，它在這些四維旋轉(zhuǎn)下保持不變，就像普通的三維速度在三維旋轉(zhuǎn)下保持不變一樣,。如果想在四維空間中工作,，就必須使用四維張量。

類似的情況也適用于三維磁場,。移動的電荷會產(chǎn)生磁場,，但前提是能看到電荷在運動。如果你跟著電荷一起移動,，那么電荷相對于你是靜止的,，因此不會有磁場。所以,，磁場并不是一個真正的向量,，它是一個偽向量。這就是為什么我們引入了二階電磁張量,。它解決了這個問題,。這是一個真實的張量。

但遺憾的是,，二階張量無法像向量那樣用一個箭頭來表示,，不過我們可以把它理解為向量之間的變換。事實上,，這正是這條電磁張量方程所表達的意思,，

它把帶電粒子的4-Velocity轉(zhuǎn)化為力,。一個移動的帶電粒子在力場中會受到力的作用。這是不是有點神奇,？

讓我們用應(yīng)力張量來舉個例子,。

我們都玩過骰子。最好的骰子應(yīng)該是柏拉圖立體,。我們來看看四面體骰子,。

如果想知道某個表面上的受力情況，只需要知道它的應(yīng)力張量就可以了,。

假設(shè)其中一個表面朝向這個方向[A_x, A_y, A_z],。如果它受到的應(yīng)力是這樣描述的，

那么這個表面就會朝這個方向受到推力（藍色）,。

面積向量被轉(zhuǎn)化成了力向量,。

那么,，張量到底是什么,？張量是一個在變換下保持其物理意義不變的數(shù)值或一組類似的數(shù)值,。如果更換坐標系,，張量的分量值會發(fā)生變化，但這種變化方式會協(xié)同作用,，從而保持張量的物理意義不變,。比如,，速度向量是一個一階張量,，它描述了小球的運動,，無論選擇什么坐標系，它的物理意義都不變,。上面的應(yīng)力張量是一個二階張量,，它描述了如何從面積計算出力，無論坐標系如何變化,，這個關(guān)系都不變,。

如果數(shù)值或數(shù)值集合不能做到這一點，那么它就不是一個張量,，而是一個偽張量,。在數(shù)學(xué)中，無法分辨真實張量和偽張量可能會讓你陷入大麻煩,。