【原】小數(shù)除法中的余數(shù)問題

慢點(diǎn)數(shù)學(xué) 2025-01-14 發(fā)布于江蘇

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學(xué)生對(duì)于小數(shù)除法中的余數(shù)問題一直不能掌握,，導(dǎo)致錯(cuò)誤而丟分，如何幫助他們理解并掌握小數(shù)除法中的余數(shù)呢,？這就要從小數(shù)除法計(jì)算方法的由來談起,。

1.小數(shù)除法的計(jì)算方法。

主要方法是把除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù),，然后按照整數(shù)除法進(jìn)行計(jì)算,。其實(shí)，在小學(xué)階段,，把小數(shù)除法中的除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)主要有兩種方法：一是利用商不變的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,，二是先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，按分?jǐn)?shù)除法計(jì)算后,，得到一個(gè)分?jǐn)?shù)形式的結(jié)果,，再利用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法。

如：1.26÷2.8

方法一：

1.26÷2.8

=（1.26×10）÷（2.8×10）

=12.6÷28

（當(dāng)然,，也可以轉(zhuǎn)化為126÷280,，因除數(shù)較大，計(jì)算較為復(fù)雜,，所以人們習(xí)慣把除數(shù)變?yōu)檎麛?shù)就可以了,。）

方法二：

1.26÷2.8

=126/100÷28/10

=126/100×10/28

=1260/2800

=9/20

=9÷20

（顯然，這種方法的計(jì)算量很大,，如果結(jié)果用分?jǐn)?shù)形式表示,，也是可行的。）

2.余數(shù)是怎樣產(chǎn)生的,？

在計(jì)算結(jié)果上,，有時(shí)候小數(shù)除法與自然數(shù)除法是不同的。在自然數(shù)范圍內(nèi)會(huì)產(chǎn)生有余數(shù)的除法,，但在分?jǐn)?shù)與小數(shù)出現(xiàn)以后,，也就是在有理數(shù)范圍內(nèi)，自然數(shù)的除法就不會(huì)出現(xiàn)有余數(shù)的除法了,。如：5÷3,，在自然數(shù)范圍內(nèi)結(jié)果是5÷3=1……2，而在有理數(shù)范圍內(nèi)結(jié)果為5÷3=5/3（或1.666…）,，從這個(gè)角度上來說,，自然數(shù)除法可以理解為小數(shù)除法的一部分。

但是,，在學(xué)習(xí)小數(shù)除法時(shí)并沒有學(xué)習(xí)除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系,，所以小數(shù)除法的結(jié)果要么取近似數(shù),，要么用循環(huán)小數(shù)表示，這樣必然會(huì)出現(xiàn)余數(shù)的問題,。如0.86÷0.3=（0.86×10）÷（0.3×10）=8.6÷3,，計(jì)算出的結(jié)果要么是2.8666…，要么是帶有余數(shù)的形式,。那么，是商2.8余2,，還是商2.8余0.2,，還是商2.8余0.02呢？該如何確定余數(shù)呢,？學(xué)生通過乘法的驗(yàn)算,，很快得出是商2.8余0.02，但是要問他們?yōu)槭裁词?.02而不是0.2時(shí),，卻不知如何回答,。

3.類比整數(shù)的商不變性質(zhì)來理解算法。

不妨引導(dǎo)學(xué)生思考：860÷30商幾余幾呢,？學(xué)生立刻回答860÷30=28……20,，為什么不余2呢？因?yàn)楸怀龜?shù)和除數(shù)同時(shí)縮小10倍后,，余數(shù)也縮小10倍,，要想得到原來的余數(shù)必須要把得到的余數(shù)2擴(kuò)大10倍。那么,，我們?cè)賮砜?/span>0.86÷0.3,，為什么是商2.8余0.02呢？這時(shí),，學(xué)生恍然大悟,，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大10倍后，余數(shù)也擴(kuò)大10倍,，要想得到原來的余數(shù)必須要把得到的余數(shù)0.2縮小10倍,。利用這個(gè)方法，不妨進(jìn)行深層次的拓展：0.86÷0.3如果商2.86那么余數(shù)是多少呢,？商2.866呢,？學(xué)生也會(huì)迎刃而解的。

4.多元理解,，內(nèi)化結(jié)論

確定小數(shù)余數(shù)的方法主要有三種,，一是說理法：0.86÷0.3是8.6個(gè)十分之一除以3個(gè)十分之一，余下0.2個(gè)十分之一,，即0.02,。這種方法較為抽象,，學(xué)生不好理解；二是根據(jù)余數(shù)的變化規(guī)律法：0.86÷0.3被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大10倍,，余數(shù)也擴(kuò)大10倍,，所以要把得到的余數(shù)0.2縮小10倍才能變成原來的余數(shù)，這種方法學(xué)生容易理解便于掌握,；三是倒推法（驗(yàn)算法）：利用商乘除數(shù)加余數(shù)等于被除數(shù),，可以算出2.8×0.3+（0.02）=0.86，所以余數(shù)是0.02,，這種方法學(xué)生也容易理解,，但計(jì)算起來有些麻煩。